巧解含絕對值的一元一次方程

文 黃曉曄

解含絕對值的方程，一個重要的基本思路就是：將含有絕對值的方程轉(zhuǎn)化為不含絕對值的方程。

一、幾何解法

思路：在數(shù)軸上，到一個點的距離等于一個常數(shù)的點有兩個，分別在這個點的左右兩側(cè)，可利用數(shù)軸直接觀察得到方程的解。

我們知道 ||x的幾何意義表示數(shù)軸上的數(shù)x對應的點與原點的距離，即 ||x=||x-0。這個結(jié)論可以推廣為 ||x1-x2表示在數(shù)軸上數(shù)x1與數(shù)x2對應的點之間的距離。

例1 已知 ||x=3，求x的值。

【解析】數(shù)軸上與原點的距離為3的點對應的數(shù)分別為-3或3，即x=-3或x=3。

例2 已知 ||x+1=2，求x的值。

【解析】數(shù)軸上與數(shù)-1對應的點的距離為2的點對應的數(shù)分別為-3和1，即x=-3或x=1。

例3 解方程 ||x-1+||x+2=5。

【解析】由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與數(shù)1和數(shù)-2對應的點的距離之和為5的點對應的數(shù)，即x的值。在數(shù)軸上，數(shù)1和-2對應的點的距離為3，滿足方程的x在數(shù)軸上的對應點在1的右邊或-2的左邊。若x對應的點在1的右邊，如下圖，可以看出x=2；同理，若x對應的點在-2的左邊，可得x=-3。故原方程的解是x=2或x=-3。

二、代數(shù)解法

思路：利用絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號，把含有絕對值的一元一次方程轉(zhuǎn)化成兩個不含有絕對值的一元一次方程，再求解。

例4 解方程 |2x-1|=5。

【解析】我們只要把2x-1看成一個整體，根據(jù)絕對值的意義進一步解決問題即可。

解：根據(jù)絕對值的意義，得2x-1=5或2x-1=-5。解這兩個一元一次方程，得x=3或x=-2。

同學們可以自己檢驗一下。（1）當x=3時，原方程的左邊=| 2x-1|=| 2×3-1|=5，原方程的右邊=5。因為左邊=右邊，所以x=3是原方程的解。（2）當x=-2時，原方程的左邊=| 2x-1=|| 2×(- 2)-1=|5，原方程的右邊=5。因為左邊=右邊，所以x=-2是原方程的解。

綜上可知，原方程的解是x=3或x=-2。