理解概念本質 探尋方法源頭

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在學習“方差”的過程中，相當一部分同學對“方差”的理解僅僅是這樣兩個層面：一是把“方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定”以記憶的形式儲藏于腦海；二是比較兩組數(shù)據(jù)的方差時，就一定要通過方差公式進行計算后再比較，忽視了對“方差”的本質的理解。為了幫助同學們能深刻地認識“方差”的本質，請看下面幾個問題。

例1 甲、乙兩名射擊運動員在某場測試中各射擊10次，甲、乙兩人的測試成績如下：

則測試成績比較穩(wěn)定的是（ ）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙兩人成績穩(wěn)定情況相同

D.無法確定

【解析】作為一道選擇題，本題試圖通過“點狀圖”的呈現(xiàn)方式考查同學們對數(shù)據(jù)“穩(wěn)定”程度的理解。幾乎所有版本的數(shù)學教材中，對“方差”的教學引入都使用了“點狀圖”，因此，本題再現(xiàn)了對“方差”概念的探索和理解過程。解決本題的策略一是通過計算，先算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再通過方差的計算公式——［（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xnx）2］計算出兩組數(shù)據(jù)的方差，從而比較得出甲的成績比較穩(wěn)定。策略二是觀察。題中數(shù)據(jù)從小到大排列，就是便于同學們觀察，特別是方差本身還蘊含了對“平均數(shù)”的理解，本題可從“形”中直接判斷平均成績?yōu)?.5環(huán)，接著從“形”上判斷出甲的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離情況要小于乙的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離情況，從而得出甲的成績比較穩(wěn)定。

【說明】顯然，策略一費時、易錯。因此本題的價值就在于同學們對統(tǒng)計特征數(shù)的本質的理解——根據(jù)距離平均水平的波動情況來判斷方差的大小，而不僅僅關注計算技能。

再請同學們觀察下面兩題：

例2 甲、乙兩名射擊運動員在某場測試中各射擊20次，甲、乙兩人的測試成績如下表：

甲的成績環(huán)數(shù)頻數(shù)7 4 8 6 9 6 10 4 10 6乙的成績環(huán)數(shù)頻數(shù)7 6 8 4 9 4

則測試成績比較穩(wěn)定的是（ ）。

A.甲

B.乙

C.甲、乙兩人成績穩(wěn)定情況相同

D.無法確定

【解析】相較例1，本題更改了數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)形式，從最能直接反映數(shù)據(jù)波動情況的點狀圖改為利用表格呈現(xiàn)。本題的解決策略仍然與例1的相同。一是通過計算，先算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再通過方差的計算公式計算出兩組數(shù)據(jù)的方差，從而比較得出甲的成績比較穩(wěn)定。策略二是觀察。本題可從“形”中直接判斷平均成績仍為8.5環(huán)，再從“形”上判斷出甲的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離程度要小于乙的成績中所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏離程度，從而得出甲的成績比較穩(wěn)定。

平均數(shù)甲的成績環(huán)數(shù)頻數(shù)7 4 8 6 9 6 10 4乙的成績環(huán)數(shù)頻數(shù)7 6 8 4 9 4 10 6

【說明】本題的價值就在于同學們能利用例1中根據(jù)“形”直觀地觀察距離平均水平的波動情況來判斷方差的大小。從這個意義上說，本題具有較高的可推廣性和較好的理解基本概念的功能。

例3 為了從小明和小剛兩人中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊成績進行了測試，5次打靶命中的環(huán)數(shù)如下：

小明：7，8，7，8，10；

小剛：5，9，10，7，9。

（1）填寫下表：

平均數(shù)8中位數(shù)小明小剛9方差1 3.2

（2）根據(jù)以上信息，若教練選擇小明參加射擊比賽，教練的理由是什么？

（3）若小剛再射擊2次，分別命中7環(huán)、9環(huán)，則小剛這7次射擊成績的方差_________。（填“變大”“不變”或“變小”）

【解析】本題通過呈現(xiàn)兩組簡單數(shù)據(jù)，基本覆蓋了統(tǒng)計中反映數(shù)據(jù)集中程度和離散程度的統(tǒng)計特征數(shù)的考查。第（1）問是技能考查，即直接考查同學們是否會計算平均數(shù)和中位數(shù)。第（2）問是統(tǒng)計的應用價值的考查，即用學習過的統(tǒng)計特征數(shù)來做出決策。第（3）問則是理解層次的考查，即關注的是對方差這個統(tǒng)計特征數(shù)的本質的理解，由于該題型是做出一個選擇，所以真正理解方差本質的同學會做得既快又準。

本題的答案是：（1）8，8；（2）小明與小剛射擊成績的平均數(shù)都是8，而小明射擊成績的方差小，因此成績更穩(wěn)定，所以，教練選擇小明參加射擊比賽；（3）變小。由于小剛射擊兩次分別為7環(huán)、9環(huán)，平均成績仍為8環(huán)，新的數(shù)據(jù)比原來數(shù)據(jù)穩(wěn)定，所以方差變小。

為了更深入對集中量數(shù)和離散量數(shù)的本質理解，同學們在解決本題后還可進行反思，可以追問自己幾個問題，如：“小明再射擊一次，命中幾環(huán)，6次射擊成績的中位數(shù)不會變？”“若小剛再射擊2次，命中6.5環(huán)和9.5環(huán)，則小剛這7次射擊成績的方差發(fā)生變化嗎？命中6環(huán)和10環(huán)呢？你認為他再射擊2次（保證平均數(shù)不變，還是8環(huán)），命中幾環(huán)，方差不變？”等，從而可幫助同學們對統(tǒng)計特征數(shù)的認識從僅僅知道計算公式上升到逐步理解本質。

【說明】為了最大化地引導同學們對統(tǒng)計特征數(shù)本質的理解，3道題在數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)時，有意識地以點狀圖、表格及數(shù)據(jù)本身三種不同形式呈現(xiàn)，意圖讓同學們能深刻理解平均數(shù)、方差的概念，只要看到圖，就可以知道兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)情況、數(shù)據(jù)距離平均水平波動情況，直觀地判斷方差的大小。