從學(xué)生數(shù)學(xué)解題的困惑中看數(shù)學(xué)教學(xué)

姜文璽

波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題?！倍忸}是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種訓(xùn)練手段，其目的包括：知識理解的鞏固性目的、能力培養(yǎng)的發(fā)展性目的、思維教育的陶冶性目的。學(xué)生在解題時，經(jīng)常出現(xiàn)對概念理解的不透徹、知識掌握的不夠完善、思維方法不夠靈活等困惑，使解題思路閉塞，邏輯紊亂，看不到問題的實質(zhì)，更找不到解決問題的方法和途徑。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須注重概念的理解、知識結(jié)構(gòu)的完善、情境問題、思維方法的教學(xué)。

數(shù)學(xué)解題數(shù)學(xué)教學(xué)情境問題知識結(jié)構(gòu)思維方法先看一道例題：已知函數(shù)f（x）=x2–（m+1）x+m（m∈R）。求：

（1）若tanA，tanB是方程f（x）+4=0的兩個實根，A、B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角，求證：m≥5；

（2）對任意實數(shù)α，恒有f（2+cosα）≤0，證明m≥3；

（3）在（2）的條件下，若函數(shù)f（sinα）的最大值是8，求m。

這道題是我們經(jīng)常見到的題型，涉及的知識比較多，有二次函數(shù)的知識，三角函數(shù)及公式，一元二次方程及不等式的知識等。學(xué)生在解這道題時，經(jīng)常出現(xiàn)如下困惑：在第（1）問中，不能由等式得出不等式；條件“A、B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角”是干什么用的；挖掘不出隱含條件，得不出結(jié)果m≥5；在第（2）問中不會處理含參一元二次不等式，不能熟練地運用三個“二次”；不熟悉抽象函數(shù)的處理方法；不能對條件進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化。究其原因主要有以下幾點：①概念理解的不夠透徹；②數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)建立的不完善；③數(shù)學(xué)思想方法掌握的不夠靈活；④數(shù)學(xué)知識之間的潛移默化能力差；⑤數(shù)學(xué)思維品質(zhì)低下；⑥解題過程中，對思維的監(jiān)控、調(diào)節(jié)能力差。這就要求我們教師在教學(xué)中做到如下幾點。

一、注重數(shù)學(xué)概念教學(xué)，讓學(xué)生“知內(nèi)涵又要知外延”

數(shù)學(xué)概念是抽象思維的產(chǎn)物，具有辯證性、客觀性、合理性的特點，是數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)，是構(gòu)成各個數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的基本元素，是分析各類數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而解決各類數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，一切分析和推理也主要是依據(jù)概念和應(yīng)用概念進(jìn)行的，對它的準(zhǔn)確、深入的理解是掌握數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。概念既反映了事物所具有的本質(zhì)屬性，又揭示了具有這種性質(zhì)的所有事物，數(shù)學(xué)概念的理解，直接影響著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的質(zhì)量，學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、運算作圖能力、靈活解答問題能力以及探索求異能力等無一不是以清晰、確切的概念為基礎(chǔ)的這些能力的高低與相應(yīng)概念明確、理解的深度、廣度有著密切的聯(lián)系。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須溝通教材中概念性知識的內(nèi)在聯(lián)系，使這些知識系統(tǒng)化、深刻化。使學(xué)生從不同角度加深對概念的理解，并使概念之間逐步形成緊密的鎖鏈，并納入原有的知識網(wǎng)絡(luò)中，進(jìn)而從不同角度和方面去激活思維的靈活性、獨創(chuàng)性和批判性。前面這道題的第（1）問中，要得到m≥5這個結(jié)果。就必須掌握二次函數(shù)、二次方程、二次不等式、三角函數(shù)的概念及他們之間的聯(lián)系，從而得出一個不等式組。

二、注重知識結(jié)構(gòu)教學(xué)，讓學(xué)生“見樹木更見森林”

結(jié)構(gòu)乃是決定事物性質(zhì)的重要因素。知識的作用，主要不是知識量的作用，而是合理結(jié)構(gòu)的作用。在知識的應(yīng)用、解決問題的過程中，并非獨立的“某個單項知識”，而歸根到底是整個知識結(jié)構(gòu)在起作用。學(xué)優(yōu)生和學(xué)差生的知識組織是不一樣的。學(xué)差生頭腦中的知識是零散的和孤立的，呈現(xiàn)水平排列方式、列舉方式，而學(xué)優(yōu)生頭腦中的知識是有組織和系統(tǒng)的，知識點按層次排列，并且知識點之間有內(nèi)在聯(lián)系，呈現(xiàn)出一個層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（但還不夠完善）?？梢?，如果知識在頭腦中無條理地堆積的話，那么知識越多，越不利于問題的解決，就像是進(jìn)入圖書館借書一樣，當(dāng)書按一定順序整齊地排列著，那么書會很容易找到；但書如果無順序、雜亂無章地堆放著，我們就很難找到需要的書。數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并靈活使用該認(rèn)知結(jié)構(gòu)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是要造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，不斷滿足學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的需要。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何幫助學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，采取什么樣的教學(xué)策略，使學(xué)生“見樹木更見森林”，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，這是值得廣大的數(shù)學(xué)教師去研究、探討的問題。前面這道題的第（1）問中，就把一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式、三角函數(shù)這四方面的知識結(jié)合在一起，學(xué)生如果把它們聯(lián)系不起來，就會容易產(chǎn)生障礙。第（2）問中，如果能聯(lián)想到解決抽象函數(shù)的方法，就會有事半功倍的效果。

三、注重問題情境教學(xué)，讓學(xué)生“知其然，知其所以然”

有意義學(xué)習(xí)的條件之一，是學(xué)習(xí)者必須具有有意義學(xué)習(xí)的心里意向，即學(xué)習(xí)者積極主動地把符號所代表的新知識與他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)?shù)哪K加以聯(lián)系的傾向性。要使學(xué)習(xí)者具有這種“心向”，教師在教學(xué)中就要創(chuàng)設(shè)良好的問題情境。創(chuàng)設(shè)情境，巧設(shè)問題應(yīng)具備以下條件：

1.讓學(xué)生明白自己將要學(xué)到什么或?qū)⒁邆涫裁茨芰?。這是使學(xué)生自覺參與學(xué)習(xí)的最好“誘惑”。

2.能造成認(rèn)知沖突。這樣就可以打破學(xué)生的心理平衡，激發(fā)學(xué)生彌補“心理缺口”的動力。

3.問題情境必須是學(xué)生熟悉的。最好是從學(xué)生熟悉的生活情境和生產(chǎn)實際這些角度去創(chuàng)設(shè)問題情境，這樣才能保證學(xué)生將數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型用于探究所提出的問題問題，我們也可以通過創(chuàng)造條件，通過各種其他活動有意識地創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生主動積極地建構(gòu)他們的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.提出問題的方式和問題的難度應(yīng)該是適宜的。提出問題的方式極大地影響著學(xué)生解決問題的積極性和成功率。問題太難，學(xué)生沒法入手，望而卻步；問題太容易，學(xué)生學(xué)不到新東西，他們沒有興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，強調(diào)創(chuàng)設(shè)思維場景實際上也就是強調(diào)了思維的活躍性、延伸性和發(fā)散性；強調(diào)了數(shù)學(xué)問題解決中學(xué)生對問題解決路徑的搜索性和調(diào)控性。只有巧設(shè)問題，讓學(xué)生明了產(chǎn)生問題的情境，才能引起學(xué)生有目的的思考。通過問題情境教學(xué)，學(xué)生就會在解決具體問題時，會對自己提出問題，也正是由于學(xué)生把特定的數(shù)學(xué)問題確定為自己努力攻克的方向，才能使思維活動以一定的方法、在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行，才能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，不斷沖擊頭腦中舊有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不斷構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過程中，對任何細(xì)節(jié)都鼓勵學(xué)生追根溯源，凡事都去問為什么，尋找它與其它事物之間的聯(lián)系。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)也就應(yīng)當(dāng)是創(chuàng)設(shè)問題情境的教學(xué)，只有這樣，才能讓學(xué)生“知其然，知其所以然”。前面這道題的第（1）問中，如果學(xué)生問一下自己：條件“A、B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角”在這道題中出現(xiàn)起什么作用？他就會挖掘出隱含條件tan（A+B）<0，從而就能正確地解答。第（2）問中，如果通過對條件的觀察，問自己“能否用解決抽象函數(shù)的方法？”就會走捷徑。

四、注重思想方法教學(xué)，讓學(xué)生“聰明地做數(shù)學(xué)”

數(shù)學(xué)思想方法是人們根據(jù)解決數(shù)學(xué)問題的成功實踐，總結(jié)出的一般方法或模式。是數(shù)學(xué)知識的精髓，是數(shù)學(xué)內(nèi)容的靈魂，是數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，這些方法或模式是解決具體數(shù)學(xué)問題的過程的概括和提煉。數(shù)學(xué)思想方法基于數(shù)學(xué)知識，又高于數(shù)學(xué)知識，與數(shù)學(xué)知識有著不可分割的辯證統(tǒng)一性。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法能使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考和處理問題，能提高學(xué)生的思維的監(jiān)控和調(diào)節(jié)能力，是促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和思維品質(zhì)的法寶。而學(xué)校教學(xué)的目的就是要使學(xué)生能把獲得的內(nèi)容遷移到新的情景中去。知識越具體，應(yīng)用的范圍越狹窄，只能用于非常具體的情境，也容易遺忘；概括性越高，其應(yīng)用的范圍就越廣，隨時可用于任何情境中的類似問題，也有利于保持記憶。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于學(xué)習(xí)的遷移。因此，突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，不僅能發(fā)展學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還能幫助學(xué)生建構(gòu)思想方法層次上的數(shù)學(xué)問題模塊。例如，配方法、換元法、待定系數(shù)法、判別式法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法這一類基本方法；象實驗、觀察、猜想、類比、分析、綜合、抽象、概括、分類、歸納、演繹這一類思維方法；以及象方程的思想、函數(shù)的思想、極限的思想、化陌生為熟悉的思想、化繁為簡的思想、特殊與一般的互化的思想、正難則反的思想、順推與逆推之結(jié)合的思想、動靜之轉(zhuǎn)化的思想這一類高層次的思想策略與方法。文章前的這道題，就要求學(xué)生充分地應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想，結(jié)合分解因式法、不等式法、判別式法、換元法等方法去解題。

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