針對執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和的柔性立管邊界控制

趙志甲 任志剛

在深海勘探開發(fā)生產(chǎn)中,海洋柔性立管作為連接海面作業(yè)平臺(tái)與海床井口的關(guān)鍵構(gòu)件[1].在風(fēng)、浪、洋流等外部載荷作用下,海洋立管會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)現(xiàn)象,而長期的振動(dòng)則是造成柔性立管疲勞破損的主因[2?4].因此,開展先進(jìn)的海洋柔性立管振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)研究,對延長立管使用壽命、提高生產(chǎn)效率和保證海洋油氣生產(chǎn)安全具有重要的理論和實(shí)際意義.

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看,具有振動(dòng)的海洋柔性立管系統(tǒng)可認(rèn)為是典型的無限維分布參數(shù)系統(tǒng)[5?11].其動(dòng)力學(xué)往往建模為耦合的偏微分–常微分方程,這使得現(xiàn)有許多對傳統(tǒng)剛性系統(tǒng)成熟的方法不能直接應(yīng)用.對海洋柔性立管振動(dòng)控制的研究主要包括模態(tài)控制和邊界控制.模態(tài)控制是基于提取的有限維受控子系統(tǒng)進(jìn)行控制設(shè)計(jì),而忽略掉的高頻模態(tài)可能導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生控制溢出效應(yīng).邊界控制能克服上述方法的缺點(diǎn),且容易由系統(tǒng)機(jī)械能相關(guān)的Lyapunov 函數(shù)得出,因此邊界控制與其他控制技術(shù)如PID 控制、魯棒控制、自適應(yīng)控制、反步控制、輸出反饋控制等相結(jié)合的方法廣泛應(yīng)用于柔性立管系統(tǒng)的振動(dòng)控制領(lǐng)域[12?16].上述研究僅僅局限于柔性立管系統(tǒng)的振動(dòng)控制,而這些方法將不適用于具有輸入非線性特性的柔性立管系統(tǒng).

在實(shí)際的海洋油氣生產(chǎn)環(huán)境中,柔性立管系統(tǒng)除了受到風(fēng)浪擾動(dòng)和海洋洋流分布式擾動(dòng)影響外,其面臨的情況可能會(huì)比之前研究的問題更加復(fù)雜.如系統(tǒng)固有的物理約束和執(zhí)行器的約束將使得系統(tǒng)產(chǎn)生死區(qū)、飽和、磁滯、反向間隙等不光滑的非線性特性[17?20].而這些不光滑的非線性特性將會(huì)限制系統(tǒng)的瞬態(tài)性能,更為甚者,將會(huì)致使系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此,需要將這些不光滑的非線性約束特性考慮在控制設(shè)計(jì)中.為了解決海洋柔性立管系統(tǒng)的輸入非線性約束問題,一些學(xué)者基于立管原始無限維模型探索了不同的邊界控制方法[13,21?24].文獻(xiàn)[13]面向具有系統(tǒng)不確定性、輸出約束和輸入飽和的海洋立管系統(tǒng),基于反推技術(shù)研發(fā)了障礙邊界控制策略以抑制振動(dòng)、補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性以及處理系統(tǒng)的輸入輸出限制.文獻(xiàn)[21]針對具有執(zhí)行器輸入飽和非線性約束和外部海洋擾動(dòng)的海洋柔性立管系統(tǒng),在頂端構(gòu)建邊界控制器以穩(wěn)定其在平衡位置的小鄰域并利用輔助系統(tǒng)補(bǔ)償執(zhí)行器飽和的影響.文獻(xiàn)[22]設(shè)計(jì)了魯棒自適應(yīng)控制器用以穩(wěn)定具有參數(shù)不確定性和輸入受限的海洋柔性立管系統(tǒng).文獻(xiàn)[23]采用光滑的雙曲正切函數(shù)、Nussbaum 函數(shù)和輔助系統(tǒng)設(shè)計(jì)邊界控制器以抑制立管振動(dòng)并限制控制輸入在給定范圍內(nèi),該方法解決了文獻(xiàn)[21?22]中應(yīng)用符號函數(shù)限制控制輸入所帶來的震顫問題.文獻(xiàn)[24]引入輔助函數(shù)和變量設(shè)計(jì)邊界控制器來實(shí)現(xiàn)立管的振動(dòng)減弱并消除混合的死區(qū)?飽和非線性約束影響.然而,這些成果僅僅解決了柔性立管系統(tǒng)執(zhí)行器輸入飽和或輸入飽和?死區(qū)非線性約束問題,而對于具有輸入反向間隙?飽和非線性約束的柔性立管系統(tǒng),上述方法將不能適用.

本文針對執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和約束特性的深海柔性立管系統(tǒng)(如圖1 所示),首先將反向間隙?飽和約束轉(zhuǎn)換成虛擬的輸入飽和約束,其后引入輔助系統(tǒng)并采用Lyapunov 理論,構(gòu)建邊界控制以抑制柔性立管的振動(dòng)并消除飽和非線性約束的影響.隨后,證明了閉環(huán)系統(tǒng)在Lyapunov 意義下的一致有界穩(wěn)定性.最后,通過數(shù)值仿真,驗(yàn)證了本文所提出控制能處理非光滑反向間隙?飽和約束非線性影響,也能有效抑制立管系統(tǒng)振動(dòng).

1 問題描述和預(yù)備知識

注1.本文作如下簡寫:

1.1 立管動(dòng)力學(xué)模型

圖1 柔性立管系統(tǒng)Fig.1 Flexible riser system

深海柔性立管系統(tǒng)如圖1 所示,其中l(wèi)為立管的長度,y(z,t)為立管在位置z時(shí)刻t的偏移量,f(z,t)為海洋洋流分布式擾動(dòng),d(t)為外部環(huán)境擾動(dòng),u(t)為邊界控制輸入.

本研究所考慮立管系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)描述如下[1]:

其中,ρ,c和EI分別為立管的單位長度質(zhì)量、阻尼系數(shù)和彎曲剛度,da和m為船的質(zhì)量和阻尼系數(shù),為立管的時(shí)空變化張力,表示為

其中,T0(z)>0為初始張力,ψ(z)≥0 為非線性彈性模量.

執(zhí)行器輸入飽和非線性描述為[25]

其中,a>0 為飽和界限.

執(zhí)行器輸入反向間隙非線性描述為[24]

其中,b>0 為反向間隙參數(shù).

由輸入飽和與反向間隙的表達(dá)式(5)和式(6)可知,系統(tǒng)的非線性特征是相當(dāng)復(fù)雜的,因此很難直接對其處理.根據(jù)文獻(xiàn)[25],可知輸入飽和與反向間隙可轉(zhuǎn)換并表示為一個(gè)虛擬的輸入飽和.因此,為解決虛擬的輸入非線性問題,我們引入D的右逆D+為

根據(jù)上面的分析和文獻(xiàn)[25],我們可得混合的輸入飽和?反向間隙非線性特性可描述為

由式(8)可知,我們可將系統(tǒng)的輸入飽和?反向間隙非線性視為一個(gè)輸入飽和來處理.

1.2 預(yù)備知識

引理1[26].設(shè)χ1(z,t),χ2(z,t)∈R,φ>0,其中(z,t)∈[0,l]×[0,+∞),則

引理2[26].設(shè)χ(z,t)∈R為定義在(z,t)∈[0,l]×[0,+∞)的函數(shù),且滿足χ(0,t)=0,?t ∈[0,+∞),則

假設(shè)1.假定存在常數(shù)F,D ∈R+, 使得|f(z,t)|≤F,?(z,t)∈[0,l]×[0,+∞),|d(t)|≤D,?t ∈[0,+∞).這個(gè)假設(shè)是合理的,由于f(z,t)和d(t)是有限能量的,因此是有界的[21?24].

假設(shè)2.假定存在正常數(shù),使得

假設(shè)3.對于新的輸入飽和表達(dá)式(8),假定存在一個(gè)正常數(shù)?使得|△u|≤?,其中,△u=u(t)?τ(t).

2 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)將引入輔助函數(shù)和輔助系統(tǒng)用于構(gòu)建邊界控制器以抑制立管振動(dòng)并消除輸入非線性影響.

2.1 邊界控制器

首先,設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)為

其中,ν(t)為輔助系統(tǒng)的狀態(tài)變量,k1為正常數(shù).

為便于分析閉環(huán)立管系統(tǒng)的穩(wěn)定性,定義如下輔助變量

其中,k2,k3為正常數(shù).

對式(12)求導(dǎo),代入式(3)和式(11),可得

根據(jù)上述分析,提出控制律τ(t)為

其中,k4為正常數(shù).

注2.所設(shè)計(jì)的控制器(14)是由可獲得的邊界信號組成的,其中分別可由剪切力傳感器、傾角計(jì)和位移傳感器獲得.此外,控制器中這些信號的一階時(shí)間微分信號分別可對已獲得信號進(jìn)行后向差分算法得到[21?24].

選取如下Lyapunov 函數(shù)為

其中,?,λ>0 .

引理3.選取的Lyapunov 函數(shù)(16)是一個(gè)正定的函數(shù):

其中,δ1>0,δ2>1 .

證明.根據(jù)引理1,式(18)可放縮為

通過恰當(dāng)?shù)剡x取?和β得出

式(22)表明 0<δ <1,應(yīng)用式(21)可得

重排式(20),有

將式(22)代入式(24)得出

結(jié)合式(15),有

其中,δ1>0,δ2>1 . □

引理4.選取Lyapunov 函數(shù)(16)的導(dǎo)數(shù)是有上界的:

其中,δ,α>0 .

證明.對式(16)求導(dǎo),可得:

將式(16)求導(dǎo),代入式(1)并應(yīng)用引理1,可得

其中,δ1>0 .

對Yf(t)求導(dǎo),代入式(11)和式(14),應(yīng)用引理1,可得

對Yg(t)求微分,代入式(4)并利用引理1,有

其中,σ2,σ3>0 .

將式(29)和式(30)代入式(28),應(yīng)用引理1,可得

其中,σ4～σ11>0,選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)值?,λ,ki,i=1,···,4,δj,j=1,···,11,滿足下列條件:

結(jié)合式(33)～(44),可得

根據(jù)式(26)和式(45),有

其中,δ=δ3/δ2. □

定理1.針對執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和約束特性的深海柔性立管系統(tǒng),如果系統(tǒng)初始條件是有界的且所選取參數(shù)滿足約束條件式(33)～(44),在設(shè)計(jì)控制器(14)、假設(shè)1 和假設(shè)2 作用下,閉環(huán)系統(tǒng)是一致有界穩(wěn)定的.

證明.將式(27)乘以 e?t,得出:

積分上式并變換,有:

求助于Ye(t),式(19)和引理2,可得

將式(48)代入式(49),產(chǎn)生

進(jìn)一步得出

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的性能,本節(jié)在MATLAB軟件中采用有限差分法[27?30]來近似閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)值解.柔性立管系統(tǒng)的參數(shù)為l=1 000 m,ρ=500 kg/m,=9.6×106kg,da=1 000 Ns/m.系統(tǒng)的初始條件描述為:

外部環(huán)境擾動(dòng)d(t)為

柔性立管系統(tǒng)在自由振動(dòng)時(shí),即u(t)=0,圖2給出了其時(shí)空的表示.在所示設(shè)計(jì)控制器(14)作用下,選取控制設(shè)計(jì)參數(shù)k1=1×107,k2=1/60,k3=1/225,k4=5×108,a=1×106,b=5×106,立管三維響應(yīng)顯示在圖3 中.圖4 則給出了立管中部頂端 (x=1 000 m)的二維偏移圖,圖5 和圖6 分別描繪了所設(shè)計(jì)的控制命令和反向間隙?飽和控制輸入.

圖2 未受控的立管偏移量Fig.2 Displacement of the uncontrolled riser

圖3 受控的立管偏移量Fig.3 Displacement of the controlled riser

圖4 立管的端點(diǎn)偏移量Fig.4 Endpoint displacement of the riser

圖5 設(shè)計(jì)的控制命令Fig.5 Designed control command

仿真圖2 和圖3 表明,在外部擾動(dòng)和執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和約束條件下,所設(shè)計(jì)控制器(14)能有效抑制立管振動(dòng);由仿真圖4 可得,立管端點(diǎn)的偏移量穩(wěn)定在平衡位置附近的小鄰域;仿真圖5和圖6 得出,控制器的輸入是非線性的,執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和約束特性也相當(dāng)?shù)孛黠@.根據(jù)上述分析,可得如下結(jié)論:由于混合的輸入非線性影響,立管的振動(dòng)偏移量需要相對長的收斂時(shí)間;本文所構(gòu)建的控制策略能較好地處理執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和約束并能有效地抑制立管振動(dòng).

4 結(jié)論

圖6 非線性的控制輸入Fig.6 Control input with nonlinearities

本文解決了具有執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和約束特性的深海柔性立管邊界控制問題.首先,基于Lyapunov 理論和邊界控制技術(shù),采用輔助系統(tǒng)和函數(shù)在立管頂端構(gòu)建了邊界控制器以實(shí)現(xiàn)立管系統(tǒng)的振動(dòng)抑制和輸入非線性的補(bǔ)償.其后,應(yīng)用嚴(yán)格的分析且沒有離散化或簡化系統(tǒng)的偏微分方程動(dòng)力學(xué),證明了受控系統(tǒng)的一致有界性.最后所呈現(xiàn)的仿真結(jié)果驗(yàn)證了提出控制能較好地穩(wěn)定立管系統(tǒng)并有效消除執(zhí)行器非光滑反向間隙?飽和約束影響.下一步值得探索的研究方向可以為海洋柔性立管系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定[31]以及基于不確定性和干擾估計(jì)[32]的控制設(shè)計(jì).