非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱乘積法測(cè)量煤體熱物性的不確定度分析

徐 尚，高 偉，陳文濤

(1.安徽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué) 礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001；3.省部共建深部煤礦采動(dòng)響應(yīng)與災(zāi)害防控國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(安徽理工大學(xué))，安徽 淮南 232001)

1 概 述

對(duì)煤體熱物性參數(shù)的研究一直是固體熱物性領(lǐng)域研究熱點(diǎn)之一，其中包括煤自燃所帶來(lái)的安全隱患問(wèn)題。為了預(yù)防此類問(wèn)題的發(fā)生，對(duì)煤體熱物性的研究至關(guān)重要。

目前，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱乘積法也已在測(cè)量糧食顆粒的熱物性[1]以及在測(cè)定松散煤體熱物性[2]中得到應(yīng)用，但對(duì)具體的數(shù)據(jù)并未給出論證以及未對(duì)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行不確定度分析。因此，根據(jù)2017年發(fā)布的GB/T 27418—2017《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》[3]并結(jié)合測(cè)試系統(tǒng)采集的隨機(jī)數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)為參考，最終通過(guò)不確定度理論結(jié)合實(shí)際測(cè)試過(guò)程，對(duì)松散煤體熱物性參數(shù)中的熱擴(kuò)散率測(cè)試進(jìn)行不確定度分析。選取熱擴(kuò)散率a(a=λ/ρcp)作為導(dǎo)熱系數(shù)和比熱容的綜合體現(xiàn)，對(duì)其不確定度進(jìn)行分析則更具有代表性[5]。

測(cè)試結(jié)果表明該方法可滿足測(cè)試的精度要求。再進(jìn)一步分析采集的數(shù)據(jù)分散性原因可得知:影響實(shí)驗(yàn)精確度的不確定因素主要包括溫度、時(shí)間、試樣厚度和重復(fù)測(cè)量引入的不確定度。因此，通過(guò)不確定度分析可快速地為整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)的測(cè)量誤差提供有效的調(diào)試解決方法，同時(shí)也為測(cè)試結(jié)果的可靠性提供有力的保證，從而增加了整個(gè)試驗(yàn)采集數(shù)據(jù)的使用價(jià)值以及再次表明非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱乘積法測(cè)松散煤體熱物性的科學(xué)性。所以，在給出煤體熱物性的測(cè)量結(jié)果時(shí)，只有附加不確定度的說(shuō)明才完整和有意義。

2 數(shù)學(xué)模型及測(cè)試系統(tǒng)介紹

2.1 數(shù)學(xué)模型

據(jù)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的解析解，直徑為D、高度為δ的短圓柱二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程如下:

(1)

初始條件和邊界條件如下:

根據(jù)數(shù)值解法[6]，上式微分方程的解析解的算法編程比較困難，故文中選用非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱乘積解法[7]，其原理如圖1所示。其中短圓柱體可被視為由半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱被一塊厚度為l的無(wú)限大平板所截取的部分，則有:

Θ(r,x,τ)=[Θ(x,τ)]p[Θ(r,τ)]c

(2)

圖1 多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱乘積法原理圖

式(2)的解析解模型定義如下:

Θp(x,τ)Θc(r,τ)=

(3)

式(3)中，Θp(x,τ)為平板無(wú)量綱溫度的分析解；Θc(r,τ)為無(wú)限長(zhǎng)圓柱無(wú)量綱溫度的分析解；θ(r,x,τ)為短圓柱的過(guò)余溫度/K；x為短圓柱中，任意點(diǎn)距離上端絕熱面的距離/m；l為無(wú)限大平板厚度/m；r為短圓柱任意點(diǎn)距離軸心的半徑/m；R為無(wú)限長(zhǎng)圓柱半徑/m；μn為特征值，可通過(guò)查表得到；Fo為傅里葉數(shù)；J0為零階貝塞爾數(shù)；J1為一階貝塞爾數(shù)。

為確保計(jì)算精度，采取級(jí)數(shù)μn前6項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，其取值見(jiàn)表1。超越方程的根μn計(jì)算如下:

(4)

式(3)中，θ(r,x,τ)可通過(guò)溫度傳感器測(cè)量，傅里葉數(shù)F0=ατ/y2，溫升表達(dá)式見(jiàn)式(5)。

表1μn前6項(xiàng)的取值

Biμ1μ2μ3μ4μ5μ6∞2.415.528.6511.7914.9318.07

(5)

式(5)中，θ0為短圓柱的初始過(guò)余溫度，K；通過(guò)MATLAB編程求解即可求得熱擴(kuò)散系數(shù)α，在已知材料比熱容Cp和密度ρ的條件下，根據(jù)式λ=αρCp，可算出導(dǎo)熱系數(shù)λ的值。

2.2 測(cè)試系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)裝置由恒溫水浴鍋(HH-601)、黃銅試樣筒、熱電偶溫度傳感器、信號(hào)處理單元、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)單元等組成，測(cè)試系統(tǒng)如圖2所示，試樣筒剖面圖如圖3所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)圖

圖3 試樣筒剖面圖

采用HH-601水浴鍋為恒溫箱，可實(shí)現(xiàn)程序控溫，工作溫度范圍為室溫至300 ℃，控溫精度為±0.5 ℃，采用高導(dǎo)熱系數(shù)銅質(zhì)圓柱作為試樣箱，以滿足恒溫的熱源邊界條件，上蓋為絕緣密封蓋以滿足絕熱的邊界條件，并在其內(nèi)表面安裝熱電偶溫度傳感器；數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，用熱電偶溫度傳感器采集溫升數(shù)據(jù)并通過(guò)信號(hào)處理單元傳送到數(shù)據(jù)存儲(chǔ)單元再至PC機(jī)。試驗(yàn)系統(tǒng)圖如圖4所示。

圖4 松散煤體熱物性測(cè)試系統(tǒng)圖

3 不確定度分析

根據(jù)GB/T 27418—2017《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》及其不確定相關(guān)分析，將不確定分量分為兩類，即A類評(píng)定分量和B類評(píng)定分量。當(dāng)獲得所有不確定度分量后，根據(jù)各分量的相關(guān)性再進(jìn)行方差和協(xié)方差合成得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。此外，為給出測(cè)量結(jié)果值的區(qū)間并期望該區(qū)間包含賦予被測(cè)量值分布的大部分，故引入擴(kuò)展不確定度。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定

A類評(píng)定分量是用統(tǒng)計(jì)分析的方法獲得實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行的不確定度分量評(píng)定。當(dāng)在重復(fù)性條件或者復(fù)現(xiàn)性的條件下測(cè)得n組觀測(cè)結(jié)果時(shí)，觀測(cè)樣本的殘差值與方差分別按式(6)、(7)計(jì)算。

(6)

(7)

A類標(biāo)準(zhǔn)不確定用u表示為:

(8)

取密度924 kg/m3，導(dǎo)熱系數(shù)0.097 7 W/(m·K)，熱擴(kuò)散率1.038 1×10-7m2/s的潘一礦煙煤松散媒體試樣放入試樣筒內(nèi)。并在試樣筒內(nèi)上表面上均勻布置3個(gè)溫度傳感器，對(duì)煤樣溫升進(jìn)行測(cè)量采集。然后將系統(tǒng)布置的3個(gè)溫度傳感器測(cè)點(diǎn)溫度采集的平均溫升記錄，詳見(jiàn)表2。

表2 系統(tǒng)調(diào)試后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)序號(hào)時(shí)間τ/s平均的過(guò)余溫度t/℃熱擴(kuò)散率α/(m2·s-1)1281.51.105 4×10-72302.01.138 8×10-73322.41.127 6×10-74343.11.151 6×10-75363.41.122 0×10-76383.71.094 5×10-77404.61.088 0×10-78424.91.098 0×10-7平值均353.21.120 0×10-7

并對(duì)所采集的溫升利用非穩(wěn)態(tài)乘積法進(jìn)行參數(shù)反演算出對(duì)應(yīng)的熱物性參數(shù)，對(duì)應(yīng)的溫升和參數(shù)反演的熱擴(kuò)散率曲線如圖5、圖6所示。

圖5 潘一礦煙煤過(guò)余溫度

圖6 潘一礦煙煤熱擴(kuò)散率

根據(jù)式(6)～(8)及表2中的數(shù)據(jù)，由其計(jì)算而得重復(fù)性計(jì)算所引入的不確定度為:

(9)

3.2 標(biāo)準(zhǔn)不確定度B類評(píng)定

B類評(píng)定分量是基于權(quán)威機(jī)構(gòu)發(fā)布的量值、有證參考物質(zhì)的量值、 校準(zhǔn)證書(shū)、 儀器的漂移、測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度等級(jí)和人員經(jīng)驗(yàn)的極限值或其他信息假定的概率分布給出的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行不確定度分量評(píng)定。

通過(guò)前后多次調(diào)試試驗(yàn)系統(tǒng)所采集的數(shù)據(jù)分散性，經(jīng)試驗(yàn)過(guò)程中的操作分析，測(cè)量?jī)x的時(shí)間靈敏性[12]、裝置控溫與溫度傳感器的精度以及試樣厚度[13]可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)采集的分散性數(shù)據(jù)產(chǎn)生不確定影響。因此，對(duì)上述分量作以下不確定度分析。

3.2.1時(shí)間引入的不確定度

在測(cè)試系統(tǒng)試驗(yàn)過(guò)程中，時(shí)間的滯后或者提前，會(huì)影響數(shù)據(jù)記錄的準(zhǔn)確性。測(cè)量?jī)x器可保證時(shí)間的精度小于2%，取包含因子k=2，因此τ的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

(10)

3.2.2溫度引入的不確定度

試驗(yàn)采用HH-601水浴鍋為恒溫箱，可實(shí)現(xiàn)程序控溫，控溫精度±0.5 ℃，根據(jù)其對(duì)稱矩形的先驗(yàn)概率分布描述，可得其區(qū)間的半寬度a為0.5因此t的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

(11)

試驗(yàn)中采用K型高精度熱電偶作為溫度傳感器，測(cè)溫精度等級(jí)可達(dá)到0.2級(jí)。且引入溫度的擴(kuò)展不確定度為0.02 ℃，取包含因子k=2,則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

(12)

溫度t引入的合成不確定度為:

(13)

3.2.3試樣厚度引入的不確定度

測(cè)量煤樣厚度時(shí)所用的游標(biāo)卡尺的測(cè)量精度為0.02 mm，根據(jù)兩點(diǎn)分布原則:

u(δ1)=0.02 mm

(14)

u=0.30 μm、包含因子k=3時(shí),游標(biāo)卡尺的擴(kuò)展不確定度為:

(15)

試樣厚度δ引入的合成不確定度為:

(16)

3.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

合成不確定度表征輸入值Xi對(duì)輸出估計(jì)值的影響。將各分量合成以得到所求量Y的合成不確定度，合成不確定度用uc(y)表示，也即C類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，表示公式為:

(17)

經(jīng)上述各分量之間的不確定度分析，進(jìn)一步建立不確定度分析數(shù)學(xué)模型。通過(guò)表2，利用MATLAB擬合得到溫升與時(shí)間的公式為:

t(τ)=p1τ3+p2τ2+p3τ+p4

(18)

然后，由時(shí)間-溫升函數(shù)結(jié)合熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型及熱擴(kuò)散率公式可得到合成不確定度的數(shù)學(xué)模型為:

(19)

由此，可得熱擴(kuò)散率的合成不確定度為:

(20)

此時(shí)利用MATLAB編程計(jì)算得到:

(21)

(22)

3.4 擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度

盡管合成不確定度可廣泛表示測(cè)量結(jié)果的不確定度，但為期望該區(qū)間包含能賦予被測(cè)量值分布的大部分，即需給出測(cè)量結(jié)果的區(qū)間，故引入擴(kuò)展不確定度。擴(kuò)展不確定度通常用U表示，取包含因子k=2，包含概率p=95%，以此表示期望在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)包含測(cè)量結(jié)果的可能值，詳見(jiàn)式(23)。

U95=Kcuc=0.02

(23)

3.5 數(shù)值分析

由上述擴(kuò)展不確定度為2.01%。其結(jié)果說(shuō)明該測(cè)試系統(tǒng)測(cè)算出的熱擴(kuò)散率測(cè)定的結(jié)果，與真值之間的可信度更高，測(cè)定結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確。為了進(jìn)一步測(cè)試該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取密度1 127 kg/m3，導(dǎo)熱系數(shù)0.197 9 W/(m·K)，熱擴(kuò)散率1.579 2×10-7m2/s的無(wú)煙煤和取密度946 kg/m3，導(dǎo)熱系數(shù)0.130 5 W/(m·K)，熱擴(kuò)散率1.5076×10-7m2/s，李嘴孜礦煙煤進(jìn)行系統(tǒng)試驗(yàn)和熱物性參數(shù)反演。

測(cè)試參數(shù)反演結(jié)果見(jiàn)表3。通過(guò)反演計(jì)算出的熱擴(kuò)散率進(jìn)一步求解出導(dǎo)熱系數(shù)，并分別與參考文獻(xiàn)的值做相對(duì)偏差分析，其結(jié)果均在5%以內(nèi)，進(jìn)一步說(shuō)明了非穩(wěn)態(tài)乘積法用于測(cè)固體松散煤體的熱物性是可行的、科學(xué)的，其測(cè)試系統(tǒng)穩(wěn)定，采集的數(shù)據(jù)也具有實(shí)用性。

表3 3種材料測(cè)試結(jié)果綜合分析

4 結(jié) 論

(1)根據(jù)測(cè)試結(jié)果的相對(duì)偏差和不確定分析評(píng)定，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱乘積法測(cè)量松散煤體熱物性可滿足測(cè)量精度要求，其測(cè)試系統(tǒng)也是可靠的，具有實(shí)用性價(jià)值。

(2) 由合成不確定度中的靈敏系數(shù)值表明，溫度不確定度因素對(duì)整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)影響最大。實(shí)驗(yàn)精度的提高需選擇精度更高的傳感器、控溫精度更高的水浴鍋?zhàn)鳛楹銣叵洌送獗M量減小外部環(huán)境的溫度變化對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，還應(yīng)正確使用測(cè)量?jī)x器以提高測(cè)量精度。

(3)為進(jìn)一步研究不確定度對(duì)松散煤體熱物性測(cè)量結(jié)果的影響，可從功率、初始溫度、煤粒大小以及數(shù)學(xué)模型中截?cái)嗾`差等的不確定性綜合分析，也可進(jìn)行導(dǎo)熱系數(shù)的不確定度分析，該工作有待進(jìn)一步深入研究。