渦扇發(fā)動機極點配置圓的多變量PI 控制設(shè)計

崔 穎，王 曦

（1.中國航發(fā)貴州紅林航空動力控制科技有限公司，貴陽550009；2.北京航空航天大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，北京100191；3.先進(jìn)航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100191）

0 引言

現(xiàn)代航空發(fā)動機的控制系統(tǒng)采用先進(jìn)的全權(quán)限數(shù)字電子和多變量控制技術(shù)。為了獲得優(yōu)越的性能，現(xiàn)代航空發(fā)動機工作范圍非常接近部件的機械、氣動和熱負(fù)荷的極限最大狀態(tài)。因此，需要采用先進(jìn)的多變量控制技術(shù)以保證發(fā)動機在全工作范圍內(nèi)的高精準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)控制[1-2]，具有先進(jìn)的伺服跟蹤和抗干擾的魯棒控制器成為現(xiàn)代航空發(fā)動機控制的核心技術(shù)。

在工程設(shè)計中，許多閉環(huán)反饋控制設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)化為靜態(tài)輸出反饋進(jìn)行求解[3-4]。近年來，相關(guān)研究取得了一系列成果。文獻(xiàn)[5]證明了對于嚴(yán)格真的線性系統(tǒng)都存在1 個穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制律的Riccati 方程解；文獻(xiàn)[6]在離散域研究了參數(shù)不確定性的靜態(tài)輸出反饋設(shè)計問題；文獻(xiàn)[7]提出了1 種改進(jìn)的靜態(tài)輸出反饋線性矩陣不等式的迭代求解算法；文獻(xiàn)[8] 通過最小化2 個決策矩陣變量的方法將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解，從而放寬了靜態(tài)輸出反饋控制的約束條件；文獻(xiàn)[9]提出了1 種通過求解線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality）和矩陣等式組成的方程組，獲得了嚴(yán)格真線性狀態(tài)空間模型輸出反饋控制律。

LMI 是MATLAB 軟件中解決魯棒控制問題的有效工具[10-12]，以橢球法和內(nèi)點法作為求解凸優(yōu)化數(shù)值求解問題的基礎(chǔ)，近年來在控制領(lǐng)域的應(yīng)用已十分廣泛[13-15]；采用雙目標(biāo)最優(yōu)化修正的自適應(yīng)控制則是近年來針對系統(tǒng)輸入中存在不確定性問題的1 種魯棒控制的有效方法[16]。

在穩(wěn)態(tài)控制器設(shè)計中，閉環(huán)極點在復(fù)平面的不同位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能[17]。本文以高精準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)控制為目標(biāo)，在靜態(tài)輸出反饋漸近穩(wěn)定條件的基礎(chǔ)上，考慮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度和魯棒穩(wěn)定性能，推導(dǎo)了極點配置圓的條件，提出了1 種多變量控制系統(tǒng)閉環(huán)極點配置圓的LMI 設(shè)計方法，并對渦扇發(fā)動機的雙回路控制和單回路控制進(jìn)行了仿真驗證。

1 輸出反饋PI 控制的轉(zhuǎn)化

設(shè)包含執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)特性的被控對象為

式中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(t)∈Rp為系統(tǒng)控制向量；y(t)∈Rm為系統(tǒng)輸出向量。

考慮被控對象∑1的閉環(huán)輸出反饋PI 控制律為

式中：Kp和Ki分別為PI 控制器的比例增益和積分增益。

以被控對象∑1的狀態(tài)向量和輸出向量構(gòu)造另一個被控對象∑2的新的狀態(tài)向量為

式中：T 為轉(zhuǎn)置符號。

則存在以下關(guān)系

式中：I∈Rm×m為單位對角矩陣。

將式（5）和式（6）代入式（2），則

并定義以下矩陣

則另一個被控對象∑2可用狀態(tài)向量z(t)∈Rn+m、控制向量u(t)∈Rp、輸出向量q(t)∈Rm+m構(gòu)造如下

由式（7）和式（9）可知，存在∑2的閉環(huán)反饋輸出控制律

則

2 極點配置圓條件

∑2閉環(huán)系統(tǒng)等價于如下自治系統(tǒng)

式中：Kg為被控對象∑2的輸出反饋增益矩陣。

選Lyapunov 二次函數(shù)V(z) = zTQz ＞0，則

式中：Q 為正定矩陣。

為使V˙(z)負(fù)定，令Q-1= P，則

在上述漸近穩(wěn)定條件的基礎(chǔ)上，考慮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度和魯棒穩(wěn)定性能，設(shè)存在1 個正定矩陣P＞0和魯棒穩(wěn)定性能特征因子α ＞0, β ＞0，構(gòu)造如下矩陣不等式

上述不等式（15）的第2 項P(Ag+ BgKgCg+ αI)T+(Ag+ BgKgCg+ αI)P ＜0反映了∑2閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，而第1 項β(Ag+ BgKgCg)P(Ag+ BgKgCg)T＜0 反映了∑2閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性能。

設(shè)ξ 為(Ag+ BgKgCg)T的特征值λ 的特征向量，對上式左乘ξ*右乘ξ，得

式中：λ*為λ 的共軛轉(zhuǎn)置，ξ*為ξ 的共軛轉(zhuǎn)置。即

式（17）表示閉環(huán)系統(tǒng)的極點矩陣(Ag+ BgKgCg)T的特征值λ 均落在如圖1 所示的以(-c,0)為圓心、r 為半徑的圓域內(nèi)。

圖1 閉環(huán)極點圓在復(fù)平面上的分布區(qū)域

對上述矩陣不等式進(jìn)行變換，得

由Schur 補引理，得線性矩陣不等式

設(shè)Y = KgCgP，則

求式（21）LMI 的解，其解P 若為正定陣，可構(gòu)造如下矩陣

當(dāng)M 非奇異時有惟一解為

當(dāng)M 奇異時，存在廣義逆的逼近解為

3 多變量控制極點配置算法

綜上所述，同時考慮到渦扇發(fā)動機多變量控制系統(tǒng)中不同物理參數(shù)量綱變化較大，應(yīng)對其進(jìn)行歸一化處理，形成多變量控制極點配置算法：

（1）對在穩(wěn)態(tài)設(shè)計點獲得的渦扇發(fā)動機狀態(tài)空間模型進(jìn)行歸一化處理，獲得渦扇發(fā)動機狀態(tài)空間歸一化線性模型；

（2）將執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)模型增廣到歸一化線性模型中，構(gòu)建渦扇發(fā)動機增廣狀態(tài)空間模型∑1；

（3）將被控對象∑1轉(zhuǎn)化為∑2；

（4）給定極點配置圓的幾何參數(shù)c、r；

（5）由式（26）計算穩(wěn)定裕度和魯棒穩(wěn)定性能特征因子α、β；

（6）用LMI 工具箱求解式（21），求得P、Y；

（7）由式（22）構(gòu)造M 矩陣，由M 的奇異性，通過式（24）、（25）求得Kg；

（8）對式（11）分解，可得Kp、Ki。

4 仿真驗證

為了驗證上述方法的伺服跟蹤和抗干擾性能，分雙軸渦扇發(fā)動機的多變量和單變量控制進(jìn)行仿真和分析。

4.1 雙回路控制

雙軸渦扇發(fā)動機狀態(tài)空間模型為

式中：狀態(tài)向量為x = [NLNH]T，NL為低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，NH為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；輸入向量為u = [ WfA8]T，Wf為主燃油流量，A8為尾噴口喉道面積；輸出向量為y =[NHπT]T，πT為渦輪落壓比。

設(shè)

則可得歸一化線性模型

采用雙回路控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，控制目標(biāo)

設(shè)調(diào)節(jié)主燃油流量回路和尾噴口喉道面積回路的執(zhí)行機構(gòu)傳遞函數(shù)是時間常數(shù)為0.1 s 的1 階慣性環(huán)節(jié)。

將發(fā)動機歸一化線性模型與執(zhí)行機構(gòu)模型進(jìn)行增廣，增廣狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣為

考慮到閉環(huán)極點圓的圓心位置在復(fù)平面上，若靠近虛軸，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)會變慢；若離虛軸太遠(yuǎn)，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)太快，與較慢的執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)產(chǎn)生不匹配的問題。折中考慮后圓心選為（-5，0）；同時，考慮到極點不能落到復(fù)平面的右半平面內(nèi)，以及極點位置不能太靠近虛軸，通過半徑對極點配置圓進(jìn)行約束，半徑選為r = 4，可得α = 0.9，β = 0.2，按本文所述方法求解LMI，計算結(jié)果為

將上述解按歸一化增廣對象求得的PI 控制器進(jìn)行反變換，得

對上述控制系統(tǒng)進(jìn)行階躍和斜波響應(yīng)的雙回路閉環(huán)仿真驗證。仿真時間為第5～45 s，其中在第5 ～30 s 考察階躍跟蹤響應(yīng)情況，在第30～45 s 考察斜波跟蹤響應(yīng)情況。高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速參考指令如圖2所示，渦輪落壓比參考指令如圖3 中所示。

圖2 NH 階躍指令、斜波指令和NH 響應(yīng)曲線

圖3 πT 階躍指令、斜波指令和πT 響應(yīng)曲線

從圖2 中可見，高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速參考指令在第5～10 s 保持NH= 10000 r/min 不變，在第10 s 加入ΔNH= 2800 r/min 的階躍信號，在第10～20 s 保持NH=12800 r/min 不變，在第20 s 加入ΔNH=-2800 r/min的階躍信號，在第20～30 s 保持NH=10000 r/min 不變，在第30～40 s 加入斜波指令信號，斜率為280 r/min/s，在第40～45 s 保持NH= 12800 r/min 不變。

從圖3 中可見，渦輪落壓比參考指令在第5～15 s保持πT= 8 不變，在第15 s 加入ΔπT= 0.5 的階躍信號，在第15～25 s 保持πT=8.5 不變，在第25 s 加入ΔπT= -0.5 的階躍信號，在第25～35 s 保持πT=8 不變，在第35～40 s 加入斜波指令信號，斜率為0.1/s，在第40～45 s 保持πT=9 不變。

高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速NH和渦輪落壓比πT的伺服跟蹤響應(yīng)曲線如圖2、3 虛線所示。在第5～30 s 的仿真過程中可見，在雙回路控制中，2 個回路在各自不同的階躍輸入指令下，在NH和πT動態(tài)調(diào)節(jié)過程中存在相互耦合干擾。

當(dāng)加入NH階躍指令信號時，NH響應(yīng)能夠伺服跟蹤第10、20 s 的階躍指令，對第15、25 s 由另一回路πT階躍響應(yīng)耦合的干擾具有抑制效果，且進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，能夠無靜差伺服跟蹤參考指令。

當(dāng)加入πT階躍指令信號時，πT響應(yīng)能夠伺服跟蹤在第15、25 s 的階躍指令，但在第10 、20 s 由另一回路NH階躍響應(yīng)耦合的干擾，會由于高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速NH的突變對渦輪落壓比πT帶來超調(diào)量約為1.3%的干擾，這種影響的動態(tài)調(diào)節(jié)時間不大于2 s，隨后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，能夠無靜差伺服跟蹤參考指令。

對于第30～40 s 的NH斜波指令和對于第35～40 s 的πT斜波指令，2 個回路之間的干擾作用很小，NH斜波跟蹤指令誤差不大于1.5%，πT斜波跟蹤指令誤差不大于0.4%。

4.2 單回路控制

固定噴口面積的雙軸渦扇發(fā)動機歸一化狀態(tài)空間模型為

執(zhí)行機構(gòu)是時間常數(shù)為0.2 s 的1 階慣性環(huán)節(jié)。為了考察執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)對控制系統(tǒng)的影響，分以下2種情況進(jìn)行對比分析。

4.2.1 情況1：不考慮執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)的設(shè)計

極點圓配置設(shè)計在以（-5，0）為圓心，r= 4 為半徑的圓內(nèi)，按上述方法對歸一化固定噴口面積的雙軸渦扇發(fā)動機求解控制器得Knp=4.8349，Kni=17.1438。其閉環(huán)系統(tǒng)的極點、零點如圖4 所示。

圖4 情況1 的閉環(huán)系統(tǒng)的極點、零點

從圖中可見，這3 個閉環(huán)極點其中1 個極點為-1.4+0i，與1 個閉環(huán)零點距離很近，因此動態(tài)性能主要由1 對共軛主導(dǎo)極點-3.2±1.1i 決定，其阻尼比約為0.95。

其Nyquist 曲線如圖5 所示，Bode 圖曲線如圖6所示。從圖中可見，系統(tǒng)有無窮大的幅值裕度和86毅的相角裕度。

首先，進(jìn)行不帶執(zhí)行機構(gòu)模型的閉環(huán)階躍響應(yīng)仿真，參考指令如圖7 中的實線所示。在穩(wěn)態(tài)點分別在第2、6、10、14 s 加入4 個小階躍和在第18 s 加入1個大階躍參考指令信號，獲得的低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速響應(yīng)如圖7 中的虛線所示。無動態(tài)超調(diào)，調(diào)節(jié)時間約為1 s左右，穩(wěn)態(tài)誤差為0。

圖5 情況1 的Nyquist 曲線

圖6 情況1 的Bode 圖曲線

圖7 情況1 的不帶執(zhí)行機構(gòu)模型的閉環(huán)NL 階躍響應(yīng)曲線

其次，將執(zhí)行機構(gòu)模型嵌入閉環(huán)中進(jìn)行仿真，在不同階躍幅值下的NL響應(yīng)動態(tài)性能變差，在第18 s加入較大的階躍指令幅值下的響應(yīng)超調(diào)量約為11%，如圖8 所示。

為了分析動態(tài)性能變差的原因，對執(zhí)行機構(gòu)模型增廣得到的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其閉環(huán)極點、零點分布如圖9 所示。

圖9 增廣執(zhí)行機構(gòu)后的閉環(huán)系統(tǒng)極點、零點

從圖中可見，這4 個閉環(huán)極點中的1 個與1 個閉環(huán)零點距離很近，動態(tài)性能主要由1 對共軛主導(dǎo)極點-2.3±3.2i 決定，其阻尼比約為0.55。

其Nyquist 曲線如圖10 所示。從圖中可見，Nyquist 頻譜左向彎曲靠近（-1，0i）點。

其Bode 曲線如圖11 所示。從圖中可見，雖然具有無窮大的幅值裕度，但是相角裕度只剩下55毅。

可見，在不考慮執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)時，閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比將減小0.4，相角裕度減少了30毅左右，這是導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)性能變差的主要原因。

圖11 增廣執(zhí)行機構(gòu)模型后的Bode 圖曲線

如果進(jìn)一步考察傳感器噪聲對控制系統(tǒng)性能的影響，加入頻率為10 Hz、幅值為±0.5 的均值為0 的高斯白噪聲測量信號，帶噪聲的轉(zhuǎn)速測量信號如圖12 所示。

圖12 情況1 的帶有噪聲NL 的測量信號

仿真結(jié)果如圖13 所示。從圖中可見，在不同階躍幅值下的階躍響應(yīng)動態(tài)性能進(jìn)一步變差，不僅超調(diào)增大，還出現(xiàn)不同程度的轉(zhuǎn)速擺動現(xiàn)象。

圖13 情況1 下閉環(huán)NL 階躍響應(yīng)曲線

4.2.2 情況2：考慮執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)的設(shè)計

作為對比設(shè)計，將發(fā)動機歸一化線性模型與執(zhí)行機構(gòu)模型進(jìn)行增廣，增廣狀態(tài)空間模型矩陣為

極點圓配置同上，按上述方法求解，得Knp=2.2048，Kni=7.0648。其閉環(huán)極點、零點分布如圖14所示。其Nyquist 曲線如圖15 所示。

Bode 圖曲線如圖16 所示。從圖中可見，系統(tǒng)具有無窮大的幅值裕度和近78毅的相角裕度。

圖14 情況2 的閉環(huán)系統(tǒng)的極點、零點

圖15 情況2 的Nyquist 曲線

圖16 情況2 的Bode 圖曲線

首先，在仿真中未加入傳感器測量噪聲，在不同階躍幅值下的低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖17 所示。NL轉(zhuǎn)速無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間為1.5 s。

圖17 情況2 的閉環(huán)NL 階躍響應(yīng)曲線（傳感器不帶噪聲）

其次，在仿真中加入頻率為10 Hz、幅值為 的均值為0 的高斯白噪聲測量信號，轉(zhuǎn)速傳感器信號如圖18 所示。

帶傳感器噪聲的不同轉(zhuǎn)速階躍幅值下的響應(yīng)曲線如圖19 所示。NL轉(zhuǎn)速無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間為1.5 s。

圖18 情況2 的帶有噪聲的NL 測量信號

圖19 情況2 的閉環(huán)NL 階躍響應(yīng)曲線（傳感器帶噪聲）

進(jìn)一步考慮執(zhí)行機構(gòu)建模的不確定性，設(shè)執(zhí)行機構(gòu)的實際時間常數(shù)Ta=0.35 s，加入的傳感器噪聲信號同前，NL測量信號如圖20 所示。

仿真結(jié)果如圖21 所示。從圖中可見，即使在執(zhí)行機構(gòu)未建模動態(tài)存在0.15 s 的情況下，控制系統(tǒng)的動態(tài)性能未明顯變差，仍具有魯棒性能，小階躍超調(diào)量在0.5%之內(nèi)，調(diào)節(jié)時間小于2 s，大階躍超調(diào)量在3%之內(nèi)，調(diào)節(jié)時間小于3.5 s。

圖20 情況2 的含噪聲的反饋NL 信號

圖21 情況2 的閉環(huán)NL 階躍響應(yīng)曲線（執(zhí)行機構(gòu)Ta=0.35 s）

5 結(jié)論

本文提出了1 種多變量控制系統(tǒng)閉環(huán)極點配置圓的LMI 設(shè)計方法，在雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動機上進(jìn)行了仿真驗證，得到結(jié)論如下：

（1）對雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動機雙回路控制的仿真表明：控制系統(tǒng)對于高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速回路和渦輪落壓比回路具有伺服跟蹤性能和抗回路耦合干擾性能；高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速NH的階躍突變對渦輪落壓比πT超調(diào)量約1.3%的干擾，動態(tài)調(diào)節(jié)時間不大于2 s，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，能夠無靜差伺服跟蹤參考指令。

（2）對雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動機單回路控制的仿真表明：不考慮執(zhí)行機構(gòu)動態(tài)直接進(jìn)行控制器設(shè)計，其相角裕度將減少30毅左右，導(dǎo)致系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性變差。