基于壓縮感知的信號(hào)重構(gòu)與DOA估計(jì)

漆昌云

摘 要：波達(dá)方向估計(jì)技術(shù)通過(guò)對(duì)回波信息的處理能夠確定信源的方位等相關(guān)信息?，F(xiàn)階段的波達(dá)方向估計(jì)主要通過(guò)陣列的空間譜估計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)，傳統(tǒng)的空間譜算法需要借助大量快拍數(shù)據(jù)才能獲得相對(duì)較高的分辨率。在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上，從波達(dá)方向估計(jì)信號(hào)的空間特性出發(fā)，引入了一種協(xié)方差向量稀疏表示的波達(dá)方向估計(jì)算法。仿真結(jié)果表明，所提算法與傳統(tǒng)算法相比波達(dá)方向估計(jì)的分辨率有所提高，在采樣數(shù)據(jù)相對(duì)較少的情況下也能精確恢復(fù)原信號(hào)。

關(guān)鍵詞：壓縮感知;波達(dá)方向估計(jì);重構(gòu)算法;分辨率;壓縮感知;協(xié)方差向量

中圖分類號(hào)：TP39文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-1302（2019）11-00-03

0 引 言

通過(guò)陣列傳感器接收的信號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)空間信源的定位是信號(hào)處理領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)，它在軍用和民用領(lǐng)域都有著極為重要的應(yīng)用，所以對(duì)波達(dá)方向（DOA）估計(jì)的研究有著不可替代的意義。

早期的DOA估計(jì)方法是指波束形成類算法[1]，但是該算法的估計(jì)精度受到瑞利限的制約[2]，之后多重信號(hào)分類算法（MUSIC）的提出突破了孔徑對(duì)波達(dá)方向的瑞利限制[3]，為波達(dá)方向估計(jì)提供了一個(gè)新思路，但在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)信號(hào)的快拍數(shù)和信噪比要求比較高。近年來(lái)，越來(lái)越多的現(xiàn)代信號(hào)處理方法被應(yīng)用到DOA估計(jì)中，如利用小波變換提升信噪比[4]、借助遺傳算法優(yōu)化算法性能[5]等。除此之外，壓縮理論的提出也有效降低了DOA的角度估計(jì)誤差[6]。本文采用基于壓縮傳感的協(xié)方差向量稀疏表示算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)DOA的估計(jì)，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)與MUSIC算法進(jìn)行對(duì)比。

1 壓縮感知理論基礎(chǔ)

壓縮感知理論主要思想是首先通過(guò)一個(gè)觀測(cè)矩陣對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，之后借助一定的重構(gòu)算法從少量采樣值中恢復(fù)原始信號(hào)[7]。要完成上述過(guò)程需要滿足原始信號(hào)具有稀疏性以及觀測(cè)矩陣具有有限等距性兩大前提條件[8]。

1.1 信號(hào)的稀疏表達(dá)

如果存在長(zhǎng)度為N的一維離散信號(hào)，則該信號(hào)的lp范數(shù)為：

信號(hào)X∈RN，它在基矩陣Ψ下的表示系數(shù)矢量為：

根據(jù)公式（1），如果s滿足式（3）：

式中的p和K如果同時(shí)滿足0≤p≤2和K≥0，就意味著x可以在Ψ下進(jìn)行稀疏表達(dá)。由于觀測(cè)矩陣是對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行采樣，所以，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行稀疏表達(dá)是極為重要的第一步。稀疏分解算法是稀疏表達(dá)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，目前信號(hào)稀疏分解算法中最基本的有匹配追蹤算法和基追蹤算法[9]。

1.2 觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)

獲得原始信號(hào)的稀疏表示后，就要對(duì)其進(jìn)行采樣。設(shè)計(jì)一個(gè)觀測(cè)矩陣，在該矩陣下的投影信號(hào)y不但可以包含原始信號(hào)的絕大部分信息且長(zhǎng)度遠(yuǎn)短于原始信號(hào)。

壓縮感知理論表明，重構(gòu)算法一定時(shí)，壓縮感知矩陣性能越好，信號(hào)重構(gòu)誤差越小。當(dāng)基矩陣Ψ已知時(shí)，A就由投影矩陣Φ決定。應(yīng)用最多的投影測(cè)量矩陣包括高斯矩陣和貝努利矩陣，二者均可滿足有限等距性（Restricted Isometry Propetry，RIP），且具有測(cè)量次數(shù)少、重建性能高等優(yōu)點(diǎn)。

1.3 信號(hào)重構(gòu)算法

在壓縮傳感中，重構(gòu)算法是整個(gè)過(guò)程的核心，即通過(guò)獲得的測(cè)量向量y和壓縮感知矩陣A來(lái)恢復(fù)原始信號(hào)x。目前使用最多的是貪婪算法和凸優(yōu)化算法。

當(dāng)公式（1）中p=0時(shí)，可得l0范數(shù)，它代表了原始信號(hào)x中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，因此當(dāng)信號(hào)具有稀疏性時(shí)，矢量方程y=As的求解就可以轉(zhuǎn)化為最小l0范數(shù)的求解：

凸優(yōu)化算法是將求解l0范數(shù)問(wèn)題變成求解l1優(yōu)化問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]指出當(dāng)傳感矩陣A滿足RIP時(shí)，用l1范數(shù)替代l0范數(shù)會(huì)產(chǎn)生近似解：

就兩種算法相比，貪婪算法方法簡(jiǎn)單，但是重構(gòu)質(zhì)量不高;凸優(yōu)化算法求解精度高，但是計(jì)算復(fù)雜度也相對(duì)較高。

2 基于壓縮感知的DOA估計(jì)

根據(jù)來(lái)波方向在空域上具有的稀疏特性[11]，我們可以將壓縮感知理論應(yīng)用到DOA估計(jì)中。本文主要在DOA估計(jì)中引入?yún)f(xié)方差向量稀疏表示算法，該算法首先將陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行稀疏表示，然后利用凸優(yōu)化算法對(duì)稀疏信號(hào)重構(gòu)實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

假設(shè)目標(biāo)空間有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到M元傳感器陣列上，且K

式中：表示M×K維導(dǎo)向矢量矩陣;n表示高斯白噪聲。接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣可以表示為：

式中：Rx表示信源的協(xié)方差矩陣;σ2為噪聲的方差。

由線性代數(shù)知識(shí)可知，R的每列可以用M維空間的完備基來(lái)進(jìn)行線性表示[12]，即：

式中sm為系數(shù)向量，本質(zhì)上是含有K個(gè)實(shí)際目標(biāo)，其余元素為0的稀疏信號(hào)。，后面用A表示。當(dāng)N足夠大時(shí)，中就有K個(gè)向量接近或者等于，所以向量sm中有K個(gè)非零值與對(duì)應(yīng)，即sm與DOA估計(jì)的信號(hào)具有相同的稀疏結(jié)構(gòu)。因此可以把式（8）寫為：

式中，理想情況下與sm稀疏結(jié)構(gòu)一致，所以其非零元素與S一一對(duì)應(yīng)。通過(guò)l2范數(shù)對(duì)S進(jìn)行整合，我們可以定義一個(gè)新的向量，中的每個(gè)元素滿足，此時(shí)中的第n個(gè)元素和S中第n行向量的l2范數(shù)相等?？梢?，與S具有相同的稀疏結(jié)構(gòu)。所以是陣列協(xié)方差矩陣的一個(gè)稀疏表示，當(dāng)σ2Im接近0時(shí)，可以通過(guò)重構(gòu)進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

3 仿真分析

實(shí)驗(yàn)1：在高斯白噪聲條件下，假定接收陣列為8陣元均勻線陣，相鄰陣元之間的間距為1/2波長(zhǎng)，采樣快拍數(shù)為256，信噪比為-10 dB，3個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信源的到達(dá)角分別為-5°，10°，30°，兩種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2中可以明確看出，基于壓縮感知的DOA估計(jì)比MUSIC算法的DOA估計(jì)分辨率高。

實(shí)驗(yàn)2：采用2個(gè)信源，到達(dá)角度為θ1=10°，θ2=25°。其余實(shí)驗(yàn)條件與實(shí)驗(yàn)1相同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

實(shí)驗(yàn)3：入射角θ1=15°，θ2=15°+Δθ，其中Δθ∈[-5°，+5°]，信噪比為10 dB，實(shí)驗(yàn)次數(shù)200次，其余實(shí)驗(yàn)條件與實(shí)驗(yàn)1相同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由圖3可知，DOA估計(jì)的均方根誤差均隨著信噪比的提高逐漸減小;當(dāng)信噪比大于10 dB時(shí)，角度估計(jì)的成功率可達(dá)100%。相同的信噪比下，基于壓縮感知算法的DOA估計(jì)比傳統(tǒng)的DOA估計(jì)誤差小，準(zhǔn)確度高。

由圖4看出，兩種算法的均方根誤差均隨著角度間隔的增大而減小;在信號(hào)角度間距較小時(shí)，基于壓縮感知算法的DOA估計(jì)比MUSIC算法的DOA估計(jì)性能好，角度分辨率明顯改善。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文首先介紹了DOA估計(jì)的研究歷史，然后簡(jiǎn)要說(shuō)明了壓縮感知的基本理論并闡述了一種基于協(xié)方差向量稀疏表示的DOA估計(jì)算法。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，將基于壓縮感知的協(xié)方差向量稀疏表示波達(dá)方向估計(jì)算法與多重信號(hào)分類算法相比較，證明本文算法在角度分辨率、估計(jì)精度等方面具有更好的性能。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] KRIM H，VIBERG M.Two decades of array signal processing research：the parametric approach [J]. IEEE signal processing magazine，1996，13（4）：67-94.

[2]史林.基于壓縮感知的DOA估計(jì)算法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2017.

[3]趙鵬宇.基于字典優(yōu)化的壓縮感知DOA估計(jì)[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2018.

[4]王兆瑞，張杰.一種基于小波變換的波達(dá)方向估計(jì)方法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40（s1）：111-114.

[5]呂鐵軍，王河.利用改進(jìn)的遺傳算法的DOA估計(jì)[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2000，15（4）：429-433.

[6]危瑞奇.基于壓縮感知的DOA估計(jì)方法研究[D].成都：電子科技大學(xué)，2017.

[7]王紅云.基于壓縮傳感的信號(hào)重構(gòu)與DOA估計(jì)[D].太原：中北大學(xué)，2018.

[8]方杰.壓縮感知觀測(cè)矩陣和重構(gòu)算法的研究[D].廣州：華南理工大學(xué)，2015.

[9] MALLAT S，ZHANG Z. Matching pursuits with time frequency dictionaries [J]. IEEE trans. signal process，1993，41（12）.

[10]王宏禹，邱天爽，陳喆.非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)分析與處理[M].2版.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008.

[11]胡南.基于稀疏重構(gòu)的陣列信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)算法研究[D].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2013.

[12]燕靜波.基于壓縮感知的DOA估計(jì)研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2013.