考研概率統(tǒng)計重點內(nèi)容及常見題型

戴立輝 任麗

摘 ?要：考研概率統(tǒng)計主要考查學(xué)生對概率統(tǒng)計基本概念、基本理論和基本方法的理解和應(yīng)用。根據(jù)筆者多年的教學(xué)實踐和經(jīng)驗，依照考研數(shù)學(xué)考試大綱，對考研概率統(tǒng)計的重點內(nèi)容及常見題型進(jìn)行歸納和總結(jié)，將概率統(tǒng)計課程要求學(xué)生掌握的知識體系體現(xiàn)出來，可作為學(xué)生考研復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計和教師進(jìn)行概率統(tǒng)計教學(xué)時參考。

關(guān)鍵詞：考研 ?概率統(tǒng)計 ?重點內(nèi)容 ?常見題型

中圖分類號：O21 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）10（b）-0130-02

概率統(tǒng)計是考研數(shù)學(xué)的組成部分之一，主要考查學(xué)生對概率統(tǒng)計基本概念、基本理論和基本方法的理解和應(yīng)用。由于其內(nèi)容涉及較多的高等數(shù)學(xué)或微積分基本知識，因此許多學(xué)生在把握上有一定的難度，對該課程的考題常常無從入手。

考研概率統(tǒng)計包括隨機(jī)事件及其概率、一維隨機(jī)變量及其概率分布、多維隨機(jī)變量及其概率分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)估計和假設(shè)檢驗等內(nèi)容[1-2]。要求學(xué)生首先要充分理解概率統(tǒng)計的基本概念，在此基礎(chǔ)上，熟練掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本計算方法。

該文依據(jù)考研數(shù)學(xué)考試大綱[3]，對考研概率統(tǒng)計的重點內(nèi)容及常見題型進(jìn)行歸納和總結(jié)，從而將概率統(tǒng)計課程要求學(xué)生掌握的知識體系體現(xiàn)出來，有益于學(xué)生較好的復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計，并可作為教師進(jìn)行概率統(tǒng)計教學(xué)時參考。

1 ?隨機(jī)事件及其概率

該章主要內(nèi)容是隨機(jī)事件及其概率，包括事件概率的概念、基本性質(zhì)、計算公式和事件的獨立性等，它們是概率論中最基本、最重要的基礎(chǔ)知識。

重點內(nèi)容是：（1）隨機(jī)事件與運(yùn)算;（2）隨機(jī)事件的概率（統(tǒng)計型概率、古典型概率、幾何型概率、概率的嚴(yán)格定義）;（3）概率的基本性質(zhì)（加法公式、減法公式、逆事件概率公式等）;（4）條件概率及有關(guān)公式（乘法公式、全概率公式、Bayes公式）;（5）隨機(jī)事件的相互獨立。常見題型有：（1）利用事件之間的關(guān)系與運(yùn)算計算事件的概率;（2）利用事件概率的基本性質(zhì)證明概率等式或計算一些事件的概率;（3）計算事件的古典型概率與幾何型概率;（4）利用加法公式、減法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和Bayes公式計算事件的概率;（5）隨機(jī)事件相互獨立的證明或利用相互獨立計算事件的概率。

2 ?一維隨機(jī)變量及其概率分布

隨機(jī)變量是概率統(tǒng)計的一個主要研究對象，是概率統(tǒng)計的重點內(nèi)容之一，在概率統(tǒng)計中占有極其重要的位置。該章討論一維隨機(jī)變量及其概率分布。

重點內(nèi)容是：（1）隨機(jī)變量（分布函數(shù)及其性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、分布律、概率密度等）;（2）常見離散型隨機(jī)變量的分布（0～1分布、二項分布、泊松分布、幾何分布、超幾何分布）;（3）常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布（均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布）;（4）（離散型、連續(xù)型）隨機(jī)變量函數(shù)的分布。常見題型有：（1）利用分布函數(shù)、分布律或概率密度計算事件的概率;（2）由給定的試驗求隨機(jī)變量的概率分布;（3）利用常見隨機(jī)變量的分布計算事件的概率;（4）求某些隨機(jī)變量簡單函數(shù)的概率分布。

3 ?多維隨機(jī)變量及其概率分布

由一維隨機(jī)變量推廣到二維、多維隨機(jī)變量，該章繼續(xù)研究隨機(jī)變量的概率分布。

重點內(nèi)容是：（1）二維隨機(jī)變量及其概率分布（二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)、離散型二維隨機(jī)變量、連續(xù)型二維隨機(jī)變量等）;（2）隨機(jī)變量的邊緣分布（邊緣分布律、邊緣概率密度）;（3）隨機(jī)變量的相互獨立性;（4）兩個隨機(jī)變量函數(shù)和的分布與極值分布等。常見題型有：（1）確定二維隨機(jī)變量的概率分布或利用二維隨機(jī)變量分布進(jìn)行相關(guān)計算;（2）求二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布;（3）判斷隨機(jī)變量的相互獨立性或利用隨機(jī)變量的相互獨立性計算相關(guān)事件的概率;（4）求兩個隨機(jī)變量，特別是兩個獨立隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布，如和的分布、極值分布等。

4 ?隨機(jī)變量的數(shù)字特征

由于在許多實際問題中，要確定隨機(jī)變量的分布是比較困難的，而且有時并不需要全面考察隨機(jī)變量的變化情況，因此研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征是非常必要的，常見的數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩。

重點內(nèi)容是：（1）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（數(shù)學(xué)期望的定義和基本性質(zhì)、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望）;（2）隨機(jī)變量的方差（方差的定義和基本性質(zhì)、常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差）;（3）隨機(jī)變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)與矩（協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)、獨立性與不相關(guān)性、矩、協(xié)方差矩陣）。常見題型有：（1）計算隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望;（2）計算隨機(jī)變量的方差;（3）計算一些隨機(jī)變量簡單函數(shù)的方差;（4）計算隨機(jī)變量之間的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)并判斷它們的相關(guān)性。

5 ?大數(shù)定律和中心極限定理

該章主要包括大數(shù)定律和中心極限定理兩部分內(nèi)容。

重點內(nèi)容是：（1）切比雪夫（Chebyshev）不等式與大數(shù)定律（切比雪夫大數(shù)定理、伯努利（Bernoulli）大數(shù)定理和辛欽大數(shù)定理等）;（2）中心極限定理（林德伯格-列維定理、De-Moivre-Laplace定理）。常見題型有：（1）利用切比雪夫不等式估計某些事件的概率;（2）利用林德伯格-列維定理近似計算某些事件的概率;（3）利用De-Moivre-Laplace定理近似計算二項分布相關(guān)事件概率。

6 ?數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

數(shù)理統(tǒng)計是用概率論的基本方法，根據(jù)試驗觀測到的數(shù)據(jù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，從而對隨機(jī)對象的客觀規(guī)律性做出估計或判斷。

重點內(nèi)容是：（1）基本概念（總體與樣本、統(tǒng)計量與樣本矩）;（2）三個重要分布與抽樣分布定理（x2分布、t分布和F分布，正態(tài)總體下的抽樣分布定理）。常見題型有：（1）計算樣本均值、樣本方差和樣本矩;（2）利用x2分布、t分布和F分布推斷某些統(tǒng)計量的分布、性質(zhì);（3）推斷正態(tài)總體的某些統(tǒng)計量的分布或計算相關(guān)概率。

7 ?參數(shù)估計

所謂參數(shù)估計，就是利用樣本所得到的信息來估計有關(guān)總體分布中的未知參數(shù)。主要研究參數(shù)估計的點估計和區(qū)間估計。

重點內(nèi)容是：（1）點估計（矩估計法與最大似然估計法）;（2）估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)（無偏性、有效性與相合性）;（3）區(qū)間估計（區(qū)間估計的概念、單個正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間、兩個正態(tài)總體均值之差與方差之比的置信區(qū)間）。常見題型有：（1）求參數(shù)的矩估計量或估計值、最大似然估計量或估計值;（2）判斷估計量的無偏性、有效性和相合性;（3）求單個或兩個正態(tài)總體參數(shù)（均值和方差）的置信區(qū)間。

8 ?假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗是統(tǒng)計的另一類問題，主要包括參數(shù)的假設(shè)檢驗和非參數(shù)的假設(shè)檢驗。要求學(xué)生會對正態(tài)總體均值和方差行顯著性檢驗。

重點內(nèi)容是：（1）假設(shè)檢驗的基本方法（假設(shè)檢驗的基本思想、兩類錯誤與假設(shè)檢驗的步驟）;（2）單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗;（3）兩個正態(tài)總體均值之差與方差之比的檢驗。常見題型有：（1）對單個正態(tài)總體的均值、方差進(jìn)行檢驗;（2）對兩個正態(tài)總體均值之差、方差之比進(jìn)行檢驗。

在考研數(shù)學(xué)真題中，我們可以看到，概率統(tǒng)計的大多數(shù)試題都是基本題，主要考查學(xué)生對所學(xué)知識的理解和應(yīng)用。因此，要求學(xué)生要能綜合應(yīng)用高等數(shù)學(xué)或微積分的基本知識，去解決相關(guān)的概率統(tǒng)計問題。

參考文獻(xiàn)

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 戴立輝，林大華，林苗.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2014.

[3] 教育部考試中心.全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015.