邊積分析法證明孿生素數(shù)猜想
2019-12-09 02:06:28楊哲
智富時代 2019年10期
楊哲
【摘 要】本文采用邊積分析法證明了孿生素數(shù)猜想，即此法證明了孿生素數(shù)有無限多個。
【關(guān)鍵詞】孿生素數(shù)猜想;張益唐;孿生素數(shù)無限定理;邊際區(qū)間;邊積分析法
一、引言
張益唐論文“素數(shù)間的有界距離[1]”稱證明了孿生素數(shù)猜想一個弱化形式。
本文另辟蹊徑，采用“邊際分析法”證明了孿生素數(shù)猜想。
二、定理
設p為孿生素數(shù)對中比較小的那一個孿生素數(shù)，用x（p，p+2）表示孿生素數(shù)對的個數(shù)。
孿生素數(shù)無限定理：使得p+2仍然為素數(shù)的素數(shù)p有無窮多個。
表達式：x（p，p+2）→+∞.
三、方法
1.分析
設n，k均為正整數(shù)，對于任意一個偶數(shù)2n都存在一個邊際區(qū)間[2n，2（n+k）]，只要這個區(qū)間足夠大（即只要k足夠大），總是存在有孿生素數(shù)對。
（1）邊際區(qū)間（12，24]：
在12的邊際區(qū)間（12，24]，可以找到一個孿生素數(shù)對（11，13）
14=7+7=（7-1）+（7+1）=6+8，，16=8+8=（8-1）+（8+1）=7+9，
18=9+9=（9-1）+（9+1）=8+10，20=10+10=（10-1）+（10+1）=9+11，
22=11+11=（11-1）+（11+1）=10+12，
24=12+12=（12-1）+（12+1）=11+13（是孿生素數(shù)對）
（2）邊際區(qū)間（24，38]：
在24的邊際區(qū)間（24，38]，可以找到一個孿生素數(shù)對（17，19）
26=13+13=（13-1）+（13+1）=12+14，28=14+14=（14-1）+（14+1）=13+15，
30=15+15=（15-1）+（15+1）=14+16，30=15+15=（15-1）+（15+1）=14+16，
32=16+16=（16-1）+（16+10=15+17，34=17+17=（17-1）+（17+1）=16+18，
36=18+18=（18-1）+（18+1）=17+19（是孿生素數(shù)對）
（3）邊際區(qū)間（38，60]：
在38的邊際區(qū)間（38，60]，可以找到一個孿生素數(shù)對（29，31）
38=19+19=（19-1）+（19+1）=18+20
40=20+20=（20-1）+（20+1）=19+21
42=21+21=（21-1）+（21+1）=20+22
44=22+22=（22-1）+（22+1）=21+23
46=23+23=（23-1）+（23+1）=22+24
48=24+24=（24-1）+（24+1）=23+25
50=25+25=（25-1）+（25+1）=24+26
52=26+26=（26-1）+（26+1）=25+27
54=27+27=（27-1）+（27+1）=26+28
56=28+28=（28-1）+（28+1）=27+29
58=29+29=（29-1）+（29+1）=28+30
60=30+30=（30-1）+（30+1）=29+31（是孿生素數(shù)對）
（4）邊際區(qū)間（60，84]：
在60的邊際區(qū)間（60，84]，可以找到一個孿生素數(shù)對（41，43）
62=31+31=（31-1）+（31+1）=30+32
64=32+32=（32-1）+（32+1）=31+33
66=33+33=（33-1）+（33+1）=32+34
68=34+34=（34-1）+（34+1）=33+35
70=35+35=（35-1）+（35+1）=34+36
72=36+36=（36-1）+（36+1）=35+37
74=37+37=（37-1）+（37+1）=36+38
76=38+38=（38-1）+（38+1）=37+39
78=39+39=（39-1）+（39+1）=38+40
80=40+40=（40-1）+（40+1）=39+41
82=41+41=（41-1）+（41+1）=40+42
84=42+42=（42-1）+（42+1）=41+43（是孿生素數(shù)對）
只要k足夠大，在2n的邊際區(qū)間總存在有孿生素數(shù)對。
2.定理
邊際定理：對于任意一個正整數(shù)n總是存在有足夠大的正整數(shù)k，使得偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n，2（n+k）]都存在有一個孿生素數(shù)對（p，p+2）.
表達式：2（n+k）=（n+k-1）+（n+k+1）=p+（p+2），其中：p=n+k-1，p+2=n+k+1.
證明：
設p為素數(shù)并且使得p+2仍然為素數(shù)，設m=n+k為等差數(shù)列p，m，p+2的等差中項。
有：m=n+k=p+1.
則：m-1=p=n+k-1，m+1=p'+1+1=p+2=（n+k-1）+2=n+k+1，
即：p=n+k-1，p+2=n+k+1.
所以，只要正整數(shù)k足夠大，對于任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n，2（n+k）]總是有：
2（n+k）=（n+k）+（n+k）=（n+k-1）+（n+k+1）=p+（p+2）等式成立。
所以，只要正整數(shù)k足夠大，在任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n，2（n+k）]總是有孿生素數(shù)對（P=n+k-1，p+2=n+k+1）存在。
所以，邊際定理成立。
四、證明
證明孿生素數(shù)猜想，就是證明孿生素數(shù)無限定理。
依據(jù)邊際定理，只要正整數(shù)k足夠大，在任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n，2（n+k）]都存在有孿生素數(shù)對（p=n+k-1，p+2=n+k+1）。
而且當n無限大時任意偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n，2（n+k）]有無限多個，所以它使得孿生素數(shù)對（p=n+k-1，p+2=n+k+1）有無限多個。
所以孿生素數(shù)對（p，p+2）有無限多個，即使得p+2仍然為素數(shù)的素數(shù)p有無限多個。
于是，孿生素數(shù)猜想得到證明，即孿生素數(shù)無限定理得到證明。
【參考文獻】
[1]張益唐，素數(shù)間的有界距離，（美國）數(shù)學年刊，179（2014）：1121-1174.
