淺談不等式的證明方法

申月

摘 要： 不等式是數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用的技巧性工具，而不等式的證明則是不等式知識(shí)的重要組成內(nèi)容.本文主要分三大部分闡述不等式的證明方法.在初等數(shù)學(xué)中，常見證明方法有比較法、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等等.此外，還可利用函數(shù)的極值、單調(diào)性等來證明不等式.特別的，在高等數(shù)學(xué)中，證明不等式常用到泰勒公式、中值定理、拉格朗日函數(shù)以及一些重要不等式來證明.

關(guān)鍵詞：不等式;綜合法;函數(shù);中值定理

不等式是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要課題，也是分析和解決其他問題的基礎(chǔ)和工具.而不等式證明是不等式內(nèi)容的基石，此類題的題型比較多，證明方法也比較靈活，不拘一格.所以此內(nèi)容不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).本論文主要討論用各種方法證明不等式，通過這些方法的學(xué)習(xí)，我們可以很好的接觸一些常見的數(shù)學(xué)思想方法，開拓我們的數(shù)學(xué)思維，使我們對(duì)不等式的證明有更深入的了解，有利于我們站在更高的角度研究數(shù)學(xué)不等式.

一 常見方法

（一）比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，常見有作差比較法和作商比較法兩種.

1、 作差比較：

比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小時(shí)，可通過判斷 的符號(hào)來確定.步驟基本為：作差——變形（因式分解、配方、通分、應(yīng)用已知定理、公式及題設(shè)條件等）——判斷符號(hào)（將結(jié)果與零作比較）.

2、作商比較：

一般在 與 均是正數(shù)時(shí)，可通過 或 來判斷大小，步驟基本為：作商——變形（積冪運(yùn)算等）——判斷（將結(jié)果與1比較）.

注意：在作差過程中，若將兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差比較大小.總之，可根據(jù)具體題目做分析.

（二）分析法

分析法由結(jié)果出發(fā)，逐步推導(dǎo)使得上一步成立的充分條件，最后與已知、定理、恒成立的結(jié)果統(tǒng)一，但要使得每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆.

例3 求證： .

證明：要證 ，即證 ，即 ， ，由此逆

推即得 .

注意：分析法是數(shù)學(xué)中基本的方法，基本思想是“由果索因”，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件.在證明對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目時(shí)，特別是某些含有根式的不等式時(shí)往往更是行之有效的，彌補(bǔ)了其他方法的不足.但在使用這些技巧證明時(shí)，要注意遵循不等式性質(zhì).另外也要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用.

（三）綜合法

從已知條件、定理、定義和已將證明的重要不等式出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)，逐步推導(dǎo)，最終推出要證的不等式，這就是綜合法.即“由因?qū)Ч保梢阎霭l(fā)，推得要證不等式.

例4已知： ，求證： .

證明：由 ，知 ，即 ，則 .

在用綜合法證明不等式時(shí)，要注意運(yùn)用常見的基本不等式.常見基本不等式有：

⑴ .⑵ 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）.⑶ （ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）.

（四）反證法

反證法是證明不等式的一種間接證法.其基本步驟就是：先否定結(jié)論，再進(jìn)行合理的邏輯推理演算，而引出矛盾，進(jìn)而得證.

假設(shè) ，則 ， ， ，因?yàn)?， 都是正數(shù)，所以 ，與 矛盾.

所以有

（五） 放縮法

通過觀察不等式的結(jié)構(gòu)形式，相應(yīng)的把不等式一邊擴(kuò)大或縮小，再利用不等式的性質(zhì)證明不等式，使得證明過程清晰自然.

在證明過程中，常采用的放縮方法有：⑴添加或舍棄一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng).⑵先放縮在求和.（先求和在放縮）.⑶先裂項(xiàng)，后放縮.（先放縮，后裂項(xiàng)）.⑷放大或縮小因式.⑸逐項(xiàng)放大或縮小.⑹固定一部分的項(xiàng)，放縮另一部分項(xiàng).

在使用放縮方法時(shí)，首先要確定放縮目標(biāo)，抓住題目特點(diǎn)，采用適合的放縮方法才能把問題解決.

（六）數(shù)學(xué)歸納法

如果不等式與自然數(shù) 有關(guān)，我們不可能就所有自然數(shù)加以論證.對(duì)于這類不等式，通常采用數(shù)學(xué)歸納法來解決.這種方法是證明不等式與 有關(guān)的有效方法.基本步驟：當(dāng) 取第一個(gè)值時(shí)使得不等式成立，若假設(shè)使不等式在 時(shí)成立，還能證明不等式在 時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對(duì) 取第一個(gè)值以后的所有自然數(shù)都能成立.

因此，所要證明的不等式對(duì)任何整數(shù) 都成立.

要注意數(shù)學(xué)歸納法有多種形式，也常與其他方法綜合運(yùn)用.它的優(yōu)點(diǎn)是克服了完全歸納法的繁雜和不可行，又克服了不完全歸納法的不可靠的不足.使我們認(rèn)識(shí)到事物的由繁到簡(jiǎn)，由特殊到一般，由有限到無窮，可以說是一種科學(xué)的方法.但并不是所有含 的不等式都能用數(shù)學(xué)歸納法.在遇到具體問題時(shí)，要多方考慮.

（七） 換元法

換元法就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，這樣即找到了證明不等式的思路，更加達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)，化難為易，而完成某種轉(zhuǎn)換，達(dá)到證明的目的.

另外，一些看似復(fù)雜無從下手的不等式，可采用三角代換的方法，三角函數(shù)含有豐富的性質(zhì)和公式，巧妙的運(yùn)用公式，可使不等式變得簡(jiǎn)單明了.例如三角函數(shù)中的三個(gè)平方關(guān)系： ， ， .可充分利用這三個(gè)式子，對(duì)形如 這樣的式子進(jìn)行三角代換，進(jìn)而將一般的代數(shù)問題轉(zhuǎn)換為三角問題，順利解決證明.

（八）判別式法

在不等式中字母指明為實(shí)數(shù)時(shí)，且字母的最高次數(shù)為二次或二次以上，可設(shè)法構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用關(guān)于某一變?cè)亩稳?xiàng)式，使不等式中字母作為方程的各項(xiàng)系數(shù)（或常數(shù)項(xiàng)），有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式.

例9 設(shè) ，證明 .

證明：設(shè) ，得關(guān)于 的二次三項(xiàng)式 ，

因判別式

，

且二次項(xiàng)系數(shù)為正.

故 ，即 .

（九）構(gòu)造法

所謂構(gòu)造法，就是通過聯(lián)想，把問題中要解決的難點(diǎn)構(gòu)造新的數(shù)學(xué)形式，使所求的問題發(fā)生形式上的轉(zhuǎn)化，再利用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)，合理、直觀地解決問題.構(gòu)造法證明不等式其實(shí)質(zhì)是將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，它以構(gòu)造方程、數(shù)列、向量、幾何圖形等作為主要手段.其中在借助幾何圖形證明不等式時(shí)，在圖形的啟發(fā)下，往往可以收到簡(jiǎn)捷直觀的效果，從中得到不等式的證明.

所以 .

因此構(gòu)造以 、 為根的一元二次方程

解得

二 利用函數(shù)證明不等式

（一）函數(shù)極值法

通過變換，把一些問題轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的極值，從而達(dá)到證明不等式的目的.

（二）單調(diào)函數(shù)法

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明，關(guān)鍵在于如何構(gòu)造函數(shù)，然后在相應(yīng)區(qū)間上用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)相關(guān)知識(shí)即可得到證明.

（三）中值定理法

利用中值定理： 是在區(qū)間 上有定義的連續(xù)函數(shù)且可導(dǎo)，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式.

證明：設(shè) = ，則有 在[0， ]上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，滿足中值定理?xiàng)l件

因此，在該區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得

（四） 利用泰勒公式證明

如果題中不等式是一個(gè)復(fù)雜函數(shù)與多項(xiàng)式的大小關(guān)系，可以將這個(gè)復(fù)雜函數(shù)用泰勒公式表示，來比較其大小.

三 利用著名不等式

（一）利用柯西不等式

設(shè)有兩組實(shí)數(shù) 和 ，則有

上式就是著名的柯西不等式（又叫柯西---布尼雅科夫斯基不等式），其應(yīng)用很廣泛，尤其對(duì)多元不等式的證明，求多元函數(shù)的最值等.

證明：由柯西不等式

兩邊除以 即得證.

（二）利用詹森不等式

例16證明不等式

（三）貝努利不等式

（1）設(shè) 實(shí)數(shù) 且同號(hào)，則

特別地，當(dāng) ，且 ， 成立.

貝努利不等式在證明重要極限和數(shù)列極限時(shí)有廣泛應(yīng)用.

綜上所述，證明不等式的方法有很多，遇見問題，要細(xì)心觀察，結(jié)合不等式本身的特點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)與已掌握的知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ樌业浇鉀Q問題的切入點(diǎn).

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