淺析不定積分中的一題多解

王雅萍

(江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院,江蘇 南通 226001)

根據(jù)新課改的要求，在高職數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中要注重對(duì)學(xué)生能力素養(yǎng)的培養(yǎng)，加強(qiáng)邏輯推理能力、抽象思維能力和創(chuàng)造創(chuàng)新力的培養(yǎng)，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)踐能力和探索創(chuàng)新精神。[1-2]

1 高職數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題及解決策略

現(xiàn)實(shí)教學(xué)過(guò)程中，教師由于課時(shí)限制，為了緊扣教學(xué)任務(wù)，往往遵循先介紹概念公式，再講解例題，最后練習(xí)鞏固的學(xué)習(xí)程序，解題的方法通常只是教材上常見(jiàn)的一些常規(guī)解法。而學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)只會(huì)單純的模仿例題的解法，直接套用現(xiàn)成的公式，統(tǒng)一思路、統(tǒng)一方法、采用同樣的格式，思維固化，對(duì)知識(shí)脈絡(luò)理解不透徹，不能舉一反三。

如果教學(xué)時(shí)注意“一題多解、一題多變、一題多問(wèn)”，則可以打破學(xué)生思維的僵化，開(kāi)拓新思路，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通，從而鍛煉思維的敏捷性，提高解決問(wèn)題的靈活性，克服思維定式、思維僵化，形成豐富多彩的思維意識(shí)網(wǎng)，遇到問(wèn)題可以靈活迅速地提出解決問(wèn)題的各種方案。[3]

一題多解訓(xùn)練的方法有很多種，如縱橫思維、變更命題發(fā)散、逆向思維、分解思維、構(gòu)造思維等。通過(guò)一題多解，使學(xué)生能夠思路開(kāi)闊，探尋變異，多角度、多變化、多層次的將已知信息轉(zhuǎn)換改造，擴(kuò)散形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這是一種開(kāi)放性、立體性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性的思維，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的核心。[4]練習(xí)不在多而在于精，將每道經(jīng)典題目做深、做透，做廣，這樣才能全面、系統(tǒng)的整合知識(shí)脈絡(luò)，理解各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使所學(xué)內(nèi)容得到升華、深化，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通。

2 兩類不定積分問(wèn)題的解法分析

不定積分是高職數(shù)學(xué)中的教學(xué)重難點(diǎn)之一，這一節(jié)的題目千變?nèi)f化，要學(xué)好這部分內(nèi)容，學(xué)生一定要打好基礎(chǔ)，掌握常用的一些積分基本公式以及求不定積分的常用方法：第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法等。接下來(lái)以不定積分中的“一題多解”為例，盡可能多地提出多種思路、尋求多種解答方法。[5]

方法1:第一換元法

這種方法通過(guò)分子分母同時(shí)乘以sinx，從而“無(wú)中生有”，湊出微分，達(dá)到換元的目的，這是一種常用的解題技巧。

方法2:

該方法2中利用三角函數(shù)的恒等公式將1變成了sin2x+cos2x，看似復(fù)雜了，卻能很好的解決這類三角函數(shù)的積分問(wèn)題。

方法3:

方法4:

方法3與4做法比較類似，分子分母同時(shí)乘以一個(gè)新的函數(shù)，這種看似“化簡(jiǎn)為繁”的做法往往可以很好地解決一些難題。

方法5:

這里涉及到有理函數(shù)的積分，采用待定系數(shù)法得

方法5用到了三角函數(shù)的半角公式，換元后，用到了有理函數(shù)的待定系數(shù)積分法，對(duì)學(xué)生拓寬結(jié)題思路有很好的幫助。

方法6:

方法6做法顯然比方法5更簡(jiǎn)練清晰。

方法7:萬(wàn)能代換

萬(wàn)能代換也是一種常用的解法。

方法1：第一換元法

這種換元法是解決此類問(wèn)題時(shí)比較常用的一種方法。

下面我們考慮利用第二類換元積分法。

方法3：無(wú)理代換[7]

無(wú)理代換是除去被積函數(shù)中的根號(hào)的常見(jiàn)做法，這樣可以降低積分難度。

方法4：三角代換(割代換)

令x=tant,dx=sec2tdt

方法4中的三角代換也是除去被積函數(shù)中根式的一種做法。

方法5：雙曲代換

雙曲代換是去除根式的好辦法，在有些問(wèn)題中比三角代換計(jì)算更簡(jiǎn)練。

方法6：歐拉第一代換

歐拉第一代換的解題做法換元過(guò)程相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)。

方法7:歐拉第二代換

方法8：待定系數(shù)法

3 結(jié) 論

通過(guò)以上兩類問(wèn)題的求解過(guò)程，可以看到不定積分的解題技巧有很多種，不同的解題思路，表面上看是相互獨(dú)立的，實(shí)際上知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.高等數(shù)學(xué)中還有很多題目可以發(fā)散思維、一題多解，我們應(yīng)當(dāng)打破解題思維的局限，精選例題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，鼓勵(lì)學(xué)生以樂(lè)于求異作為一種重要的內(nèi)驅(qū)力，注重觀察積累，鍛煉學(xué)生豐富、靈活、敏捷的思維方式，形成生動(dòng)的多樣性的意識(shí)網(wǎng)，迅速、從而提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力。