淺析模型思想在“數(shù)學(xué)實(shí)踐”教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：本文首先闡明模型思想和“數(shù)學(xué)實(shí)踐”的含義，提出用模型思想指導(dǎo)“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng);然后以購物費(fèi)用估算模型的建立為案例，展示了活動(dòng)的完整過程。建模思想體現(xiàn)在了問題的提出、模型的建立及求解、模型的驗(yàn)證這一建模過程中。最后通過反思整個(gè)活動(dòng)過程，指出模型思想指導(dǎo)下的“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)確實(shí)能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高老師的教學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：模型思想;數(shù)學(xué)實(shí)踐;購物;費(fèi)用估算

數(shù)學(xué)模型同數(shù)學(xué)應(yīng)用、問題解決緊密地聯(lián)系在一起，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)具有十分重要的意義。模型思想是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)和外部世界聯(lián)系的基本途徑，主要體現(xiàn)在建模過程中，即從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義，必要時(shí)還需要拿到現(xiàn)實(shí)問題中去檢驗(yàn)，這是一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行科學(xué)探究的過程。

“數(shù)學(xué)實(shí)踐”是一類以問題為載體、師生共同參與的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。針對(duì)問題情景，學(xué)生借助所學(xué)的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程。

模型思想和“數(shù)學(xué)實(shí)踐”都是從問題出發(fā)，都要經(jīng)歷一個(gè)相對(duì)完整的問題解決過程，在解決問題的過程中往往需要綜合應(yīng)用各種知識(shí)和技能，需要與他人協(xié)作，兩者具有內(nèi)在的契合性。用模型思想指導(dǎo)“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)，將數(shù)學(xué)建模過程作為“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)的主線，能夠提高“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)的數(shù)學(xué)價(jià)值，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo);同時(shí)“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)由于時(shí)間和空間上的靈活性，為模型思想的完整展現(xiàn)提供了良機(jī)，有利于模型思想的培養(yǎng)。

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)建模和“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)本身就具有一定的難度，而將二者有機(jī)結(jié)合并達(dá)到較好教學(xué)效果可謂難上加難，相關(guān)的案例也不多見，本文以“購物費(fèi)用估算”為例，展現(xiàn)了一個(gè)模型思想指導(dǎo)下的“數(shù)學(xué)實(shí)踐”學(xué)習(xí)活動(dòng)的完整過程。

一、 活動(dòng)的起點(diǎn)：?jiǎn)栴}

選擇恰當(dāng)?shù)膯栴}是搞好“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)的起點(diǎn)，也是關(guān)鍵。建模思想強(qiáng)調(diào)從日常生活或具體情境中發(fā)現(xiàn)問題，“購物費(fèi)用估算”是日常生活中常見的數(shù)學(xué)活動(dòng)，將估算與日常購物相結(jié)合，能培養(yǎng)學(xué)生估算意識(shí)和估算應(yīng)用能力。在以往的估算教學(xué)中，筆者采用了“創(chuàng)設(shè)情境、探索交流、總結(jié)歸納、應(yīng)用拓展”的教學(xué)思路，感覺良好，但有一次學(xué)生提出的一個(gè)問題引起了筆者的深思，即“課堂上學(xué)到的估算方法在實(shí)際購物時(shí)為什么用不上？”。為什么會(huì)用不上？這需要對(duì)實(shí)際購物及費(fèi)用估算進(jìn)行深入細(xì)致地分析，才能得到答案。

日常超市購物一般會(huì)在經(jīng)歷一段購物時(shí)間后，排隊(duì)結(jié)賬，估算（主要是口算）實(shí)際發(fā)生在結(jié)賬前（購物過程中或排隊(duì)等待時(shí)），結(jié)賬后根據(jù)發(fā)票主要是檢查物品的數(shù)量、價(jià)格和發(fā)票上的是否一致，一般不會(huì)懷疑價(jià)格計(jì)算的準(zhǔn)確性。結(jié)賬前估算的依據(jù)是物品單價(jià)和數(shù)量，這里就需要記憶物品的單價(jià)（數(shù)量可以通過清點(diǎn)物品得到、現(xiàn)場(chǎng)稱量并貼上金額標(biāo)簽的物品價(jià)格無須記憶），當(dāng)物品較多時(shí)，如何有效記住物品單價(jià)是估算要解決的第一個(gè)問題。在實(shí)際估算時(shí)，人們大多是估算到元，而具體的估算方法則是多種多樣的，如何找到一個(gè)便于記憶、計(jì)算快捷、精度適當(dāng)?shù)墓浪惴椒ǎ统蔀橐粋€(gè)值得探索的問題。而在以往教學(xué)中，“創(chuàng)設(shè)情境”的時(shí)候，過于簡(jiǎn)化，沒有反映出超市購物估算的上述特點(diǎn)，在探索交流時(shí)則側(cè)重于估算策略的選擇和計(jì)算，最終沒能提出一個(gè)簡(jiǎn)單有效的可以實(shí)際使用的估算模型。

顯然這是一個(gè)實(shí)際的、富有挑戰(zhàn)性的問題，那它是否適合作為“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)的主題呢？這需要進(jìn)行評(píng)估。經(jīng)過進(jìn)一步的分析和研究，筆者認(rèn)為可以一試。一方面是因?yàn)楣P者對(duì)問題的解決有了初步的構(gòu)思和把握，涉及的知識(shí)和方法基本不超過小學(xué)五年級(jí)學(xué)生的知識(shí)水平;另一方面是與部分同學(xué)交流后，同學(xué)們表示出了對(duì)該問題的興趣，愿意在老師的帶領(lǐng)下研究這一問題，而且問題的解決需要收集大量的數(shù)據(jù)和計(jì)算，確實(shí)需要學(xué)生的參與。

二、 活動(dòng)的過程：建模

在模型思想指導(dǎo)下，“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)的過程，既是探究學(xué)習(xí)的過程，也是建模的過程，超市購物費(fèi)用估算模型的建立基本經(jīng)過以下步驟：

（一） 提出問題

考慮到絕大部分學(xué)生都有超市購物的經(jīng)歷，而且組織全體學(xué)生實(shí)際購物費(fèi)時(shí)費(fèi)力，所以充分利用學(xué)生已有的購物經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)回憶購物過程，直接提出問題：“如何找到一個(gè)簡(jiǎn)單有效地購物費(fèi)用估算方法？”

（二） 構(gòu)建和求解估算模型

經(jīng)過大家的初步討論，發(fā)現(xiàn)問題并不是那么容易解決，需要綜合考慮各種因素，筆者引導(dǎo)學(xué)生需要將問題簡(jiǎn)化，有學(xué)生提出可以先根據(jù)發(fā)票上的數(shù)據(jù)來估算費(fèi)用，進(jìn)一步討論后，問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)發(fā)票金額列（商品單價(jià)×數(shù)量的結(jié)果）的數(shù)據(jù)估算總費(fèi)用（商品金額估算到元），這可以抽象出更一般的數(shù)學(xué)問題：給定一列數(shù)，估算數(shù)相加的和（估算到整數(shù)個(gè)位）。

解決這樣的問題，常用的估算方法有：（1）忽略小數(shù)位法，將每個(gè)數(shù)的小數(shù)部分忽略，然后累加整數(shù)部分，可以得到實(shí)際數(shù)的下限估計(jì)部分;（2）進(jìn)1法，去掉小數(shù)位后，將個(gè)位加1，累加得到實(shí)際數(shù)的上限估計(jì)部分;（3）四舍五入法，將小數(shù)點(diǎn)后的尾數(shù)四舍五入，然后累加，計(jì)算出的數(shù)是實(shí)際數(shù)的一個(gè)更為精確的估計(jì)。

在實(shí)際操作中，請(qǐng)學(xué)生收集一張超市購物發(fā)票（要求商品數(shù)3-15項(xiàng)，總金額1000以內(nèi)），將發(fā)票上總金額信息部分去掉，另外記下總金額。在課上，學(xué)生互相交換發(fā)票，根據(jù)發(fā)票各項(xiàng)商品數(shù)據(jù)口算估算總金額，將口算結(jié)果記下，然后與實(shí)際總金額比較，一般會(huì)與總金額有差異，老師借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生討論、交流后，一般可以歸結(jié)出以上估算方法。

為了進(jìn)一步弄清上述3種估算方法之間的數(shù)量關(guān)系，老師提問：“知道了實(shí)際數(shù)的下限估計(jì)部分，能不能很快算出上限估計(jì)部分？”，并通過實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、推理：假設(shè)有3個(gè)商品金額：25.12、6.88、10.60，下限估計(jì)數(shù)（X）為25+6+10，上限估計(jì)數(shù)（S）為26+7+11，那么S=25+1+6+1+10+1=25+6+10+3=X+3，通過歸納可以得到上下限估計(jì)數(shù)之間的關(guān)系式：X=S+n（n是商品數(shù)），類似的四舍五入法估算的金額數(shù)（Z）為：25+7+11，那么Z=25+6+10+2=L+i（i是五入的商品數(shù)），也就是說只要知道下限金額數(shù)，上限金額數(shù)和四舍五入法估計(jì)的金額數(shù)，就可以方便地計(jì)算出來，反之亦然。

至此，學(xué)生對(duì)于上述簡(jiǎn)化的問題已經(jīng)有了較為深入地認(rèn)識(shí)，能夠確定總金額的范圍，并估算出一個(gè)較精確的值。

（三） 實(shí)際檢驗(yàn)估算模型

要求學(xué)生在實(shí)際購物中，使用上述方法估算，將估算結(jié)果記在發(fā)票上帶回課堂，在課堂上統(tǒng)計(jì)計(jì)算出實(shí)際金額與估計(jì)金額的最大、最小差值，以及最大、最小相對(duì)誤差，相對(duì)誤差計(jì)算式是：（實(shí)際值-估計(jì)值）/估計(jì)值。通過切身經(jīng)歷以及廣泛比較，同學(xué)們普遍反映估算方法簡(jiǎn)單易行，估算結(jié)果比較準(zhǔn)確。

但也有同學(xué)提出了異議：“上面的方法是根據(jù)已打出的發(fā)票進(jìn)行估算的，而結(jié)賬前，沒有發(fā)票，估算時(shí)，首先需要知道每個(gè)商品的單價(jià)和數(shù)量，而有些商品的單價(jià)，只在貨架上標(biāo)示，只有記住才能計(jì)算”。老師順勢(shì)問道：“確實(shí)，超市購物時(shí)間一般較長(zhǎng)，如果需要記的商品單價(jià)較多，就容易記錯(cuò)，大家有什么好的辦法嗎？”，同學(xué)們經(jīng)過討論，提出了各種方法，大致可歸結(jié)為以下兩個(gè)方面：一是借助工具記憶，如用筆記下價(jià)格、讓一同購物的人幫著記、將價(jià)格寫在手機(jī)里，甚至提出用手機(jī)掃描商品條形碼獲取價(jià)格;二是盡量減少記憶量，如只記價(jià)格的整數(shù)部分、邊購物邊估算，記住中間結(jié)果。但在實(shí)際購物中，工具雖有助于記憶，卻并不常用，人們主要還是靠自己的大腦來記憶和運(yùn)算，所以應(yīng)探索如何減少記憶和運(yùn)算量負(fù)擔(dān)，同時(shí)較準(zhǔn)確地估算出總金額？

還有同學(xué)提出疑問：“上述模型方法是基于商品金額（商品單價(jià)×數(shù)量）計(jì)算的，而商品金額本身有時(shí)并不容易計(jì)算，例如單價(jià)12.7元，數(shù)量13，需要計(jì)算12.7×13，這個(gè)如何簡(jiǎn)便計(jì)算？”。

這些問題的提出，為下一次活動(dòng)的展開埋下了伏筆。

三、 活動(dòng)的終點(diǎn)：反思

建?；顒?dòng)結(jié)束后，師生的反思很有必要，一方面總結(jié)反思是活動(dòng)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，有利于培養(yǎng)反思意識(shí);另一方面通過反思學(xué)生可以進(jìn)一步理解所用的知識(shí)和方法，體會(huì)建模過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，老師則可以反思整個(gè)教學(xué)活動(dòng)，積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步提高自己的教學(xué)水平。

購物費(fèi)用估算問題源于日常生活，在師生的共同努力下，發(fā)現(xiàn)和提出了“如何簡(jiǎn)單有效估算超市購物費(fèi)用？”這樣一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問題。然后師生共同經(jīng)歷了將實(shí)際問題簡(jiǎn)化抽象、采集數(shù)據(jù)建模求解、再實(shí)際檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕＿^程。在這一過程中，綜合運(yùn)用了多種知識(shí)，多種技能、多種思維方法，培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識(shí)，運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，活動(dòng)充分體現(xiàn)出了綜合性、實(shí)踐性和過程性，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、解決現(xiàn)實(shí)問題的能力得到鍛煉和提高。不少同學(xué)反映雖然在活動(dòng)中遇到一些問題和困難，但在老師的指導(dǎo)下，同學(xué)們的互相幫助下，克服了困難，當(dāng)看到在購物中，運(yùn)用自己參與研究出來的估算方法得到較好的結(jié)果時(shí)，體驗(yàn)到了成功的喜悅，也增加了自信。

筆者在這次探究活動(dòng)中也體會(huì)到要想將建模思想有效融入“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)中，教師需要不斷學(xué)習(xí)、思考、實(shí)踐，努力成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)建模者。要能夠提出一個(gè)好的問題，初步規(guī)劃后，應(yīng)大膽嘗試。要相信學(xué)生，依靠學(xué)生，讓學(xué)生參與進(jìn)來，師生的共同努力是活動(dòng)成功的關(guān)鍵。對(duì)這次活動(dòng)而言，雖然已經(jīng)走到了終點(diǎn)，但對(duì)下一次活動(dòng)而言，這將是一個(gè)新的起點(diǎn)。

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作者簡(jiǎn)介：

朱琴，江蘇省南京市，南京市誠信小學(xué)。