帶有邊界記憶阻尼的波方程能量的衰減性

李冬林，劉 瑤

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,太原 030006)

0 引言

本文考慮如下一類帶有邊界記憶阻尼的半線性波方程系統(tǒng)：

(1)

帶有如下的初始條件：

Morse和Ingard在文獻(xiàn)[1]中，為了充分解釋聲波的傳播，提出了一種非標(biāo)準(zhǔn)的聲學(xué)模型.Beale和Rosencrans在文獻(xiàn)[2-4]中對(duì)Morse和Ingard建立的聲學(xué)模型進(jìn)行了改進(jìn)，并分析了有界域和外界域中的模型.基于前者對(duì)聲波的研究不斷加深，引起了更多的學(xué)者對(duì)其關(guān)注.

如，Jiao和Xiao在文獻(xiàn)[5]中研究了帶有邊界記憶阻尼的聲波方程的多項(xiàng)式穩(wěn)定性；Boukhaten在文獻(xiàn)[6]中研究了帶有聲邊界條件的粘彈性聲波方程的指數(shù)穩(wěn)定性；Fasangova和Milota在文獻(xiàn)[7]中研究了帶有聲邊界條件的粘彈性聲波方程的一般穩(wěn)定性；Goldstein在文獻(xiàn)[8-9]中研究了帶有聲邊界條件的非線性聲波方程的解的存在性；Park在文獻(xiàn)[10]中研究了帶有記憶阻尼和聲邊界條件的聲波方程的指數(shù)衰減率，等等.

本文參考的是文獻(xiàn)[11]，對(duì)其聲波方程進(jìn)行了改進(jìn)，從1個(gè)線性聲波方程變成1個(gè)半線性的聲波方程，從而研究其能量的衰減性結(jié)果.在文獻(xiàn)[11]中，作者利用了關(guān)聯(lián)算子矩陣，在Hilbert空間上產(chǎn)生了一個(gè)強(qiáng)連續(xù)壓縮半群，從而得到該半群的適定性進(jìn)一步證明了能量的多項(xiàng)式衰減性結(jié)果.而在本文中由于波方程中源項(xiàng)的存在，只能用與文獻(xiàn)[12]中解的適定性證明方法相同的方法，即用Galerkin方法證明解的適定性，進(jìn)一步得到能量的多項(xiàng)式衰減性結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

先做下面的假設(shè)和定義：

假設(shè)1 幾何條件：存在一點(diǎn)x0∈Rn和一個(gè)正常數(shù)δ使得下面的式子成立

(x-x0)·υ(x)≤0,x∈Γ0;(x-x0)·υ(x)≥δ>0,x∈Γ1.

(2)

假設(shè)2 設(shè)函數(shù)g:R+→R+是一個(gè)C3類的遞減函數(shù)且滿足

且有

g′(0)=0,

(3)

和當(dāng)s≥0時(shí)，有

|g(i)(s)|≤c0g(s)(i=1,2,3).

(4)

和

(5)

并且對(duì)于σ∈(0,(1)，類似于[11]可定義

(6)

對(duì)于系統(tǒng)(1)解的適定性，類似于文獻(xiàn)[12]可由Galerkin方法得到，這里不再給出證明.

定義系統(tǒng)(1)的能量函數(shù)為

通過計(jì)算可以得到

對(duì)于(1)的解有

(7)

由文獻(xiàn)[13]知道Poincare-Sobolev嵌入常數(shù)C*滿足

令

和

且上式中u(·，t)∈V，此時(shí)d是可以確定的.由I和J可以定義下面的三個(gè)函數(shù)集合：

通過這些定義和記號(hào)，由文獻(xiàn)[14]關(guān)于E(t)有下面的引理成立.

通過計(jì)算，可以得到

2 主要結(jié)論及其證明

(8)

在給出定理的證明前，先做一些準(zhǔn)備工作.

首先，定義一個(gè)輔助函數(shù)κ(t)為

(9)

則有下面的引理成立.

引理2 對(duì)于(9)式定義的κ(t)，有：

(1-l)E(t)≤κ(t).

(10)

證明由函數(shù)κ(t)的定義，有

E(t)-lE(t)=(1-l)E(t).

則有(10)式成立.

通過計(jì)算，有

(11)

由κ(t)的定義有

(12)

所以，當(dāng)假設(shè)2 成立時(shí)，可以得到

g′(s)=(-Kσ(s)+σ)g(s),

和

(13)

因此，可以得到輔助函數(shù)κ(t)是非增的.

為了簡(jiǎn)便，做如下的簡(jiǎn)記

接下來，關(guān)于φ(t)和φ(t)給出下面的引理.

引理3 關(guān)于φ(t)和φ(t)，存在充分小的正常數(shù)c0，ε，μ，β和γ使得

(14)

(15)

證明首先，由Poincare不等式和跡定理，有

這里c0是Poincare常數(shù).接下來，對(duì)于φ(t)，存在充分小的正常數(shù)ε和μ有

對(duì)于φ(t)，在假設(shè)2成立時(shí)，有

(16)

設(shè)存在充分小的正常數(shù)β和γ，有

對(duì)于R(t)的定義，可用文獻(xiàn)[15]的引理4得到.對(duì)于輔助函數(shù)R(t)，有下面的引理成立.

引理4R(t)是一個(gè)正函數(shù)且滿足

(17)

證明由R(t)的定義結(jié)合h(t)的定義，可以得到

(18)

定義Lyapunov函數(shù)F(t)為

F(t)=N0κ(t)+N1φ(t)+N2φ(t)+N3R(t),

(19)

然后，結(jié)合(13)式，(14)式，(15)式和(18)式，可以得到

F′(t)=N0κ′(t)+N1φ′(t)+N2φ′(t)+N3R′(t)≤

(20)

(21)

和初始條件

同樣的通過文獻(xiàn)[12]的定理2.1可以得到這個(gè)系統(tǒng)解的適定性結(jié)果.

關(guān)于系統(tǒng)(21)定義能量函數(shù)為

則有

(22)

接下來，關(guān)于系統(tǒng)(21)定義輔助函數(shù)ψ(t)為

引理5 對(duì)于輔助函數(shù)ψ(t)有

ψ(t)≥-E(0),

(23)

且ψ(t)滿足

(24)

證明由(22)式，通過計(jì)算易得(24)式成立.接下來，設(shè)存在任意充分小的正常數(shù)c，使得(23)式成立.

通過這些準(zhǔn)備工作，接下來，證明定理2.記

F1(t)=F(t)+N4ψ(t).

(25)

定理2的證明由(20)式，(24)式和(25)式，有

F′1(t)=F′(t)+N4ψ′(t)≤

令

則有

N0σ+N3<-1.

令

則有

令

則有

令

則有

對(duì)于任意給定的σ滿足σ∈(0,1)并且由Lebesgue控制收斂定理，可得

σGσ→0，當(dāng)σ→0.

Lebesgue控制收斂定理說明，一個(gè)函數(shù)序列的每一項(xiàng)都逐點(diǎn)收斂時(shí)，這個(gè)函數(shù)序列都可以由同一個(gè)勒貝格可積函數(shù)控制，并且這個(gè)函數(shù)序列的極限函數(shù)的勒貝格積分等于這個(gè)函數(shù)序列中每個(gè)函數(shù)的勒貝格積分的極限.由此可見，上式成立.

結(jié)合這些不等式，同時(shí)由假設(shè)2可得存在正常數(shù)c，c1，c2和c3使得

-cκ(t)-c3κ′(t).

(26)

上式說明F1(t)+c3κ(t)是一個(gè)遞減函數(shù)，且有F′(t)+c3κ′(t)≤-cκ(t).對(duì)上式在(0,t)上積分，有

當(dāng)κ(t)不減時(shí)，有

由(10)式，可以得到估計(jì)式：