一種新型的撓性航天器作動(dòng)器布局優(yōu)化方案*

郭延寧，王鵬宇，金 珊

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院· 哈爾濱·150001)

0 引 言

近年來，隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天器的規(guī)模不再受一次發(fā)射條件的限制，大尺度撓性航天器因此進(jìn)入了人們的視野。例如，蘇聯(lián)在20世紀(jì)80年代發(fā)射的“和平”號(hào)空間站，長13.1m，質(zhì)量為21t，其側(cè)面還裝有多個(gè)撓性太陽能帆板[1]。除大型空間站外，一些用于深空探測(cè)、對(duì)地成像、目標(biāo)跟蹤的新型航天器也裝配有大規(guī)模撓性附件或撓性艙段。例如，日本的工程試驗(yàn)航天器ETS-VIII[2]、美國的“Mars Geoscience/Climatology Orbiter”火星探測(cè)器[3-4]，都采用了大規(guī)模的外展式桁架結(jié)構(gòu)，用于實(shí)現(xiàn)天地通信或電磁隔離。這些大型附件一般具有剛度低、阻尼小、振動(dòng)頻率密集等特點(diǎn)，且其撓性振動(dòng)與航天器本體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)之間往往存在較大耦合，如果不對(duì)其進(jìn)行有效振動(dòng)抑制，將導(dǎo)致航天器失穩(wěn)等嚴(yán)重后果。因此，研究大撓性航天器的振動(dòng)抑制問題，具有重要的工程意義。

對(duì)于撓性航天器的振動(dòng)抑制問題，已有大量學(xué)術(shù)成果，主要方法可分為被動(dòng)振動(dòng)抑制和主動(dòng)振動(dòng)抑制[4]。其中，被動(dòng)振動(dòng)抑制是通過對(duì)撓性部件進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)的耗散、阻尼或隔離。該方法存在著精度低、魯棒性差等缺陷，往往難以滿足現(xiàn)代航天任務(wù)的高精度需求[5]。主動(dòng)振動(dòng)控制通過安裝在撓性附件上的作動(dòng)器，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)撓性附件的高精度控制；且其控制回路與航天器姿態(tài)系統(tǒng)分離，便于控制規(guī)律設(shè)計(jì)和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[6]。在采用主動(dòng)振動(dòng)抑制時(shí)，振動(dòng)作動(dòng)器的位置直接決定了系統(tǒng)對(duì)撓性振動(dòng)的抑制能力，而如何對(duì)作動(dòng)器進(jìn)行合理配置，仍是目前需要深入研究的問題。

對(duì)于作動(dòng)器布局方法的研究主要從兩個(gè)方面展開，一是根據(jù)實(shí)際需求，設(shè)計(jì)作動(dòng)器安裝位置的優(yōu)化指標(biāo)或約束條件；二是改進(jìn)優(yōu)化算法，提升優(yōu)化速度[7]。對(duì)于優(yōu)化指標(biāo)設(shè)計(jì)問題，目前已經(jīng)形成了一套較為完備的理論體系，本文對(duì)工程中常用的優(yōu)化指標(biāo)歸納如下：

(1)考慮系統(tǒng)能量的優(yōu)化指標(biāo)：從能量耗散的角度出發(fā)，重點(diǎn)研究彈性勢(shì)能衰減與作動(dòng)器輸出控制力之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在實(shí)現(xiàn)對(duì)撓性結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制的同時(shí)減少作動(dòng)器的控制力[8-10]?；谙到y(tǒng)彈性勢(shì)能，李俊寶等通過引入能量耗散因子描述了系統(tǒng)彈性勢(shì)能的衰減速率，構(gòu)建了相應(yīng)的優(yōu)化指標(biāo)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了作動(dòng)器的優(yōu)化配置[8]。類似地，顧榮榮等從有效衰減能量出發(fā)，根據(jù)Lyapunov第二法定義了目標(biāo)函數(shù)并對(duì)作動(dòng)器安裝位置進(jìn)行了設(shè)計(jì)[9]。

(2)考慮系統(tǒng)可控的優(yōu)化指標(biāo)：在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)之前，首先要保證系統(tǒng)狀態(tài)是可控的，因此用于描述系統(tǒng)狀態(tài)受控程度的概念應(yīng)運(yùn)而生，即系統(tǒng)可控度。Hamdan等基于二階微分方程，基于響應(yīng)系數(shù)矩陣給出了系統(tǒng)可控度的計(jì)算方法，為作動(dòng)器的配置帶來了方便[11]。在此基礎(chǔ)上，李東旭等重新定義了振動(dòng)控制系統(tǒng)可控度的概念，將作動(dòng)器的控制電壓引入到系統(tǒng)設(shè)計(jì)中來并建立了更為實(shí)用的優(yōu)化準(zhǔn)則[12]。

(3)考慮失效和可靠性的優(yōu)化指標(biāo)：對(duì)在軌運(yùn)行的航天器進(jìn)行維修成本高昂且存在很多技術(shù)難題，因此考慮作動(dòng)器故障的安裝位置優(yōu)化指標(biāo)具有重要的工程價(jià)值。Matunaga等[13]從容錯(cuò)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，分析了作動(dòng)器失效的各種形式，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，為容錯(cuò)優(yōu)化指標(biāo)的建立和考慮可靠性的作動(dòng)器優(yōu)化配置提供了理論基礎(chǔ)[14]。

上述優(yōu)化指標(biāo)均從理論角度出發(fā)，分別對(duì)振動(dòng)控制系統(tǒng)的能耗、可控度、容錯(cuò)性進(jìn)行優(yōu)化，然而為作動(dòng)器供電的電纜所引發(fā)的能量損耗及電磁干擾并未考慮其中。此外，大型撓性航天器具有模態(tài)頻率低且密集的特點(diǎn)，高階模態(tài)振動(dòng)對(duì)航天器姿態(tài)控制的影響不能忽略，在設(shè)計(jì)作動(dòng)器安裝位置時(shí)，需先保證系統(tǒng)對(duì)各階模態(tài)都具一定的控制能力。綜上，本文針對(duì)振動(dòng)作動(dòng)器優(yōu)化布局問題，提出考慮系統(tǒng)狀態(tài)可控度及作動(dòng)器電纜長度的復(fù)合優(yōu)化指標(biāo)，并根據(jù)該指標(biāo)采用遺傳算法對(duì)作動(dòng)器安裝位置進(jìn)行尋優(yōu)，在保證系統(tǒng)可控度的同時(shí)，減小作動(dòng)器供電電纜長度，進(jìn)而減少系統(tǒng)的能耗和電磁干擾。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

本文利用有限元法建立撓性航天器的振動(dòng)控制模型。假設(shè)航天器撓性部件上的有限元節(jié)點(diǎn)數(shù)目為n，安裝作動(dòng)器的數(shù)目為nc，且所有作動(dòng)器均跨接在兩個(gè)相鄰的有限元節(jié)點(diǎn)上。在有限元模型中，認(rèn)為各節(jié)點(diǎn)之間由無質(zhì)量的彈簧鏈接，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)分析建立各節(jié)點(diǎn)之間的力學(xué)關(guān)系和運(yùn)動(dòng)約束。作動(dòng)器嵌入桁架后，可認(rèn)為作動(dòng)器只對(duì)其跨接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)有力的作用；而對(duì)其他節(jié)點(diǎn)的作用力則是有限元模型的內(nèi)力，由無質(zhì)量彈簧進(jìn)行傳遞。如圖 1所示，若作動(dòng)器沿著節(jié)點(diǎn)編號(hào)m→n方向安裝，其與本體系三軸方向的夾角分別為α、β、γ，則作動(dòng)器安裝方向在本體系下的方向余弦為cosα、cosβ、cosγ。

圖1 有限元節(jié)點(diǎn)受力分析圖Fig. 1 Force analysis for a finite element

當(dāng)作動(dòng)器產(chǎn)生幅值為Fc的控制力時(shí)，節(jié)點(diǎn)n受力為

(1)

節(jié)點(diǎn)m受力為

(2)

則作動(dòng)器為整個(gè)撓性結(jié)構(gòu)提供的控制力為

(3)

考慮航天器剛撓耦合特性及環(huán)境干擾，航天器上所有撓性部件的振動(dòng)控制規(guī)律，均可采用如下數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述[15]

(4)

其中，M∈Rn×n、C∈Rn×n、K∈Rn×n分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；ω∈R3×1為航天器姿態(tài)角速度在本體系下的投影；L∈Rn×3是航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)與撓性結(jié)構(gòu)各有限元節(jié)點(diǎn)振動(dòng)的耦合系數(shù)；δ為撓性附件上有限元節(jié)點(diǎn)的位移矩陣；fd∈Rn×1、fa∈Rnc×1分別代表干擾力列向量和作動(dòng)器輸出的控制力列向量；B∈Rn×nc為振動(dòng)作動(dòng)器的安裝位置矩陣，由作動(dòng)器的方向余弦組成。

為了便于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，還需要將振動(dòng)控制方程式(1)轉(zhuǎn)換至模態(tài)空間下，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)哪B(tài)截?cái)?。定義系統(tǒng)的振型矩陣為U∈Rn×n，則根據(jù)振動(dòng)理論可知

δ=Uη

(5)

其中，η為撓性部件的振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)。考慮對(duì)上式進(jìn)行模態(tài)截?cái)?，則有

δ=Uaηa

(6)

其中，Ua是系統(tǒng)前na階振動(dòng)的振型矩陣，ηa為截?cái)嗪蟮恼駝?dòng)模態(tài)坐標(biāo)。

進(jìn)一步，可得模態(tài)空間下的系統(tǒng)振動(dòng)控制方程，具體形式為[15]

(7)

2 基于遺傳算法的作動(dòng)器布局優(yōu)化方案

2.1 考慮作動(dòng)器電纜長度的復(fù)合優(yōu)化指標(biāo)

VTAcV=uTu

(8)

其中，Ac=ATA是一個(gè)nc×nc階正定矩陣。

根據(jù)式(8)，可得如下不等式

(9)

(10)

則可建立如下的作動(dòng)器安裝位置優(yōu)化指標(biāo)：

(11)

如前所述，作動(dòng)器電纜越長其能量損耗越大，且更容易對(duì)航天器的高精度載荷產(chǎn)生電磁干擾。因此，縮短作動(dòng)器電纜長度可以有效減小系統(tǒng)能量損耗及電磁干擾，提高振動(dòng)控制系統(tǒng)的可靠性。綜上，將式(11)中的優(yōu)化指標(biāo)改寫為

(12)

其中，X為作動(dòng)器安裝位置向量；μ為加權(quán)系數(shù)，μ越大則作動(dòng)器電纜長度在優(yōu)化指標(biāo)中所占權(quán)重越大。該加權(quán)優(yōu)化指標(biāo)兼顧了系統(tǒng)可控度和作動(dòng)器電纜長度，在保證系統(tǒng)可控的前提下，能夠有效縮短作動(dòng)器電纜長度。

2.2 遺傳算法優(yōu)化

遺傳算法采用了達(dá)爾文進(jìn)化論中優(yōu)勝劣汰的思想，利用復(fù)制、交叉、變異等操作來模擬自然進(jìn)化過程，完成對(duì)復(fù)合性能指標(biāo)的最優(yōu)個(gè)體的全局搜索，具有優(yōu)化速度快、干擾魯棒性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)[11]，其操作流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法操作流程圖Fig. 2 Flow chart of the genetic algorithm

(1)編碼與解碼

本文利用二進(jìn)制字符串對(duì)作動(dòng)器的所有可選安裝位置進(jìn)行編碼，二進(jìn)制字符串長度與可選安裝位置總數(shù)相等。具體操作規(guī)則為：安裝作動(dòng)器的位置二進(jìn)制編碼設(shè)置為1；未安裝作動(dòng)器的位置相應(yīng)二進(jìn)制編碼設(shè)置為0。例如，在某個(gè)撓性部件上預(yù)先選定了10個(gè)位置作為可選安裝位置，在編號(hào)為3、5、7的位置上安裝作動(dòng)器，則對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制編碼為[0 0 1 0 1 0 1 0 0 0]。

(2)適應(yīng)度比例選擇操作

(3)交叉操作

(4)變異操作

設(shè)變異概率為pm，對(duì)于每一位基因都產(chǎn)生一個(gè)[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)c，用于判斷變異是否發(fā)生，若c≤pm則對(duì)該編碼進(jìn)行變異操作，即由0置1或由1置0。變異操作能夠?yàn)榉N群不斷引入新的個(gè)體，提高遺傳算法的全局搜索能力，有效避免搜索陷入局部最優(yōu)。

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

本節(jié)采用Matlab/Simulink，驗(yàn)證所提方法的有效性。 在對(duì)作動(dòng)器安裝位置進(jìn)行優(yōu)化之前，需預(yù)先規(guī)定作動(dòng)器的可選安裝位置并進(jìn)行編碼。以現(xiàn)代航天器上常用的太陽能帆板為例，在如圖3所示的有限元模型上均勻選取21組相鄰節(jié)點(diǎn)作為可選安裝位置。該太陽能帆板長7.38m，寬1.82m，有限元節(jié)點(diǎn)1354個(gè)，其具體撓性參數(shù)如表1所示。

表1 航天器撓性帆板參數(shù)

為了便于計(jì)算，本文采用3個(gè)作動(dòng)器對(duì)撓性結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài)進(jìn)行控制，并設(shè)計(jì)作動(dòng)器的最優(yōu)安裝位置。根據(jù)優(yōu)化指標(biāo)式(12)，對(duì)作動(dòng)器安裝位置進(jìn)行優(yōu)化，在如圖3所示的21個(gè)可選安裝位置中選取3個(gè)作為作動(dòng)器的最終安裝位置。優(yōu)化結(jié)果如圖4至圖7所示，在采用遺傳算法優(yōu)化過程中，種群最大適應(yīng)度曲線如圖8至圖11所示，表2對(duì)上述仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和歸納。

圖3 可選安裝位置示意圖Fig.3 Optional positions of actuators

圖4 最優(yōu)安裝位置 (μ=0)Fig.4 Optimal configuration of actuators with μ=0

圖5 最優(yōu)安裝位置(μ=2.2×10-5)Fig.5 Optimal configuration of actuators with μ=2.2×10-5

圖6 最優(yōu)安裝位置(μ=4.0×10-5)Fig.6 Optimal configuration of actuators with μ=4.0×10-5

圖7 最優(yōu)安裝位置(μ=6.3×10-5)Fig.7 Optimal configuration of actuators with μ=6.3×10-5

圖8 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=0)Fig.8 The maximum population fitness with μ=0

圖9 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=2.2×10-5)Fig.9 The maximum population fitness with μ=2.2×10-5

圖10 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=4.0×10-5)Fig.10 The maximum population fitness with μ=4.0×10-5

圖11 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=6.3×10-5)Fig.11 The maximum population fitness with μ=6.3×10-5

加權(quán)系數(shù)仿真結(jié)果μ=0電纜長度 15.40m; 種群最大適應(yīng)度1.02×10-2μ=2.2×10-5電纜長度 11.94m; 種群最大適應(yīng)度5.35×10-3μ=4.0×10-5電纜長度 8.83m;種群最大適應(yīng)度3.22×10-3μ=6.3×10-5電纜長度 7.35m;種群最大適應(yīng)度2.57×10-3

根據(jù)圖8至11可知，種群最大適應(yīng)度在不同情況下均能收斂于一個(gè)固定值，這說明遺傳算法通過一定次數(shù)的迭代后找到了作動(dòng)器的最優(yōu)安裝位置。由圖4至圖7及表2可知，優(yōu)化指標(biāo)(12)中的加權(quán)系數(shù)越大，優(yōu)化結(jié)果中作動(dòng)器的電纜越小，與理論分析結(jié)果一致，說明改進(jìn)的優(yōu)化指標(biāo)兼顧了系統(tǒng)狀態(tài)可控度及作動(dòng)器電纜長度，證明了優(yōu)化指標(biāo)的有效性。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)航天器撓性附件的振動(dòng)抑制問題，研究了作動(dòng)器的優(yōu)化配置方案。綜合考慮閉環(huán)系統(tǒng)的可控度和作動(dòng)器的電纜長度，提出了一種新型的復(fù)合優(yōu)化指標(biāo)，該指標(biāo)在保證系統(tǒng)對(duì)振動(dòng)的抑制能力的前提下，能夠有效縮減作動(dòng)器電纜長度，減小航天器在軌運(yùn)行期間的能量損耗和電磁干擾，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。在此基礎(chǔ)上，采用遺傳算法，實(shí)現(xiàn)了作動(dòng)器安裝位置的快速尋優(yōu)。本文以撓性太陽能帆板的前三階模態(tài)振動(dòng)為例，通過大量數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。