基于卡爾丹公式的三層平面剛架自振頻率求解

楊佳潔 周海龍

摘? 要：文章從結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中的一個(gè)例題，引出對(duì)三層平面剛架自振頻率計(jì)算的思考，分析了目前一元三次方程的解法，給出了“卡爾丹公式”簡(jiǎn)明的推導(dǎo)過(guò)程，巧妙地將其應(yīng)用于求解結(jié)構(gòu)力學(xué)中三層平面剛架的自振頻率問題，為研究剛架的主振型提供了方便。

關(guān)鍵詞：一元三次方程;剛架;自振頻率;卡爾丹公式

中圖分類號(hào)：TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2019）32-0005-03

Abstract： This paper draws on an example of structural mechanics teaching material， and leads to a reflection on the calculation of the self-vibration frequency of the three-layer plane rigid frame， and analyzes the solution of the current unary cubic equation， and gives a concise derivation process of the Cardan Formula. In addition， the author ingeniously applied Cardan Formulas into solving natural frequency for three-layer plane frame in structural mechanics， which provided convenience for main vibration mode research of frame.

Keywords： unary cubic equation; frame;natural frequency; Cardan Formula

《結(jié)構(gòu)力學(xué)》[1]教材中動(dòng)力學(xué)部分涉及多層剛架自振頻率的計(jì)算與主振型的確定問題，對(duì)于三層的平面剛架，就會(huì)出現(xiàn)一般形式的一元三次方程求解的問題，作者針對(duì)此問題，查閱了許多文獻(xiàn)資料，發(fā)現(xiàn)利用“卡爾丹公式”進(jìn)行求解，不僅形式簡(jiǎn)單，而且便于記憶，筆者將其用于計(jì)算三層平面剛架的自振頻率，并給出了簡(jiǎn)明的推導(dǎo)過(guò)程，為此類問題的解決提供了參考。

1 問題的提出

式（1）為一個(gè)一元三次方程，由此可以看出，體系自振頻率？棕的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為上述一元三次方程根？濁的求解問題。

2 一元三次方程的求解

對(duì)于形如式（2）的一元三次方程解法有數(shù)值解法[2]（包括弦截法、牛頓迭代法（或稱為切線法）和二分法）、解析法（包括試算法、因式分解法、卡爾丹公式法[3]、盛金公式法[4]和換元法[5-6]）、圖解法（包括笛卡爾方法[7]）。

數(shù)值解法需要經(jīng)過(guò)多次迭代，才可以求得近似解，一般用自編的程序進(jìn)行計(jì)算;解析法中的試算法與因式分解法適用于特殊形式的一元三次方程，使用具有一定的局限性;盛金公式雖然比較完美地詮釋一元三次方程的根及個(gè)數(shù)的確定，但應(yīng)用上不方便;換元法，通過(guò)引入三角函數(shù)或者引入新的變量，多次替換，顯得很繁瑣，而且很費(fèi)解;笛卡爾方法，它是利用平面解析幾何的理論，通過(guò)圓與拋物線y=x2的交點(diǎn)來(lái)求解一元三次方程或一元四次方程，但計(jì)算工作量大，而且容易出錯(cuò);卡爾丹公式，不僅形式簡(jiǎn)單，而且與大家先前熟悉的一元二次方程根的形式特別相似，判別式也非常簡(jiǎn)單，從工程應(yīng)用的角度講，它具有其他方法無(wú)可比擬的優(yōu)越性。

以下給出“卡爾丹公式”求解一元三次方程解的通俗易懂的推導(dǎo)過(guò)程。

（1）當(dāng)？駐>0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根;

（2）當(dāng)？駐=0時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)兩重根;

（3）當(dāng)？駐<0時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根。

以上的推導(dǎo)過(guò)程是以p，q為實(shí)數(shù)的情況，當(dāng)p，q為復(fù)數(shù)時(shí)，卡爾丹公式也成立。

于是，可以用卡爾丹公式（15）計(jì)算頻率方程（1）的根為

然后按照《結(jié)構(gòu)力學(xué)》中的方法計(jì)算主振型。

3 結(jié)論

一元三次方程的解法很多，但從工程應(yīng)用的角度看，作者認(rèn)為卡爾丹公式不僅形式簡(jiǎn)單，而且很有規(guī)律性，容易被使用者記住，在三層剛架自振頻率與主振型的計(jì)算中是值得推崇的方法。此外，作者也給出卡爾丹公式的清楚易懂的證明過(guò)程，為了更好地理解與記憶該公式起到了很好的幫助作用。

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作者簡(jiǎn)介：楊佳潔（1984-），女，碩士，高級(jí)講師，研究方向：力學(xué)與工程測(cè)量。

*通訊作者：周海龍（1981-），男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：力學(xué)與土木工程。