空間幾何知識結(jié)構(gòu)與拓展

胡彬

一、知識結(jié)構(gòu)框架

二.結(jié)構(gòu)分析

立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。通過對立體幾何初步的學(xué)習(xí)，可以幫助同學(xué)們以長方體為載體，認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系;用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證;了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法;運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。通過對空間向量與立體幾何的學(xué)習(xí)，可以幫助同學(xué)們在平面幾何的基礎(chǔ)上，運(yùn)用向量的方法研究基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異;運(yùn)用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。

本部分一直是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)與熱點(diǎn)。一般以基本圖形為載體，利用其定義、性質(zhì)進(jìn)行判定、計(jì)算，或利用空間向量有效研究立體幾何相關(guān)問題。本部分涉及的數(shù)學(xué)思想主要為函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想。較好地培養(yǎng)了同學(xué)們的空間想象能力、推理能力和運(yùn)算求解能力?？疾榈暮诵乃仞B(yǎng)是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算。

三，經(jīng)典例題

典例1 （2019年浙江卷）祖Ⅱ是我國南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家.他提出的“冪勢既同，則積不容異”成為祖咂原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖l所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是（ ）。

A.158

B.162

C.182

D.324

解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直五棱柱，由正視圖與側(cè)視圖可知俯視圖（五邊形）的參數(shù)，即S=1/2×（4×3+2×3+6×6）=27（ cm2）。又柱體的高為6 cm，所以其體積V=Sh=27×6=162（cm3）。故選B。

點(diǎn)評：三視圖問題的常見類型及解題策略：（l）由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖。（2）由幾何體的直觀圖求三視圖。注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示。（3）由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖。先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式。

典例2 （2019年洛陽第二次統(tǒng)考）在四面體ABCD中，AD上平面ABC，AB=AC=√10，BC =2.若四面體ABCD的外接球的表面積為676π/9，則四面體ABCD的體積為（ ）。

A.24

B.12

C.8

D.4

解析：如圖2，因?yàn)樗拿骟w人BCD的外接球的表面積為676π/9，所以球的半徑為13/3。又

點(diǎn)評：（l）解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，若求內(nèi)切問題，則球心到各面的距離相等且都為球的半徑;若求外接問題，則球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等且都為球的半徑，同時(shí)要構(gòu)造出球心到截面圓的垂線段，小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，從而利用解直角三角形求出待求量。（2）熟記正方體、長方體、正四面體的內(nèi)切（外接）球的半徑對解答客觀題是有很大幫助的。

點(diǎn)評：（l）平行、垂直關(guān)系的證明問題是以空間幾何體（主要以柱體和錐體）為載體，通過空間平行、垂直關(guān)系的證明進(jìn)行命題，主要考查公理4及線面（面面）間的平行與垂直的判定或性質(zhì)定理，常與平面圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行交匯考查。（2）求線面角時(shí)，應(yīng)注意點(diǎn)的坐標(biāo)的求解的準(zhǔn)確性及公式中角的范圍為[0，π/2]。

典例4 （2019年全國Ⅲ卷）圖5是由矩形ADE'B、Rt△ABC和菱形BFGC.組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=l，BF=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖6。

（l）證明：圖6中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE;

（2）求圖6中的二面角B-Cg-A的大小。

解析：（1）由已知得AD //BE.CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面。由已知得AB上BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE。又因?yàn)锳B（平面ABC，所以平面ABC⊥上平面BCGE。

（2）作EH⊥BC，垂足為H，因?yàn)镋H（平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以

點(diǎn)評：（1）對于折疊問題，關(guān)鍵是理清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，特別是隱含著的垂直關(guān)系。（2）建系時(shí)，無明顯的垂直關(guān)系需要給予證明。

點(diǎn)評：二面角的求解策略：（l）向量法，又有兩種求法：①分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，利用其法向量的夾角并結(jié)合實(shí)際圖形或法向量的方向確定其二面角的大小。②分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，顯然這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小。（2）綜合法，根據(jù)定義，在圖中指（作）出，并給予證明，然后將其納入可解三角形中求解。

（責(zé)任編輯 王福華）