敘述性偏好法實驗的有效樣本量模型框架

朱 瑋, 楊嘉智

(同濟大學(xué) 建筑與城市規(guī)劃學(xué)院，上海 20092)

敘述性偏好法(stated preference, SP)是指通過實驗設(shè)計(design of experiment)，讓被試者面對虛擬對象表達其偏好的一種調(diào)查和研究方法.相對于直接觀察人們實際選擇行為的顯示性偏好法(revealed preference, RP)而言，SP具有變量變異性可控、相關(guān)性可控、被試行為可控、可加入實際中尚不存在的新變量或新產(chǎn)品等優(yōu)勢，有利于得到更加符合理論的數(shù)據(jù)和模型[1]，因此成為諸多研究和應(yīng)用領(lǐng)域的常用方法.

應(yīng)用SP法的一個關(guān)鍵步驟就是實驗設(shè)計.通常研究者首先設(shè)定影響決策和選擇的要素，并設(shè)定每個要素的水平；再組合不同要素的水平來生成選項，將若干選項組合成選擇題供被試者選擇；最后多采用離散選擇模型方法(discrete choice models)[2-3]，通過解讀模型估計的參數(shù)來推斷偏好.因此，參數(shù)估計的可靠性和準確性至關(guān)重要.可靠性是指估計參數(shù)的離散程度，離散程度越小說明在重復(fù)試驗中越不可能出現(xiàn)與估計值相差較大的參數(shù)值；準確性是指估計參數(shù)與真實參數(shù)的接近程度，越接近說明模型越能反映人們的真實偏好.兩者往往隨樣本量的增加而提高.

但受成本限制，實際的調(diào)查實施總希望用盡量少的樣本來得到足夠可靠和準確的模型結(jié)果，稱其為有效樣本量.這需要采用一定的實驗設(shè)計策略，常用的設(shè)計策略包括正交設(shè)計(orthogonal design)、效率設(shè)計(efficient design)[4-5]等，不同策略下的有效樣本量可能不同.除此之外，影響有效樣本量的還有要素的數(shù)量、水平的數(shù)量以及偏好本身的特征等因素.

目前關(guān)于SP實驗設(shè)計樣本量的研究主要集中在醫(yī)學(xué)及商業(yè)決策等領(lǐng)域.運用較廣的傳統(tǒng)模型有Orme提出的經(jīng)驗法則(rule of thumb Ⅰ)[6]，指出樣本量(被試人數(shù))取決于選擇題的數(shù)量、構(gòu)成選擇的要素數(shù)量，以及所有要素中出現(xiàn)的最大水平數(shù)量，它們之間的關(guān)系可以用簡單的數(shù)學(xué)公式表示.之后Orme進一步指出在一般實驗中，被調(diào)查人數(shù)至少在300人以上，結(jié)果才可能具有說服力(rule of thumb Ⅱ)[7].但兩個經(jīng)驗法則都缺少充分的證明.另一個傳統(tǒng)模型來自簡單隨機抽樣理論(SRS theory)[1]，其樣本量估算基于選擇概率的真實值和估計值、每個被試者需要完成的任務(wù)數(shù)量，由公式可計算出有效被試者人數(shù)；不足的是，如果沒有源于實際的調(diào)查背景便不能獲得選擇概率的真實值.文獻[4-5]在簡單隨機抽樣理論的基礎(chǔ)上，提出了以協(xié)方差矩陣衡量實驗設(shè)計效率的方法，以及利用參數(shù)檢驗得到最小樣本量的實驗設(shè)計策略(S-efficient design).

既有研究主要存在3點不足：①僅關(guān)注模型的可靠性，欠考慮模型的準確性.得到低標(biāo)準誤、統(tǒng)計顯著的參數(shù)通常比得到接近真實值的參數(shù)容易，既有研究一般止步于此.在實證研究中，真實參數(shù)是未知的，成為準確性驗證的主要障礙；②在有效樣本量的影響要素中，未考慮偏好本身的特征.該特征具體來說就是偏好參數(shù)的尺度.根據(jù)離散選擇模型的原理，大尺度的參數(shù)相較小尺度的參數(shù)更能減少隨機誤差的干擾，從而令選擇結(jié)果的傾向更加明確，對偏好的估計相應(yīng)更容易，因此所需的樣本量理論上應(yīng)更少；③有效樣本量估計方法的可操作性、普適性低，一般需要針對特定問題預(yù)設(shè)參數(shù)值[4]，因此受預(yù)設(shè)過程本身可靠性的影響大，實施過程也比較復(fù)雜.

本文旨在彌補以上缺陷，得到一個更加容易操作的SP實驗有效樣本估計方法框架.具體來說，希望通過實施這一框架，得到一個(或幾個，針對不同的設(shè)計策略)操作模型，應(yīng)用該模型，便可以通過預(yù)設(shè)實驗中要素的數(shù)量、水平的數(shù)量、偏好參數(shù)的尺度以及參數(shù)的目標(biāo)準確度，來預(yù)估實驗所需的有效樣本量.

1 SP實驗有效樣本量估計方法框架

1.1 SP實驗設(shè)計及選擇模型概述

SP實驗設(shè)計的一般過程為：①確定實驗對象，根據(jù)其屬性設(shè)定影響決策和選擇的要素；②設(shè)定每個要素的水平；③采用選定的實驗設(shè)計策略對不同要素的水平進行組合，生成選項，將若干選項組合成選擇題供被試者選擇.

SP實驗的選擇行為數(shù)據(jù)通常用離散選擇模型來解釋，其中最基本的是多項邏輯特模型(multinomial logit model)，其假定人們在選擇時，面對選項i=1,…,I，選擇概率pi為

(1)

1.2 模型參數(shù)的準確性

(2)

可見，該準確性與模型擬合參數(shù)的標(biāo)準誤成反比，與真實參數(shù)的容差成正比，如圖1所示.從理論上可以推斷，提高容差可以提高參數(shù)準確性，相應(yīng)需要的有效樣本量就會減少；相反，小容差就需要大樣本.因此，容差尺度要適當(dāng)，但又因具體應(yīng)用問題而不同：參數(shù)誤差造成的后果在多大程度上是可接受的，需具體情況具體確定.筆者將容差設(shè)定為0.1，即允許估計參數(shù)相對于真實參數(shù)有最多正負10%的偏移.

(3)

圖1 參數(shù)準確性定義

1.3 準確性的影響因素模型

SP選擇實驗中，影響模型參數(shù)準確性的因素可能包括：① 樣本量(xN).進入模型擬合的選擇數(shù)量越多、選擇結(jié)果越豐富，就能為模型提供越多的信息量，使得參數(shù)估計越準確；② 設(shè)計要素(解釋變量)數(shù)量(xV)和要素水平數(shù)量(xL).這兩個因素決定實驗設(shè)計的復(fù)雜程度，要素和水平數(shù)量越多則生成選擇方案的數(shù)量越多；相比于復(fù)雜度較低的實驗設(shè)計，需要較大的樣本量和較豐富的選擇結(jié)果來得到相同準確性的參數(shù)估計；③ 模型參數(shù)的尺度(xS).參數(shù)尺度決定了可見效用相對于誤差的作用強度,尺度越大則選擇結(jié)果越確定，規(guī)律性越強，越容易得到準確的參數(shù)估計；④ 實驗設(shè)計策略(xD).不同的實驗設(shè)計策略(如正交設(shè)計、效率設(shè)計、隨機設(shè)計)產(chǎn)生不同的選擇方案，對應(yīng)不同程度的信息豐富性和有偏性，從而影響參數(shù)估計的準確性.例如，正交設(shè)計可以產(chǎn)生具有代表性、均好性、數(shù)量較少的選擇方案，但其自變量的信息量不隨樣本量的增加而變化；而隨機設(shè)計在樣本量較少時，自變量的分布很可能有偏，但隨著樣本量增加，有偏性會減弱，信息豐富性會增加.

以上影響因素與參數(shù)準確性的假設(shè)關(guān)系總結(jié)如表1所示.

表1 變量的含義及其與參數(shù)準確性的假設(shè)關(guān)系

Tab.1 Variables and hypothetical relationship with parameter accuracy

變量影響因素含義與參數(shù)準確性的假設(shè)關(guān)系xN樣本量正相關(guān)(+)xV設(shè)計要素的數(shù)量負相關(guān)(-)xL設(shè)計要素水平的數(shù)量負相關(guān)(-)xS模型參數(shù)的尺度正相關(guān)(+)xD實驗設(shè)計策略對應(yīng)的選擇方案豐富度正相關(guān)(+)

由于設(shè)計策略不易量化，因此在特定實驗設(shè)計策略xD下，建構(gòu)其余4個影響因素與參數(shù)準確性的關(guān)系模型，而設(shè)計策略的影響可通過比較不同設(shè)計策略對應(yīng)模型的參數(shù)來獲得.參數(shù)準確性的取值范圍為0～1，通過預(yù)研究基本掌握了參數(shù)準確性在3個設(shè)計策略下(詳見2.1)與樣本量的關(guān)系，以要素數(shù)量、水平數(shù)量皆為3、模型參數(shù)尺度選擇中類時為例(圖2)，圖中曲線接近標(biāo)準邏輯斯蒂函數(shù)的上半部分(圖3).

圖2 參數(shù)準確性與樣本量變化的關(guān)系(要素數(shù)量=3，水平數(shù)量=3，模型參數(shù)尺度=中類)

Fig.2 Parameter accuracy versus sample size

圖3 邏輯斯蒂函數(shù)

標(biāo)準邏輯斯蒂函數(shù)為

(4)

(5)

得

(6)

鑒于準確性的影響因素都要通過樣本量起作用，例如當(dāng)樣本量為0，準確性也應(yīng)為0；同時考慮到模型應(yīng)較易于操作.因此，將自變量間的關(guān)系定義為如下乘積形式：

(7)

式中:βk為各影響因素xk的權(quán)重，可用線性回歸模型求解.根據(jù)公式(7)，當(dāng)給定實驗設(shè)計策略、參數(shù)準確性、實驗設(shè)計要素數(shù)量、要素水平數(shù)量以及參數(shù)尺度，即可求得實驗所需的有效樣本量.

2 有效樣本量估計實證

本研究中的有效樣本量是指得到足夠模型參數(shù)準確性所需的最小樣本量.應(yīng)用以上的框架對SP實驗的有效樣本量進行實證研究.總體思路是，將以上5個參數(shù)準確性影響因素作為設(shè)計要素進行實驗設(shè)計，得到不同的檢驗方案；根據(jù)每個方案，用模擬的方法生成虛擬決策數(shù)據(jù)，進行選擇模型擬合，得到模型參數(shù)，并計算參數(shù)準確性.根據(jù)式(7)得到準確性的回歸模型，考查影響因素與準確性的實證關(guān)系，以及不同條件下有效樣本量的變化規(guī)律.

2.1 檢驗方案設(shè)計

對5個影響因素的等級設(shè)定如下：

(1) 設(shè)計要素的數(shù)量(xV)，為2～10個.

(2) 要素水平的數(shù)量(xL)，為2～4個.

(3) 模型參數(shù)的尺度(xS)，即為預(yù)設(shè)的真實參數(shù)，為大、中、小3個等級.大尺度參數(shù)值為0、2、4、8，中尺度參數(shù)值為0、1、2、4，小尺度參數(shù)值為0、0.5、1、2.

采用R語言的DoE.base包，對以上3個因素經(jīng)過正交設(shè)計，得到27個檢驗方案，其中典型方案如表2所示.

(4) 樣本量(xN)，根據(jù)每個檢驗方案以及對應(yīng)選擇方案規(guī)模，并根據(jù)式(1)，模擬2選1選擇的若干樣本.在每種策略下模擬了500、800、1 500、3 000、6 000、12 000、20 000、30 000次選擇.

(5) 實驗設(shè)計策略(xD)，選取了3種實驗設(shè)計策略分別進行檢驗.一是將要素的數(shù)量擴大選項數(shù)兩倍后做正交設(shè)計(偏移成對正交設(shè)計，shifted-pairs orthogonal design[8-9])，直接生成選擇方案，以下簡稱“成對組合策略”；二是運用正交設(shè)計生成單個選項后，從中隨機抽取兩個選項組合成選擇方案，以下簡稱“隨機組合策略”；三是所有選項的要素值均隨機生成，以下簡稱“完全隨機策略”.一般來說，成對組合策略生成的選擇方案最少，在小樣本下的代表性和均勻性最好；完全隨機策略的方案豐富性最高，利于降低參數(shù)偏差，但需要大樣本才能得以體現(xiàn)；隨機組合策略的特性居于以上兩者之間.

表2 檢驗方案示例

2.2 準確性模型結(jié)果

分別在以上3種設(shè)計策略下實施檢驗方案，用R語言中的mlogit包擬合選擇模型(式(1))，得到模型估計參數(shù)，根據(jù)式(2)、(3)計算該方案、該樣本的模型參數(shù)準確性；接著用準確性模型對所有檢驗方案的所有樣本加以回歸分析，可得到3個對應(yīng)設(shè)計策略的模型.根據(jù)式(7)，對準確性模型加以調(diào)整，主要是因為模型參數(shù)尺度因素(xS)在本實證中不易量化，進而采取啞變量的形式(0/1)，分別由xS1(小尺度)、xS2(中尺度)和xS3(大尺度)來表示；對應(yīng)參數(shù)為βS1、βS2、βS3.式(7)相應(yīng)調(diào)整為

(8)

在準確性模型擬合前，篩選準確性在0.70～0.95的樣本予以保留，目的一是對準確性較高的樣本建模更具針對性和實用性，二是去除異常情況.模型擬合結(jié)果見表3.

3種策略下模型參數(shù)的符號和關(guān)系均符合假設(shè)：參數(shù)尺度與準確性正相關(guān)；設(shè)計要素的數(shù)量和要素水平的數(shù)量均與準確性負相關(guān)，且要素水平的作用更強；樣本數(shù)量與準確性正相關(guān).模型中未加入常數(shù)項，因為常數(shù)項與xSc的作用重疊.將通過模型(式(8))估計的樣本量與實際的樣本量進行比較(圖4).相比前兩種策略，完全隨機策略圖像上的點分布更聚集，估計樣本量與實際樣本量更為接近，對兩者的線性回歸亦可同樣證明.

表3 準確性模型結(jié)果

注:***、**、*和·的統(tǒng)計顯著性水平分別為0.001、0.01、0.05、0.1.

a 成對組合策略

b 隨機組合策略

c 完全隨機策略

2.3 有效樣本量與影響因素關(guān)系的可視化

為了更加清晰地呈現(xiàn)有效樣本量與其影響因素的關(guān)系，并便于對這3種設(shè)計策略進行比較，對以上模型進行可視化處理，如圖5所示.圖中，縱坐標(biāo)表示27種要素與水平的組合，自下而上根據(jù)要素和水平的數(shù)量排列，越往上，選擇的復(fù)雜性越高；橫坐標(biāo)表示在之前條件設(shè)定下估算的有效樣本量.它們顯示的規(guī)律是：① 要素數(shù)量和水平數(shù)量越多，需要的有效樣本量越大，且要素水平數(shù)量的影響比要素數(shù)量的影響大得多.② 參數(shù)尺度越小，需要的有效樣本量越大，且呈非線性增長，即從中尺度到小尺度參數(shù)需要增加的有效樣本量比從大尺度到中尺度需要增加的有效樣本量多得多.③ 參數(shù)準確性越高，需要的有效樣本量越大，也呈非線性增長，即同等程度的準確性提高，在較高準確性下要比較低準確性下需要更多的有效樣本量.④ 兩種隨機設(shè)計策略所需的有效樣本量明顯少于成對設(shè)計策略的樣本量.例如，在最高的準確性、最小的參數(shù)尺度、最高的復(fù)雜性下，隨機策略的有效樣本量不超過40 000次選擇，而成對設(shè)計策略需要超過60 000次選擇.在參數(shù)準確性較低或在復(fù)雜度較低的條件下，成對設(shè)計策略需要的樣本量與隨機策略接近甚至更少.⑤ 比較這兩種隨機策略，完全隨機策略在大多數(shù)條件下需要較少的有效樣本量；僅在最高準確性、最小參數(shù)尺度、較高復(fù)雜性下，有效樣本量略多于隨機組合策略所需有效樣本量.

a 成對組合策略

b 隨機組合策略

c 完全隨機策略

3 結(jié)論

既有SP實驗設(shè)計研究主要關(guān)注估計可信度高的參數(shù)，卻忽略了對參數(shù)準確性的要求.對此，本文提出了一個以獲得準確參數(shù)估計為目標(biāo)，估計SP實驗設(shè)計所需有效樣本量的模型框架.研究的主要結(jié)論為：

(1) 提出了一個易于操作、更加全面的SP實驗有效樣本量估計方法框架，最終可通過一個線性模型來估計實驗所需的樣本量.該模型中的因變量為參數(shù)的準確性，解釋變量包括要素的數(shù)量、要素水平的數(shù)量、參數(shù)的尺度、樣本量以及實驗設(shè)計策略.當(dāng)預(yù)設(shè)包括準確性在內(nèi)的其他變量，即可應(yīng)用此模型求得有效樣本量.

(2) 應(yīng)用該框架開展了一個模擬檢驗，發(fā)現(xiàn)所有這些解釋變量都對參數(shù)的準確性產(chǎn)生顯著的影響，從中得到對SP實驗設(shè)計的一些實踐原則.第一，要素水平的數(shù)量比要素的數(shù)量更顯著地影響樣本量，因此實驗應(yīng)盡量控制要素水平數(shù)；第二，在估計樣本量前，可通過預(yù)實驗或文獻查閱對參數(shù)尺度有所預(yù)估；第三，在高參數(shù)準確性的要求下，隨機實驗策略基本上要優(yōu)于成對設(shè)計策略，僅在低參數(shù)準確性、大尺度參數(shù)等寬松的條件下，成對設(shè)計策略才體現(xiàn)出優(yōu)勢.

以上框架適用于基于SP選擇實驗的研究，幫助研究者評價實驗設(shè)計，選擇恰當(dāng)?shù)膶嶒炘O(shè)計策略，預(yù)估樣本量和實施難度.相信通過以上模擬檢驗得到的實驗設(shè)計要素與有效樣本量之間的關(guān)系在其他一般實驗情景中仍是有效的，不過具體的關(guān)聯(lián)程度應(yīng)該會隨著研究問題的不同而有所不同，因此仍需要具體問題具體研究.在這個過程中，比較難的步驟就是界定真實參數(shù)的尺度，因其對有效樣本量規(guī)模有較大影響.通過預(yù)實驗或文獻查閱對參數(shù)尺度有較為準確的預(yù)估是需認真對待的環(huán)節(jié).本研究也僅考查了影響有效樣本量的部分因素，在此框架下，值得研究的要素還包括其他設(shè)計策略(如效率設(shè)計)和選項數(shù)量.此外，要素影響有效樣本量的機制、模型是否還有其他更加貼切的形式，也值得深入探索，畢竟本研究模型還原實際樣本量的準確度不高，其中有隨機過程的影響.