基于差分法研究熱輻射強(qiáng)度與距離的關(guān)系

楊東俠，劉安平，歐 琪，楊駿駿，張選梅，何光宏，韓 忠

(物理國家級實驗教學(xué)示范中心(重慶大學(xué))，重慶 401331)

測定熱輻射強(qiáng)度與距離關(guān)系是近代物理實驗中熱輻射綜合實驗的重要內(nèi)容之一，在熱輻射成像實驗中，測定熱輻射強(qiáng)度-距離關(guān)系采用直接測量擬合法：在輻射源前選擇幾個不同的距離點直接測量輻射強(qiáng)度，然后根據(jù)數(shù)據(jù)擬合輻射強(qiáng)度-距離關(guān)系，這種處理方法得到的結(jié)果比較粗糙，也沒有考慮空氣對實驗的影響，導(dǎo)致熱輻射值測量不準(zhǔn)確. 本文考慮了空氣的影響后，改進(jìn)了實驗方法，采用差分方法推導(dǎo)，計算其影響因子. 由于均勻介質(zhì)對電磁波的吸收函數(shù)形式已知為指數(shù)形式[1]，該方法需預(yù)設(shè)熱輻射強(qiáng)度與距離的關(guān)系為未知冪次的冪函數(shù)造成了一部分的失真，得到輻射強(qiáng)度-距離的分段近似公式，并且可以得到空氣對輻射的吸收因子.

1 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

不考慮空氣影響時，根據(jù)斯特藩-玻爾茲曼定律,單位面積的黑體輻射強(qiáng)度I與絕對溫度T的關(guān)系為[1-4]

I0=αT4.

(1)

考慮空氣的影響時[1]有

I=αT4e-μ d,

(2)

其中，e-μ d為在空氣中的衰變因子，α為與距離有關(guān)的系數(shù)，設(shè)

α=α0dm，

(3)

代入式(2)有

I=α0dmT4e-μ d.

(4)

對式(4)兩邊取對數(shù)，有

lnI=ln (α0T4)+mlnd-μd，

(5)

再對距離d求偏導(dǎo)數(shù)，得

(6)

(7)

2 實驗測量

實驗器材如圖1所示，包含DHRH-1測試儀、黑體輻射測試架、紅外熱輻射傳感器、光學(xué)導(dǎo)軌(60 cm)、計算機(jī)軟件以及專用連接線等.

圖1 熱輻射實驗儀器

調(diào)節(jié)實驗儀，將溫度設(shè)置在80 ℃，選擇輻射體的黑面并轉(zhuǎn)動到正對紅外傳感器，以20 mm處設(shè)置為輻射體與接收器的零點距離，每次增加距離10 mm，依次測量輻射強(qiáng)度. 探頭位置x及對應(yīng)的輻射強(qiáng)度I數(shù)據(jù)如表1所示. 輻射源位置：40 mm.

表1 探頭位置x和輻射強(qiáng)度I的實驗數(shù)據(jù)

3 數(shù)據(jù)處理

圖2 散點圖

圖3 面源熱輻射示意圖

又由能量守恒可知，與熱源距離不同而且平行于熱源的不同平面上的輻射強(qiáng)度不變. 假設(shè)該輻射強(qiáng)度為k，此時再考慮空氣的影響，則輻射強(qiáng)度為

I=ke-μ d.

(8)

對式(8)兩邊取對數(shù),再求導(dǎo),得

(9)

圖4所示為將反常點除去后用其余的點做最小二乘法擬合的直線.

圖4 去反常點的擬合直線

4 誤差分析

設(shè)實驗結(jié)果中測量的誤差為Δ，有

lnI=Δ+ln (α0T4)+mlnd-μd，

(10)

求導(dǎo)后用差分代替導(dǎo)數(shù)后,新增加了二階誤差項ο(h2)，有

(11)

因為最小二乘法的計算方法是令所有的擬合項yi與原數(shù)據(jù)項axi+b的誤差項為

εi=yi-(axi+b)

的平方和最小，而該差即為ο(h2)+Δ′，盡管使用了差分方法處理數(shù)據(jù)，但其誤差與傳統(tǒng)的誤差相同，用傳統(tǒng)方法做誤差分析時差分誤差也會被包含進(jìn)去，所以不需要單獨(dú)分析.

令

用最小二乘法的誤差計算方法可得

σγ=0.000 23,σμ=0.000 15，σm= 0.028，

μ和m的相對偏差分別為8.2%和3.5%. 可以看到所得的μ與m比較準(zhǔn)確.

實驗得出輻射距離在10～34 cm區(qū)間時，考慮空氣的影響時輻射強(qiáng)度與距離的關(guān)系為

I∝d-0.893T4e-0.001 5d；

(12)

如果不考慮空氣的影響時，輻射強(qiáng)度與距離的關(guān)系為

I∝d-0.893T4.

(13)

5 結(jié) 論

在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中假設(shè)了α=α0dm的關(guān)系，將面熱源近似處理為點熱源，效仿點熱源的情形直接用冪函數(shù)進(jìn)行擬合. 但是冪函數(shù)形式的熱傳遞關(guān)系只適用于點熱源，而實驗中所用的是面熱源，可以預(yù)見當(dāng)距離d越來越大時m會逐漸趨向于-2(點熱源的輻射強(qiáng)度與距離的關(guān)系)；當(dāng)距離很近或很遠(yuǎn)時形狀不規(guī)則的熱源的熱輻射與距離的關(guān)系都可近似為標(biāo)準(zhǔn)的無限大平面或點熱源模型，此時關(guān)系是清晰的常值或平方反比關(guān)系；而一般情況下實驗的輻射距離d是有限的距離范圍，在該范圍內(nèi)并非嚴(yán)格遵從輻射強(qiáng)度與距離平方的反比關(guān)系(m>-2). 通過差分方法推導(dǎo)，擬合出了在考慮空氣的影響時，熱輻射強(qiáng)度與距離的關(guān)系，經(jīng)過誤差分析，計算得到較為準(zhǔn)確的空氣吸收因子和距離影響因子.