從“神奇的莫比烏斯帶”一課看數(shù)學(xué)問題的教育價值

蘇清偉 深圳市龍華區(qū)清湖小學(xué)

1 莫比烏斯帶簡介

莫比烏斯帶是由數(shù)學(xué)家莫比烏斯(Mobius，德國，1790~1868)于1858年發(fā)現(xiàn)的，它是存在于三維空間中的一個環(huán)帶體，其性質(zhì)是這個環(huán)帶體只有一個面，在數(shù)學(xué)中被稱為拓?fù)鋱D形，用一個民間小故事來解讀一下莫比烏斯帶：

“聰明的捕快”：有一天，縣衙里的捕快抓了個小偷，縣太爺發(fā)現(xiàn)那個小偷是自己的外甥，于是遞給捕快一張紙條，紙條的正面寫著：“小偷應(yīng)當(dāng)放掉”、背面寫著“農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押”。捕快很正直，收到紙條后就想該怎么辦。終于，他想出了一個法子。捕快將紙條轉(zhuǎn)了半個圈重新粘貼，并從“應(yīng)當(dāng)”處斷開，形成了一張新的紙條，于是他當(dāng)眾宣讀：“應(yīng)當(dāng)放掉農(nóng)民，應(yīng)當(dāng)關(guān)押小偷?！笨h太爺知道了很生氣，叫來捕快問話，但是一看捕快手里的紙條，那確實是他自己的筆跡，無奈只好放掉農(nóng)民。

其邏輯推導(dǎo)過程：假設(shè)(小偷)“應(yīng)當(dāng)放掉”這四個字寫在紙條的正面，這個命題成立(p)，那么剪斷紙條后，“應(yīng)當(dāng)放掉”(農(nóng)民)這四個字寫在紙條的反面，推出前面的命題不成立，反之亦然，在這里推出了一個矛盾等價式。由命題真可推出命題假，由命題假可推出命題真，這一悖論邏輯與說謊者悖論的邏輯一致。

2 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計

數(shù)學(xué)綜合實踐課的學(xué)習(xí)中學(xué)生才是最絢麗的舞者。這樣的思想使我對“莫比烏斯帶”的教學(xué)進行了重新設(shè)計。課程伊始，“步入奇妙的魔幻世界”環(huán)節(jié)中，我讓將長方形紙條粘貼成“莫比烏斯帶”的學(xué)生滔滔不絕地向同學(xué)介紹他那饒有創(chuàng)意的作品。孩子們贊同地接受著這個新鮮的事物，并嘗試著制作。面對前后兩個不同做法制作的圓環(huán)和“莫比烏斯帶”，孩子們提出了自己的疑問：“圓環(huán)和莫比烏斯帶有什么不同？”“為什么圓環(huán)有1個面，莫比烏斯帶有2個面？”“還有什么方法做出各種神奇的帶子？”“莫比烏斯帶有什么用？”面對雜亂的提問，有的學(xué)生提出要歸類整理下，提高解決問題的效率。我驚訝于孩子們的想法，我相信孩子們會將更多的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活中。

3 教學(xué)思想

本節(jié)課程體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“數(shù)學(xué)活動”的概念。但教師是否足以讓學(xué)生在活動中感受到移動服的神奇？數(shù)學(xué)游戲不僅要讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的樂趣，還要讓學(xué)生清楚地了解數(shù)學(xué)。在學(xué)生的頭腦中研究數(shù)學(xué)問題的種子，即使他們沒有完全理解它們。如果沈元先生沒有在數(shù)學(xué)課上播下哥德巴赫猜想的種子，那么陳景潤是如何奪取數(shù)學(xué)之珠的呢？作為一名數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課上提出問題并引導(dǎo)學(xué)生思考。

4 教學(xué)策略

教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注莫比烏斯帶的邊緣和普通幾何圖形的邊緣是不同的。普通圖形的兩側(cè)是直的，例如矩形和正方形。如果它是圓形或橢圓形，則莫比烏斯帶的側(cè)面是彎曲的一側(cè)，但是圓形和橢圓形的彎曲側(cè)面是不同的。橢圓的表面在二維平面中創(chuàng)建，但是移動區(qū)域的彎曲側(cè)不能在二維平面中創(chuàng)建。它只能在三維平面上生產(chǎn)。當(dāng)計算直邊或彎曲的邊數(shù)時，必須是光滑的，沒有轉(zhuǎn)折點。例如，矩形具有四個角度。因此，四條邊是圓形，橢圓形，莫比烏斯帶的邊是光滑的，沒有折角，所以它是一條邊。

5 小結(jié)

數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題解決活動的領(lǐng)域和范圍，數(shù)學(xué)知識社會建構(gòu)的學(xué)習(xí)背景以及學(xué)校數(shù)學(xué)是集體實踐的思維背景都顯示出與原始研究框架的差異。與此同時，他們都展示了一種新的研究視角和方向，即他們需要關(guān)注學(xué)校數(shù)學(xué)之外的共同點。人類學(xué)習(xí)和解決問題的情況和特點。正是基于這種理解，我們才會走出原始的研究框架，即不是從數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)教學(xué)中考慮問題解決和數(shù)學(xué)教學(xué)，而是首先考慮學(xué)習(xí)的基本性質(zhì)，從如何人們學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)方法對教學(xué)提出了什么樣的要求和啟示。探究問題解決和數(shù)學(xué)教學(xué)，因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主題和數(shù)學(xué)教育的對象都是需要挖掘自己學(xué)習(xí)潛能的學(xué)習(xí)者，包含無限的創(chuàng)造力和獨特性，而不是等待容器填寫知識。只有這樣，我們才能尊重和遵守人類自身的學(xué)習(xí)規(guī)律，并符合當(dāng)前的形勢。知識，學(xué)習(xí)和教學(xué)可以真正滿足當(dāng)前社會轉(zhuǎn)型中創(chuàng)新人才的需求。