砂箱彌散試驗(yàn)尺寸效應(yīng)及彌散度尺度效應(yīng)

宮 玥，張 敏，任 宇，郭彩娟，孫 琳,3

(1.中國地震災(zāi)害防御中心,北京 100029；2.中國地質(zhì)科學(xué)院水文地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)研究所，河北 石家莊 050061；3.自然資源部地下水科學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050061；4.中國地質(zhì)大學(xué)(北京)水資源與環(huán)境學(xué)院,北京 100083)

0 引 言

彌散度是孔隙含水層中污染物遷移的關(guān)鍵參數(shù)，表征介質(zhì)的彌散特征，主要是介質(zhì)非均質(zhì)性的體現(xiàn)[1-5]。然而，彌散度獲取一直以來都是水文地質(zhì)學(xué)的難點(diǎn)問題[1-5]。室內(nèi)砂箱彌散試驗(yàn)是獲取彌散度的重要手段[5-11]。但室內(nèi)試驗(yàn)測得的彌散度不僅與含水介質(zhì)有關(guān)，還受試驗(yàn)規(guī)模影響。室內(nèi)所測得的彌散度往往與野外測定的相差一個或數(shù)個數(shù)量級[5-9]。因此，一般認(rèn)為，砂箱、土柱等室內(nèi)彌散試驗(yàn)可用作研究水動力彌散機(jī)理，不可應(yīng)用于野外[1-10]。

普遍認(rèn)為，室內(nèi)試驗(yàn)不可應(yīng)用于野外的原因是彌散度尺度效應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn)，尺度越大，彌散度越大[1-5]。依此理論，砂箱尺度獲取的彌散度經(jīng)尺度分析可外推至野外尺度。然而，外推至野外尺度涉及穿越不同尺度約束體系的限制問題，該問題雖已在多個學(xué)科領(lǐng)域研究數(shù)年，至今卻仍是世界性難題，尺度外推常被認(rèn)為是砂箱彌散試驗(yàn)野外應(yīng)用的主要制約問題[12-15]。尺度外推需要首先刻畫砂箱尺度對試驗(yàn)結(jié)果的影響。野外彌散度主要體現(xiàn)土體的非均質(zhì)性，而砂箱由于邊壁存在，其彌散度體現(xiàn)的則是砂箱邊壁和土體二者組合的非均質(zhì)性[16-20]。理論上可認(rèn)為，砂箱邊壁影響產(chǎn)生的尺寸效應(yīng)越小，試驗(yàn)結(jié)果越接近土體彌散度。若砂箱尺寸越趨于無限大，邊壁影響幾乎可忽略，則可通過尺度分析外推至野外應(yīng)用。但實(shí)際是否如此仍未見試驗(yàn)研究?？傊?，尺度效應(yīng)和尺寸效應(yīng)限制了砂箱彌散試驗(yàn)的野外應(yīng)用，尺寸效應(yīng)及其對尺度效應(yīng)的影響到底如何有待研究。

本文采用不同尺寸的大、小砂箱，以NaCl為示蹤劑，開展砂箱一維水動力彌散試驗(yàn)[5-11,21-25]，分析大、小砂箱彌散度特征，以導(dǎo)向性方法表征彌散度尺度效應(yīng)和砂箱尺寸效應(yīng)及其二者關(guān)系，為消除尺寸效應(yīng)對砂箱試驗(yàn)測定土體彌散度影響，實(shí)現(xiàn)砂箱試驗(yàn)彌散度的野外尺度外推應(yīng)用提供參考。

1 材料與方法

1.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及砂箱裝置

試驗(yàn)設(shè)計(jì)大、小兩個尺寸類型砂箱(圖1)。將大砂箱視為具理想無邊壁影響的無邊界條件，無砂箱尺寸效應(yīng)；以大砂箱為對照，小砂箱視為具邊壁影響較大的有邊界條件，產(chǎn)生尺寸效應(yīng)；同等尺度下，彌散度的差異即為尺寸效應(yīng)導(dǎo)致的。為盡量符合以上理想模式，彌散試驗(yàn)觀測孔設(shè)置在縱向中心線上，使得彌散度觀測受砂箱邊壁非均質(zhì)性影響最小。并且，為驗(yàn)證試驗(yàn)代表性，同類型砂箱設(shè)置平行對照，大、小砂箱各2個，共4個砂箱?；诖嗽O(shè)計(jì)思路制作的大、小砂箱含水層分別為1.0 m(長)×0.4 m(寬)×0.6 m(高)、0.5 m(長)×0.2 m(寬)×0.3 m(高)，大砂箱尺寸為小砂箱的兩倍，每10 cm設(shè)置一個觀測孔。

圖1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)思路及砂箱裝置示意圖

整個砂箱試驗(yàn)裝置還包括壓力供水裝置，進(jìn)水水頭控制浮標(biāo)裝置，進(jìn)、出水緩沖水箱，出水系統(tǒng)4部分裝置。①壓力供水裝置：砂箱供水裝置為提供約兩倍于砂箱進(jìn)水水頭(隨著水桶液面變化而變化)的蓄水桶，與進(jìn)水水頭控制浮標(biāo)裝置進(jìn)水口連接，保證提供足夠水壓使浮標(biāo)正常運(yùn)作，提供穩(wěn)定供水(圖2)。②進(jìn)水水頭控制浮標(biāo)裝置：水箱下端分為進(jìn)水口和出水口，進(jìn)水口為壓力供水裝置與浮標(biāo)閥門連接點(diǎn)，出水口與砂箱水箱體連接；當(dāng)出水口水輸入砂箱水箱體，則浮標(biāo)上層空氣浮力組件下沉，帶動反作用杠桿將浮標(biāo)閥門打開，由于供水裝置與浮標(biāo)進(jìn)水口存在水頭差而將水補(bǔ)入浮標(biāo)裝置，從而保證水頭穩(wěn)定[圖3(a)]。③進(jìn)、出水緩沖水箱(緩沖水箱的寬度為0.1 m)：經(jīng)進(jìn)水水頭控制浮標(biāo)裝置的水首先進(jìn)入進(jìn)水緩沖水箱，防止直接進(jìn)入砂箱，形成局部壓力流網(wǎng)；同理，出水口設(shè)有出水緩沖水箱[圖3(b)]，保證整個過水?dāng)嗝娉鏊乐巩a(chǎn)生局部壓力流網(wǎng)。④出水系統(tǒng)：由出水緩沖水箱出水后，連接閥門浮球流量計(jì)，可調(diào)節(jié)流量，觀測實(shí)時流速；然后，連接至進(jìn)水水頭高度固定的水樣采集瓶；砂箱進(jìn)、出水緩沖水箱底部預(yù)留了兩個測壓管連接出口，以軟管連接至同一砂箱位置，測定水頭差(圖4)。

圖2 壓力供水裝置

1.2 砂箱含水層及達(dá)西滲流試驗(yàn)

提供試驗(yàn)的含水層土體樣品為華北山前平原子牙河流域滹沱河沖洪積扇砂土。大砂箱上、下各10 cm填充粉土，作為相對隔水層，中間40 cm為中、細(xì)砂填充的含水層；小砂箱上、下各5 cm填充粉土，作為相對隔水層，中間20 cm為中、細(xì)砂填充的含水層。填土前，過40目篩網(wǎng)，砂土粒徑不超過0.425 mm。填土過程中，每添加10 cm厚度砂層，加水至飽和，自然沉積壓實(shí)7 d，再繼續(xù)填土，重復(fù)以上操作，直至填滿砂箱。連續(xù)通水30 d，排除氣體；觀測流量，連續(xù)5 d流量穩(wěn)定，視砂箱土體已壓實(shí)，砂箱中水不再排空。通入地下水為華北山前平原深層地下水(中國地質(zhì)科學(xué)院水文地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)研究所飲用深層地下水)。

圖3 進(jìn)水水頭控制浮標(biāo)裝置及出水緩沖水箱

圖4 出水系統(tǒng)

根據(jù)達(dá)西(Darcy)定律，滲透系數(shù)表達(dá)式為

K=v/I

(1)

式中：K為滲透系數(shù)；I為水力坡度；v為達(dá)西流速。

開展8個水力坡度在10-3數(shù)量級((1～4)×10-3)的一維穩(wěn)定滲流試驗(yàn)。線性回歸水力坡度與達(dá)西流速關(guān)系發(fā)現(xiàn)，判定系數(shù)(R2)為0.988 2(圖5)，擬合較好，土體滲透系數(shù)為17.226 m·d-1，在此范圍內(nèi)地下水流動滿足達(dá)西定律。

圖5 水力坡度與達(dá)西流速的關(guān)系

1.3 彌散試驗(yàn)

接上述達(dá)西滲流試驗(yàn)，持續(xù)通水，將各砂箱水力坡度進(jìn)一步調(diào)控，使其接近上述回歸分析中段范圍(水力坡度為(2～3)×10-3)，開展一維穩(wěn)定滲流彌散試驗(yàn)。根據(jù)壓力供水裝置、進(jìn)水水頭控制浮標(biāo)裝置和進(jìn)水緩沖水箱體積，添加NaCl至濃度2 g·L-1，開始初始濃度恒定的一維穩(wěn)定滲流彌散試驗(yàn)，依據(jù)文獻(xiàn)[2]和[7]，選取解析解方法計(jì)算彌散度。采用電導(dǎo)率儀監(jiān)測示蹤NaCl濃度。NaCl濃度和電導(dǎo)率關(guān)系見圖6，其判定系數(shù)為0.996 5。監(jiān)測砂箱縱向中心線離進(jìn)水口分別為10、20、30、40 cm時觀測孔中的電導(dǎo)率。當(dāng)示蹤劑到達(dá)某觀測孔，則開始每5 h監(jiān)測一次，直至達(dá)峰值穩(wěn)定狀態(tài)[24]。

圖6 NaCl濃度與電導(dǎo)率的關(guān)系

2 彌散度計(jì)算結(jié)果

以流量和NaCl濃度繪制彌散正態(tài)分布函數(shù)，函數(shù)符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則按以下方法計(jì)算彌散度[2,7]。其表達(dá)式為

式中：U為液體流出體積與試驗(yàn)柱體積比；u為實(shí)際流速；L為柱體長度；Q為流量；A為過水?dāng)嗝婷娣e；n為有效孔隙度，取0.3；t為從開始進(jìn)水至測樣時間；C為電導(dǎo)率；Cc為實(shí)測電導(dǎo)率；Cb為電導(dǎo)率本底；t0.5為相對濃度達(dá)到0.5時的時間；D為彌散系數(shù)；α為彌散度；J0.84、J0.16表示C/C0值為0.84、0.16時對應(yīng)的J值；C0為添加濃度電導(dǎo)率。

從彌散正態(tài)分布(圖7、8)可看出，所有正態(tài)分布擬合優(yōu)度的判定系數(shù)為0.815～0.985，均大于0.81(一般認(rèn)為是極強(qiáng)相關(guān))，基本滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計(jì)算得到的彌散度見表1。

3 結(jié)果分析

3.1 砂箱試驗(yàn)獲取彌散度的特征

表1中彌散度計(jì)算相關(guān)結(jié)果顯示，大砂箱1、大砂箱2、小砂箱1、小砂箱2試驗(yàn)條件下地下水實(shí)際流速分別為0.449、0.737、0.602、0.511 cm·h-1，變異系數(shù)為0.22。按一般經(jīng)驗(yàn)，孔隙滲流狀態(tài)基本一致，差異不大，且理論上彌散度并不受流體特征影響，主要是受介質(zhì)空間結(jié)構(gòu)非均質(zhì)性的影響[1-5]，因此，可認(rèn)為不同尺度試驗(yàn)條件下彌散度的變化是彌散度尺度效應(yīng)和砂箱尺寸效應(yīng)的表征。統(tǒng)計(jì)所有測得的彌散度，其范圍為1.00～6.67 cm，均值為3.06 cm，變異系數(shù)為0.54，差異明顯，說明砂箱試驗(yàn)存在明顯的彌散度尺度效應(yīng)和(或)砂箱尺寸效應(yīng)。

簡單統(tǒng)計(jì)大、小砂箱彌散度的均值分別為1.78、4.33 cm，小砂箱彌散度大于大砂箱；大、小砂箱彌散度范圍分別為1.00～2.82、3.00～6.67 cm，所有小砂箱的彌散度均大于大砂箱。這說明小尺寸彌散度大于大尺寸，換而言之，砂箱尺寸越小，尺寸效應(yīng)越明顯。大、小砂箱彌散度變異系數(shù)分別為0.40、0.29，大砂箱大于小砂箱；大砂箱1、大砂箱2、小砂箱1、小砂箱2在10、20、30、40 cm不同尺度下的變異系數(shù)分別為0.36、0.49、0.30、0.18，所有大砂箱的變異系數(shù)均大于小砂箱。這說明大砂箱彌散度隨尺度變化更大，換而言之，砂箱尺寸越大，尺度效應(yīng)越明顯。

圖7 大砂箱試驗(yàn)不同尺度彌散正態(tài)分布

圖8 小砂箱試驗(yàn)不同尺度彌散正態(tài)分布

表1 彌散度計(jì)算結(jié)果

Tab.1 Calculated Results of Dispersivity

砂箱實(shí)際流速/(cm·h-1)尺度/cm判定系數(shù)J0.16J0.84彌散系數(shù)/(cm2·h-1)彌散度/cm大砂箱10.449100.913 9-0.051.020.641.43200.938 70.150.890.611.36300.973 70.220.910.811.80400.910 0-0.060.691.272.82大砂箱20.737100.921 7-0.440.450.731.00200.983 4-0.110.771.451.96300.984 6-0.020.520.811.09400.944 3-0.110.632.052.79小砂箱10.602100.861 9-0.741.252.964.92200.922 10.011.644.016.67300.929 80.251.443.175.27400.814 70.441.221.813.00小砂箱20.511100.854 2-0.820.871.843.59200.937 60.161.522.384.66300.933 2-0.460.490.963.40400.965 00.090.881.623.16

3.2 尺度效應(yīng)對彌散度的影響及其表征

理論上，天然條件下，尺度越大，彌散度越大[1-5]。計(jì)算可知，10、20、30、40 cm不同尺度下，大砂箱彌散度分別為(1.21±0.30)、(1.66±0.42)、(1.45±0.50)和(2.81±0.03)cm，小砂箱彌散度分別為(4.26±0.94)、(5.66±1.42)、(4.33±1.32)和(3.08±0.11)cm。以該彌散度均值±誤差為縱坐標(biāo)，以尺度為橫坐標(biāo)，繪制彌散度隨尺度變化曲線(圖9)，并以回歸斜率量化尺度效應(yīng)。尺度效應(yīng)的物理意義量化為尺度每增加1 cm，彌散度增大多少厘米。尺度效應(yīng)表達(dá)式為

(2)

式中：x為尺度；α為彌散度；Escale為尺度效應(yīng),以大砂箱為表征，其尺度效應(yīng)為0.045 7。

圖9 彌散度隨尺度變化

砂箱試驗(yàn)條件下，大、小砂箱彌散度隨尺度變化均不嚴(yán)格遵循尺度效應(yīng)規(guī)律，砂箱尺寸可能影響了彌散度的尺度效應(yīng)。趨勢上，大砂箱尺度越大，彌散度越大，線性回歸判定系數(shù)為0.696 5，基本滿足尺度效應(yīng)規(guī)律；小砂箱尺度越大，彌散度越小，線性回歸判定系數(shù)為0.351 9，不滿足尺度效應(yīng)規(guī)律。大砂箱尺度效應(yīng)對彌散度的影響可以α=0.045 7x+0.640 2方程表示，小砂箱則不可以線性回歸斜率量化尺度效應(yīng)。

與第3.1節(jié)分析結(jié)果吻合，該現(xiàn)象表明：雖然砂箱尺寸影響了彌散度的尺度效應(yīng)，但相對小砂箱而言，大砂箱受尺寸效應(yīng)影響小，即大砂箱彌散度尺度效應(yīng)明顯，小砂箱彌散度受尺寸效應(yīng)控制，尺度效應(yīng)被掩蓋。

含水層彌散度的本質(zhì)是溶質(zhì)遷移過程由達(dá)西流速(平均速度)與每一點(diǎn)孔隙速度的差值引起溶質(zhì)的空間分異現(xiàn)象[1-3,22]。對于地下水溶質(zhì)遷移的彌散度尺度效應(yīng)，主要是非均質(zhì)性引起的。該砂箱試驗(yàn)雖然采用均質(zhì)砂，但含水層隨尺度增加，非均質(zhì)性仍增加，彌散度受砂箱尺寸效應(yīng)顯著。此為該試驗(yàn)條件下彌散度尺度效應(yīng)的主要原因。

3.3 尺寸效應(yīng)對彌散度的影響及其表征

在第3.2節(jié)分析大砂箱受尺寸效應(yīng)影響較小的基礎(chǔ)上，視大砂箱基本不受尺寸效應(yīng)影響。在此以(αs-αl)/αl量化砂箱尺寸效應(yīng)，其中，αs為小砂箱彌散度，αl為大砂箱彌散度，αs-αl為砂箱尺寸導(dǎo)致的彌散度。在試驗(yàn)條件下，尺寸效應(yīng)的物理意義量化為砂箱尺寸由1.0 m×0.4 m×0.6 m變?yōu)?.5 m×0.2 m×0.3 m，長、寬、高尺寸均減至1/2，同等尺度下彌散度增大的倍數(shù)。其表達(dá)式為

(3)

式中：l為砂箱的尺寸；Esize為尺寸效應(yīng)。

砂箱尺寸變化指長、寬、高等比變化，表達(dá)式中砂箱的尺寸取砂箱長度。

在10、20、30、40 cm尺度下，尺寸效應(yīng)分別為-5.02±0.78、-4.82±1.00、-3.98±1.14、-0.20±0.10，呈減小趨勢。從砂箱尺寸效應(yīng)對彌散度影響的柱狀圖及誤差線(圖10)可看出：10、20、30 cm尺度下，與大砂箱相比，小砂箱彌散度分別增大(2.51±0.39)倍、(2.41±0.50)倍、(1.99±0.57)倍，但3個尺度下的誤差重疊；與其他3個尺度相比，40 cm尺度下的誤差無重疊，小砂箱彌散度僅增大(0.10±0.05)倍。

圖10 尺寸效應(yīng)對彌散度的影響

3.4 尺度效應(yīng)與尺寸效應(yīng)的關(guān)系

理論上，砂箱邊壁與土體的非均質(zhì)性產(chǎn)生的尺寸效應(yīng)是一定值。若尺度無限大，則尺寸效應(yīng)產(chǎn)生彌散度的占比較少，表觀上砂箱尺寸效應(yīng)消失[16-20]。從圖10可以看出，試驗(yàn)條件下，隨著尺度增大，大、小砂箱彌散度相差倍數(shù)越來越小，尺度效應(yīng)與尺寸效應(yīng)存在一定關(guān)系。以尺度為橫坐標(biāo)，大、小砂箱彌散度相差倍數(shù)為縱坐標(biāo)作線性回歸分析，發(fā)現(xiàn)判定系數(shù)為0.772 3，擬合優(yōu)度較高。其回歸方程為

(4)

Esize=0.153 2x-7.331 8

(5)

以式(5)外推預(yù)測，尺度為48 cm時，尺寸效應(yīng)為0。

4 結(jié) 語

(2)本研究僅為室內(nèi)條件獲取彌散度的應(yīng)用提供導(dǎo)向性方法。從試驗(yàn)本身而言，實(shí)際上，大砂箱尺寸效應(yīng)是客觀存在的，砂箱尺寸效應(yīng)導(dǎo)致彌散度的刻畫相對保守。換而言之，大砂箱的尺度效應(yīng)回歸方程并不嚴(yán)謹(jǐn)?；诖说某叨刃?yīng)、尺寸效應(yīng)及二者關(guān)系的量化表征均并不嚴(yán)謹(jǐn)。加之，試驗(yàn)觀測尺度及觀測孔數(shù)量有限，趨勢分析可認(rèn)為明顯，但嚴(yán)格講，其統(tǒng)計(jì)意義不足，尤其是尺寸效應(yīng)的外推預(yù)測有待驗(yàn)證。尺寸效應(yīng)和尺度效應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生的機(jī)理模型也有待研究。

砂箱試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到了中國地質(zhì)科學(xué)院水文地質(zhì)環(huán)境地質(zhì)研究所陳宗宇研究員的指導(dǎo)與幫助，砂箱彌散試驗(yàn)得到河北地質(zhì)大學(xué)郭躍龍同學(xué)的協(xié)助，在此一并表示感謝。

[第41卷卷終]