基于變換光學的旋轉黑洞模擬

周夢穎，陶思岑，楊福寶，陳煥陽

(廈門大學電子科學與技術學院，福建 廈門 361005)

在計算愛因斯坦引力場方程時，德國天文學家Schwarzschild求得一個真空解，這個真空解能夠證明，當質量非常大的物體坍縮成一點(這一點被稱為“奇點”)后，周圍會產生奇妙的光學現(xiàn)象，即存在一個“視界”，當光線進入這個“視界”范圍時無法逃逸[1].這種物質后來被美國物理學家Wheeler稱作“黑洞”[2].與此同時，我們都知道利用變換光學可以控制光按任意的彎曲路徑傳播，那么能否將兩者結合起來對黑洞周圍光學現(xiàn)象進行模擬呢？

2009年，Narimanov等[3]基于在超構材料中的光傳播設計出一個中心對稱的折射率分布來模擬光學黑洞；同年張翔教授團隊[4]利用特殊折射率分布，對行星動力學進行了模擬；2010年，崔鐵軍教授團隊[5]用超構材料實現(xiàn)了一個全方位電磁吸收體，該吸收體可以捕獲和吸收來自所有方向的電磁波，而不會產生反射，并在微波段實現(xiàn)了電磁黑洞.同年陳煥陽等[6]，通過已知的度規(guī)對應求解相應電磁參數(shù)，從數(shù)值上利用所求得的超構材料模擬了Schwarzschild黑洞周圍的光線行為；2013年，南京大學的祝世寧院士和劉輝教授課題組[7]將50 nm的銀膜沉積在二氧化硅襯底上，用聚焦離子束在銀膜上鉆周期為310 nm的光柵，再將直徑32 μm的微球體組成的粉末加入聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)抗蝕劑與熒光成像混合物中，微球體使PMMA層厚度變換從而導致了一個梯度折射率波導，從而來模擬引力透鏡捕獲光線，實現(xiàn)了對大質量星體附近光線行為的模擬.在上述工作中，大部分均為模擬沒有旋轉效果的黑洞.2017年，來自巴西的Pires等[8]將旋轉器件包裹在一個吸收體外，對旋轉黑洞進行仿真模擬，然而光線在進入旋轉器件后仍然能回到原來的介質中，即如果用旋轉器件模擬黑洞，光線在進入黑洞模擬器件后仍可逃逸，這與已知的黑洞性質有區(qū)別，所以在模擬旋轉黑洞方面，還需引入其他參數(shù)使光線無法逃逸.

本文中將Narimanov等[3]提出的折射率分布和已知參數(shù)的旋轉器件結合起來構成一個新型的旋轉器件，使光線進入該新型旋轉器件之后進行旋轉并無法逃逸.同時將吸收體內置在新型旋轉器件中，共同形成一個旋轉吸收的效果，以此來模擬一個旋轉黑洞周圍的光學現(xiàn)象.

1 新型旋轉器件的設計

如圖1所示，將使光線無法逃逸的折射率分布和使光線旋轉的器件結合起來構成新型旋轉器件.

圖1 新型旋轉器件的概念設計圖Fig.1 Conceptual design of the newly rotation device

Narimarov等模擬黑洞時設計的中心對稱的折射率分布為[3]

(1)

其中,n為折射率，C為常數(shù),r為徑向距離.這樣的折射率分布使得在虛擬空間中沿直線行走的光線在物理空間向圓心部分彎曲前進而不能逃出圓的區(qū)域.

對于旋轉器件，介電常數(shù)和磁導率應滿足表達式[9]

(2)

μzz=1.

將兩者結合可以得到新型旋轉器件的參數(shù)：

(3)

μzz=1.

接下來將式(3)代入到旋轉黑洞中進行數(shù)值模擬.

2 旋轉黑洞模擬器件

旋轉黑洞模擬器件的模型如圖2所示，用上節(jié)設計的新型旋轉器件包裹一個吸收體，達到一個光線被旋轉吸收的效果，以此實現(xiàn)對旋轉黑洞的模擬.

為了邊界的連續(xù)性，對于上節(jié)求得的新型模擬器件的電磁參數(shù)，將其中的常數(shù)C取為R2(如圖2所示)，就得到本案例所需參數(shù).

圖2 旋轉黑洞模擬器件的示意圖Fig.2 Schematic diagram of rotation black hole analogue device

本文中，取定R1(見圖2)與a相同，數(shù)值為2 m，R2與b相同，數(shù)值為4 m，同時選取角度θ0為π/2.內部吸收體的參數(shù)設置為：

ε=4(1-i)，

μ=1.

其中i為虛數(shù)單位.由所選參數(shù)可確定模擬黑洞的線元為：

(4)

接下來對基于變換光學原理設計的旋轉黑洞模擬器件進行數(shù)值仿真模擬，將上述電磁參數(shù)代入數(shù)值仿真軟件COMSOL Multiphysics進行仿真.為了能夠更為清楚地評估設計出的旋轉黑洞模擬器件的性能，使用高斯波作為入射源，在不同位置分別打在模擬器件上，并與單一的旋轉器件模擬的黑洞和單一折射率分布模擬的黑洞進行對比，采用TM模式，得到磁場強度仿真結果如圖3所示.可以看到，圖3(a)中，單一旋轉器件模擬黑洞除了在正入射的情況之外都無法鎖住光線，光線都會發(fā)生逃逸，而圖3(b)中，單一折射率分布能夠成功捕獲光線，卻無法使其進行大幅度旋轉，圖3(c)中，將兩者結合起來的旋轉黑洞模擬器件能夠在捕獲光線的同時使光線旋轉，基本滿足了對旋轉黑洞進行模擬這一設計要求.

圖3 不同位置發(fā)射的高斯波打入3組模擬器件的波動結果Fig.3 Wave results of 3 sets of devices with Gaussian beam originate from different positions

本文中除了在波動光學中模擬了旋轉黑洞的性質，還在幾何光學中進行驗證，通過對光線軌跡的描繪，進一步直觀地展現(xiàn)了旋轉黑洞的效果.

在各向異性介質中，度規(guī)與介質材料具有如下關系式[10]：

(5)

由式(3)可以得到

(6)

其中εzz=1.將式(6)代入式(5)可以得到度規(guī)表達式：

(7)

為了追蹤光線的路徑，應用哈密頓光學作為理論基礎，得到哈密頓方程

(8)

其中，xi代表光線行徑的坐標x或y，ki代表光線的前進方向kx或ky,ω為角頻率.

在各向異性的材料中，色散關系可表示為

(9)

這里及后續(xù)公式均采用愛因斯坦求和約定.根據(jù)式(8)，分別求ω對xi和ki的偏微分，得到

(10)

結合度規(guī)表達式(7)，將式(10)代入科學計算軟件Mathematica中，在給定初始方向的條件下，即可繪出所求的光線軌跡圖.

如圖4所示，將光源發(fā)射位置設置為與高斯波相同的發(fā)射位置，可以得到與之一致的結果.

圖4 不同位置發(fā)射的光線打入3組模擬器件的光線追蹤結果Fig.4 Ray tracing results of 3 sets of devices with light transmitted from different positions

從光線圖中，能夠更直接地看出規(guī)律.圖4(c)中旋轉黑洞結合了圖4(a)和(b)的優(yōu)勢，實現(xiàn)了光線既旋轉又被吸收的現(xiàn)象，說明本設計具有更接近真實黑洞的效果.

3 總結與展望

本研究主要立足于變換光學與天文學的交叉，設計了一個基于變換光學的旋轉黑洞模擬器件.主要是將折射率分布n=c/r和旋轉器件結合起來，計算出了新型旋轉器件所需要的電磁參數(shù);再將其包裹住一個吸收體，把所得的參數(shù)代入數(shù)值模擬軟件COMSOL Multiphysics中進行模擬;同時，利用Mathematica對光線軌跡進行追蹤，從幾何的角度充分直觀地展現(xiàn)了光在黑洞周圍的運行軌跡.從模擬結果中可以發(fā)現(xiàn)，將新型旋轉器件和吸收體結合起來的結構能夠大體上模擬一個旋轉黑洞的工作行為，達到讓光線旋轉進入并吸收的效果.但是本研究并不是針對具體的黑洞來設計參數(shù)，在過程中也產生了一些近似，整個模擬效果和真實黑洞相比還是有一定的差別，且本文中得到的各向異性參數(shù)過于復雜，想要實現(xiàn)十分困難.

所以在未來的研究中，首先可以考慮如何在實驗上實現(xiàn)復雜的電磁參數(shù)，并且本文中目前使用的坐標變換都是空間的坐標變換，而在天文學領域里通常還要加上時間這一變量，如果在計算中做一些時空變換，也許會得到更有趣的結果.