隨機(jī)利率下由Lévy過程驅(qū)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

隨著現(xiàn)代資本市場的不斷發(fā)展，國內(nèi)金融衍生產(chǎn)品市場迎來蓬勃發(fā)展的大時(shí)代。期權(quán)作為全球最為活躍的金融衍生產(chǎn)品之一，是金融產(chǎn)品創(chuàng)新的前沿，與現(xiàn)貨、期貨一同組成穩(wěn)定的金融體系。期權(quán)受市場中利率波動(dòng)的影響，各種利率衍生產(chǎn)品的交易成為期權(quán)定價(jià)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題之一。

對(duì)金融及其衍生產(chǎn)品給出一個(gè)合理的、使市場無套利的定價(jià)是當(dāng)前研究的首要問題。然而在現(xiàn)實(shí)市場中利率不是一個(gè)常數(shù)，它是隨機(jī)變化的。許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了諸多研究：李淑錦[1]利用計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)換的方法研究了隨機(jī)利率服從HJM模型條件下的期權(quán)定價(jià)問題，推導(dǎo)出了期權(quán)定價(jià)公式。劉堅(jiān)等[2]在假設(shè)利率服從Hull-White模型、資產(chǎn)價(jià)格服從O-U過程條件下，利用保險(xiǎn)精算方法給出了期權(quán)定價(jià)的公式。郭精軍等[3]利用對(duì)沖原理構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，求得歐式期權(quán)在隨機(jī)利率模型下滿足的偏微分方程，經(jīng)過變量替換獲得了歐式期權(quán)定價(jià)公式。1973年，Black和Scholes[4]假定股票價(jià)格過程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，提出了經(jīng)典的B-S期權(quán)定價(jià)公式。但這一條件要求過于苛刻，實(shí)際情況中股票的價(jià)格變化并不是完全服從布朗運(yùn)動(dòng)的。1988年，Lo等[5]在B-S公式基礎(chǔ)上提出股票價(jià)格存在“跳躍”的情況。此后越來越多的學(xué)者對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格存在跳躍的情況進(jìn)行研究。黃伯強(qiáng)等[6-7]借助等價(jià)測度變換方法研究由Lévy過程驅(qū)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)問題，推導(dǎo)出了歐式期權(quán)定價(jià)公式。吳恒煜等[8]在此基礎(chǔ)上就無窮維純跳躍Lévy過程的期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行了研究。鮑家勇等[9]利用傅里葉變換方法研究了資產(chǎn)價(jià)格服從隨機(jī)利率下由Lévy過程驅(qū)動(dòng)的歐式期權(quán)定價(jià)。在假設(shè)利率是一個(gè)常數(shù)的條件下，文獻(xiàn)[10]研究了knight不確定環(huán)境下的lévy型金融市場中的期權(quán)定價(jià)問題，并得到了歐式期權(quán)動(dòng)態(tài)模型定價(jià)區(qū)間。然而，在實(shí)際市場中，利率是隨時(shí)變化的，在隨機(jī)利率條件下給出確定性的期權(quán)定價(jià)公式，更能精確地預(yù)測金融市場中資產(chǎn)價(jià)格的變化情況。

本研究在利率隨機(jī)且服從Ho-Lee模型的條件下，借助Lévy-Laplace指數(shù)數(shù)學(xué)工具得到無套利條件下歐式看漲、看跌期權(quán)定價(jià)公式，并與標(biāo)準(zhǔn)的B-S期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行比較，同時(shí)對(duì)股票價(jià)格服從Lévy純跳躍過程的期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行進(jìn)一步研究，利用泊松過程的性質(zhì)得到Lévy-Laplace指數(shù)，建立無套利金融市場下帶跳的歐式期權(quán)定價(jià)模型，得到無套利約束條件下的歐式期權(quán)定價(jià)公式，拓展已有文獻(xiàn)的結(jié)論。

1 基本模型介紹

1.1 股票價(jià)格模型

假設(shè)Lévy過程{Xt}0≤t≤T的Laplace變換E[eλXt]有界，設(shè)0≤t≤T時(shí)刻股票的價(jià)格為S(t)，則標(biāo)的股票價(jià)格過程為：

(1)

其中，μ、σ為常數(shù)，分別表示股票價(jià)格的期望收益率和波動(dòng)率，且假設(shè)σ大于0，Bt是標(biāo)準(zhǔn)的一維布朗運(yùn)動(dòng),S0是初始時(shí)刻股票價(jià)格。

引理1[11](Lévy-Laplace指數(shù))Xt為Lévy過程，對(duì)任意t∈R+,λ∈(-∞,λu],λu≥0,存在一個(gè)函數(shù)Φ:(-∞,λu]→R使得E[eλXt]=etΦ(λ),稱Φ(λ)是Lévy過程Xt的Lévy-Laplace指數(shù)。

1.2 隨機(jī)利率模型

假設(shè)金融市場上的利率是隨機(jī)波動(dòng)的，而金融產(chǎn)品的價(jià)格又受利率隨機(jī)波動(dòng)的影響，基于此，對(duì)市場利率服從Ho-Lee模型的歐式期權(quán)價(jià)格進(jìn)行討論。

Ho-Lee模型的利率隨機(jī)波動(dòng)滿足

dr(t)=θ(t)dt+σrdB(t)。

其中，σr表示市場利率的波動(dòng)率，θ(t)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。特別地，當(dāng)θ(t)=0,r(0)=r時(shí)，上述模型將化為：

(2)

方程(2)所體現(xiàn)的利率瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)只有擴(kuò)散項(xiàng)σrdBt，而沒有漂移項(xiàng)，這說明了利率只是圍繞某一固定的常數(shù)值隨機(jī)波動(dòng)，本身并沒有穩(wěn)定移動(dòng)的趨勢，初始值為r。這種利率模型在金融市場上有一定的市場解釋(文獻(xiàn)[11]曾利用該模型研究遠(yuǎn)期的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)研究)。在此模型基礎(chǔ)上，研究期權(quán)定價(jià)問題，該利率模型的解析形式為：

(3)

2 隨機(jī)利率環(huán)境下的期權(quán)定價(jià)

且由引理1可得

定理2在定理1條件下，利率隨機(jī)且運(yùn)動(dòng)方程滿足公式(2)時(shí)，歐式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式分別為：

(4)

(5)

其中，Ct、Pt分別表示到期日t時(shí)刻看漲期權(quán)以及看跌期權(quán)的價(jià)格，K表示敲定價(jià)格，σ、σr分別表示金融市場上股票價(jià)格和市場利率的波動(dòng)率。

證明：在定理1條件下，歐式看漲期權(quán)

由上述定理可知，若不考慮隨機(jī)利率的影響，由標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的標(biāo)的股票價(jià)格過程的歐式看漲、看跌期權(quán)定價(jià)公式分別為

(6)

(7)

則利率隨機(jī)服從Ho-Lee模型下標(biāo)的股票價(jià)格過程由Lévy驅(qū)動(dòng)的歐式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式可分別記為：

(8)

(9)

由上可知，Ho-Lee模型下由Lévy過程驅(qū)動(dòng)的股票價(jià)格的期權(quán)定價(jià)公式在形式上與傳統(tǒng)的B-S期權(quán)定價(jià)公式一致，可看作是對(duì)B-S公式的推廣。

3 Ho-Lee模型下Lévy純跳驅(qū)動(dòng)下的期權(quán)定價(jià)

1)N(0)=0；

2)N(t)是獨(dú)立增量過程；

且V={Vi}i∈N+，Vi表示第i次跳躍的幅度，并且它是獨(dú)立同分布的躍度隨機(jī)變量，且滿足下列條件：

1)V0=1,Vi∈(-1,+∞);

2)對(duì)任意的v∈(-∞,1)，有E[(1+V)v]<∞。

Ft是由{Bt}0≤t≤T,{Nt}0≤t≤T和{Vi}i∈N+共同生成的σ-域流，三者彼此獨(dú)立。此時(shí)股票價(jià)格過程為：

(10)

由Possion過程的性質(zhì)可得到：

定理3在無套利約束條件下，股票價(jià)格過程(10)的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為：

(11)

其中，

假設(shè)躍度Vi=h≠0(i=1,2,…)。

(12)

因此

從而:

(13)

則由ST>K,計(jì)算公式(13)括號(hào)中的表達(dá)式。即

可得期權(quán)價(jià)格

(14)

把上述積分分成兩部分：

(15)

第一項(xiàng)

(16)

記

將式(15)、(16)代入式(14)可得看漲期權(quán)的定價(jià)公式

4 小結(jié)

在金融市場中，期權(quán)的價(jià)格不僅受標(biāo)的價(jià)格變動(dòng)的影響，而且與利率的波動(dòng)密切相關(guān)。利率是決定所有金融衍生產(chǎn)品價(jià)格的一個(gè)重要因素，考慮了利率的隨機(jī)性對(duì)股票價(jià)格的影響，將利率服從Ho-Lee模型和標(biāo)的資產(chǎn)服從Lévy驅(qū)動(dòng)的過程結(jié)合在一起，建立了新的隨機(jī)微分方程，使得股票定價(jià)更加貼合實(shí)際。利用Lévy-Laplace指數(shù)研究了歐式期權(quán)定價(jià)問題，研究了在股票價(jià)格存在連續(xù)跳躍的情況下，借助Poisson過程和Lévy-Laplace指數(shù)數(shù)學(xué)工具得到了無套利金融市場下歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式。本研究進(jìn)一步豐富和拓展了文獻(xiàn)[4]中的期權(quán)定價(jià)理論，結(jié)論可進(jìn)一步拓展到其他類型期權(quán)的定價(jià)研究中。