胡塞爾論形式算術(shù)的算法

李義民12

(1. 莆田學院 馬克思主義學院，福建 莆田 351100； 2. 九江學院 社會系統(tǒng)學研究中心，江西 九江 332005)

胡塞爾在1891年出版的《算術(shù)哲學》第一卷(PhilosophiederArithmetik，以下簡稱“PA”)中提出了兩個關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的哲學方案：即分析作為數(shù)的科學(即數(shù)論)和分析作為一種形式工藝論(或形式邏輯的分支)。從總體上看，這本著作試圖運用描述心理學的方法，通過分析心理行為來澄清數(shù)學及其演繹方法的終極起源和根本意義。

受著名數(shù)學家魏爾斯特拉斯的影響，胡塞爾最初認為，全部數(shù)學的本源和根本意義就是基數(shù)概念。由于人類心理能力的局限性和數(shù)學概念系統(tǒng)的復(fù)雜性，胡塞爾發(fā)現(xiàn)數(shù)學演繹的基底(Substrat)不是概念而是符號，基數(shù)概念不能為普遍算術(shù)(arithmeticauniversalis)(1)胡塞爾早期交替使用的arithmetica universalis和allgemeinen Arithmetik都可以譯為普遍算術(shù)，后者也可以譯為一般算術(shù)。二者都是指以微積分為核心的全部數(shù)學的整體，主要包括數(shù)學分析、函數(shù)論等。按胡塞爾的第一種方案，一般算術(shù)的基礎(chǔ)和本質(zhì)就是基數(shù)概念；而按照第二方案，一般算術(shù)的實質(zhì)是邏輯規(guī)則支配的符號技術(shù)或算法，胡塞爾進而把符號算法設(shè)想為一種更高階的邏輯結(jié)構(gòu)。胡塞爾也曾提及“形式數(shù)學”這個術(shù)語，它的基本含義在于其符號的純形式特征，這些符號可以被解釋為具體的數(shù)學概念或量。首先，在胡塞爾那里，通常的初級算術(shù)已經(jīng)是形式算術(shù)或形式數(shù)學，它的基礎(chǔ)就是本文闡述的第一種算法；胡塞爾認為第二種算法是更高級的形式數(shù)學，并在1901年最終把它描述為自萊布尼茨以來的普遍數(shù)學的理想。奠基。胡塞爾由此認為，數(shù)學是基于符號及其規(guī)則的系統(tǒng)性構(gòu)造，所以一般算術(shù)不是科學(Wissenschaft)，而是算法性的邏輯技術(shù)。這樣，胡塞爾在PA中經(jīng)歷了從研究基數(shù)概念的心理起源向研究符號數(shù)學的邏輯起源的重大轉(zhuǎn)向。

一、符號數(shù)學的基本根據(jù)

胡塞爾的第一個方案是：通過描述心理學先徹底澄清基數(shù)概念，然后逐步澄清其他各個層級的概念，使整個數(shù)學大廈作為概念系統(tǒng)和相應(yīng)的命題系統(tǒng)穩(wěn)固地建立在基數(shù)概念的基礎(chǔ)上。在這個方案中，布倫塔諾關(guān)于本真表象(eigentliche Vorstellung)和非本真表象(uneigentliche Vorstellung)的區(qū)分具有決定性地位。本真表象可以把握到數(shù)本身，即某數(shù)包含的單位以及這些單位的多少。魏拉德最早明確指出，胡塞爾早期說的“數(shù)的表象”就是“數(shù)的概念”和數(shù)自身。[1]30-36如果不能本真地把握數(shù)概念，就只能是符號性的把握。非本真表象也稱符號表象，符號表象是對無歧義地描述對象的符號的表象，例如數(shù)的圖形因素(figuralen Momente)如“堆”“群”等，所以符號表象不能把握具體的“多少”。對基數(shù)而言，非本真表象的局限性是非常致命的。但受布倫塔諾的影響，胡塞爾最初認為數(shù)的本真表象和非本真表象在邏輯上是等價的，即盡管表象方式不同，但數(shù)(如7)所包含的單位的“多少”作為邏輯等價物是確定的。由此似乎可以克服數(shù)的符號表象的局限性。

隨著研究的深入，胡塞爾發(fā)現(xiàn)第一方案是不可能的。他在1890年2月給施通普夫的信中說，“在考慮教職論文中仍然指導(dǎo)我的觀點——基數(shù)概念構(gòu)成一般算術(shù)的基礎(chǔ)——很快被證明是錯的，對基數(shù)的分析已經(jīng)使我清楚了這一點。無論用什么巧妙的方法，無論什么非本真的表象，都不能從基數(shù)概念中得出負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)和各種復(fù)數(shù)。序數(shù)概念、量的概念等同樣如此?！盵2]245這里明確指出了基數(shù)基礎(chǔ)方案的雙重失敗，一是在分析基數(shù)概念時，二是分析其他概念。

研究者們長期以來只注意到第二個失敗，即不能以任何可能的表象從基數(shù)概念得到其他概念。這個原因的實質(zhì)是不能實現(xiàn)概念間的內(nèi)涵過渡，過渡的中介是表象。胡塞爾始終堅定地認為數(shù)概念的根本含義是基數(shù)，即一個量或集合的“多少”。由于數(shù)的基數(shù)意義不可動搖，所以分數(shù)、無理數(shù)、負數(shù)等概念只能是毫無意義的悖謬，都是“不可能的”概念，它們都不可能過渡到基數(shù)概念。胡塞爾由此認為，全部數(shù)學完全沒有共同的概念基礎(chǔ)，基數(shù)、序數(shù)等任何概念都不能為普遍數(shù)學奠基。隨后的問題是，“思維運用矛盾概念的運算怎么可能得到正確的定理”？這促使胡塞爾考慮形式算術(shù)和符號學，并且認為普遍數(shù)學“不是概念可能或不可能的問題”，而是“符號及其規(guī)則的成就”。形式數(shù)學的優(yōu)勢表現(xiàn)為，僅僅“通過計算本身及其(如為那些虛構(gòu)數(shù)所規(guī)定的)規(guī)則”使概念的不可能性消失，并使真正的等式保留下來。[2]247-248

但第一個失敗對胡塞爾的轉(zhuǎn)向更具實質(zhì)影響，由于它在PA中表現(xiàn)晦澀，直到最近才由霍普金斯在《符號數(shù)學的邏輯起源》[3]中被細致闡明。

人類的表象能力高度有限，這不僅是一個實驗心理學的事實，也是一個重大的現(xiàn)象學事實，它使得任何整體總是只能作為必要且潛在的背景影響著認識的方式和效能。就數(shù)學而言，“如果我們擁有所有數(shù)的本真表象，……就會沒有算術(shù)，因為它會是完全多余的”。[4]191胡塞爾最初認為由本真表象獲得的本真數(shù)不超過3，后來認為不超過12，對此他未作過多討論。但本真數(shù)肯定是非常有限的，現(xiàn)試以12為其上限，在本真數(shù)之外，通過觀念化可以獲得任何其他基數(shù)的符號概念并最終獲得無窮觀念。按照觀念化方法，完全可以想象12加1，并且它必定會產(chǎn)生一個新數(shù)即13，它是13個單位的綜合統(tǒng)一；同樣地，還可以逐次獲得14、15等其他的數(shù)。由于人類有限的心理能力在一個行為之中至多只能綜合12個單位，所以觀念化方法產(chǎn)生的數(shù)都是數(shù)的符號概念，即非本真的數(shù)概念。由于數(shù)的本真表象和符號表象邏輯等價，所以胡塞爾最初認為算術(shù)運算是在操作概念，并試圖以基數(shù)概念為數(shù)學奠基。但在他研究符號表象時，很快發(fā)現(xiàn)這是不可能的。以7+6=13為例，這個運算所操作的不是概念而是符號。因為數(shù)必須是且只能是若干單位組成的多，但13這個多恰恰不能作為本真概念被給予，所以決定“7+6”這個結(jié)果的，不可能是概念，只能是符號和符號邏輯。顯而易見，對于47+19=66這樣的運算更是如此。

基于以上原因，胡塞爾放棄了普遍算術(shù)的概念基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)而訴諸其符號邏輯基礎(chǔ)。胡塞爾由此認為，數(shù)學家們認為算術(shù)是在運作概念，這個普遍流行的偏見歪曲了算術(shù)的意義和本質(zhì)。[4]262由于算術(shù)沒有運作概念，所以它不是科學而是符號技術(shù)。[2]248現(xiàn)代學者承認這是胡塞爾早期哲學的一個關(guān)鍵轉(zhuǎn)變。因為人類的本真知識非常有限，而非本真的符號知識幾乎是無限的，怎樣從本真知識擴展到符號知識的領(lǐng)域并保證后者的可靠性，這是胡塞爾現(xiàn)象學的重要主題之一。由此可見數(shù)學對胡塞爾哲學的深遠影響。

二、符號數(shù)與計算概念

由于上述原因，胡塞爾的PA文本在三種不同的意義上使用數(shù)概念。①是指自然數(shù)列系統(tǒng)，也就是數(shù)概念或數(shù)本身，胡塞爾早期顯然是數(shù)學實在論者；②是符號的數(shù)概念系統(tǒng)，出自于非本真表象或觀念化；③是單純的符號系統(tǒng)，即數(shù)符或數(shù)字系統(tǒng)。以3為例，它可以是數(shù)3這個概念即3本身，也可以是3這個數(shù)的符號概念，還可以是毫無意義的感性記號。這個區(qū)分對于理解胡塞爾所揭示的算術(shù)的根基和本義至關(guān)重要。這里，①和②都是概念性的，②和③都是符號性的，但②不是①與③的中介。[5]39胡塞爾認為①和②嚴格平行或?qū)?yīng)，即一個符號概念如“13”至少潛在地命名了或?qū)?yīng)于相應(yīng)的數(shù)概念，這時胡塞爾基本上不再考慮數(shù)的本真概念與符號概念間的等價關(guān)系。②和③雖然都是符號，但前者是概念的符號相關(guān)項，后者則是②的符號代表(Repr?sentant)，是②的記號性(signitiv)符號表達。

③的邏輯地位復(fù)雜而有趣。胡塞爾最初把它理解為概念的附屬物(Begleiter)，類似于日常語言中的通名。由于胡塞爾最終發(fā)現(xiàn)算術(shù)實際上是符號性的，即在真實的計算過程中決定性的要素不是基數(shù)概念而是符號及其規(guī)則，所以胡塞爾認為③不是通名從而不能指稱概念，也不能命名數(shù)概念，③僅僅是數(shù)的符號概念的感性代表，是外在記號。作為記號，“13”與“我”“太陽”等符號一樣與數(shù)本身顯然毫無實質(zhì)關(guān)聯(lián)。在胡塞爾看來，數(shù)符之所以能夠代表并被解釋為數(shù)的符號概念，一是數(shù)符的感性差別構(gòu)成了該解釋的感性基礎(chǔ)，二是取決于數(shù)符的系統(tǒng)性構(gòu)造從而能夠?qū)崿F(xiàn)與數(shù)系的某種關(guān)聯(lián)，三是與這種構(gòu)造相關(guān)的邏輯規(guī)則構(gòu)成了符號算術(shù)的邏輯基礎(chǔ)；反之，也正是這些規(guī)則支配著把某數(shù)符解釋為相應(yīng)的數(shù)。

總之，由于數(shù)的符號概念所對應(yīng)的數(shù)不可能被本真給予，數(shù)系和算術(shù)只能借助于符號及其規(guī)則而被系統(tǒng)地構(gòu)造出來。這使胡塞爾認識到，感性符號“以遠遠比我們所確認的更驚人的方式參與了我們的符號構(gòu)造。實際上，(參與得)如此之多，以至于它們最終決定了幾乎整個領(lǐng)域。事實上，數(shù)的概念系統(tǒng)與數(shù)的符號系統(tǒng)間的嚴格平行使得，把符號系列的系統(tǒng)性延伸視為(非本真地被表象的)概念系列的系統(tǒng)性延伸的代表，成為可能?！盵4]241簡言之，這種嚴格的代表關(guān)系使符號構(gòu)造得以可能并取得了驚人的數(shù)學成就。

與此相應(yīng)，胡塞爾的算術(shù)概念也從關(guān)于數(shù)的科學進展到關(guān)于數(shù)與數(shù)的關(guān)系的符號計算技術(shù)，這時計算概念和計算技術(shù)是關(guān)鍵。就算術(shù)而言，符號構(gòu)造(含數(shù)系構(gòu)造)就是計算。對符號算術(shù)的邏輯起源的研究，其任務(wù)是建立一種“普遍的運算理論”，即關(guān)于計算和計算技術(shù)的理論。[3]110-111因為計算技術(shù)幾乎總是局限于數(shù)的符號表象，胡塞爾首先把計算概念描述為“從給定的數(shù)開始推演出所求之數(shù)的任何方式”，然后更抽象地描述為“任何從數(shù)到數(shù)的符號推演，它實質(zhì)上奠基于由規(guī)則支配的、運用感性符號的操作”。[4]257-258這里符號是工具性的，數(shù)概念仍然具有某種基底性。顯然，這個定義也不能體現(xiàn)普遍算術(shù)的符號本質(zhì)。胡塞爾最終把“為算術(shù)奠基并構(gòu)成其方法論的技術(shù)方面”的計算概念規(guī)定為：“在任何算法的符號系統(tǒng)內(nèi)，任何由規(guī)則支配的、從符號到符號的推演方式，它遵循該系統(tǒng)特有的聯(lián)結(jié)、分離和變換定律(或更確切地說：約定)?！盵4]258

胡塞爾在PA中提出了兩種算法，其一是試圖把全部算術(shù)構(gòu)造成一個融貫的符號邏輯系統(tǒng)，其二是各種不同數(shù)學的概念系統(tǒng)所共有的更深層次的結(jié)構(gòu)形式。第一種算法在PA的最后一章得到詳細闡述；第二種算法僅在PA中被提及，并預(yù)言將在PA的第二卷中專門研究，但PA第二卷最終流產(chǎn)。不過胡塞爾對這種算法進行了長期思考，并最后促成他在1901年提出了第三個數(shù)學哲學方案，即分析的實質(zhì)是流行論(Mannigfaltigkeitslehre)。第一種算法明顯與基數(shù)基礎(chǔ)方案的第一個失敗相關(guān)，即基數(shù)概念不僅不能為數(shù)學奠基，甚至也不能單獨為日常算術(shù)提供邏輯基礎(chǔ)；第二種算法則試圖揭示以相同的邏輯結(jié)構(gòu)統(tǒng)一基數(shù)理論、實數(shù)理論等不同的數(shù)學分支。本文隨后將集中考察第一種算法。

三、數(shù)系重構(gòu)和句法還原

如上所述，新數(shù)學哲學方案中，數(shù)系構(gòu)造是首務(wù)，計算是核心。需要注意的是，如同岑特若尼(Centrone)所言，胡塞爾重構(gòu)數(shù)系不是要去建立另一種新算術(shù)，而是為了給算術(shù)奠基。[5]40具體說來，就是先構(gòu)造數(shù)的符號系統(tǒng)來代表數(shù)的符號概念系統(tǒng)，從而擴展有限的本真數(shù)域(即涵蓋從2到12的這些數(shù))，并通過算法保證數(shù)的符號知識的可靠性。這種構(gòu)造不是在為數(shù)命名，而似乎是要以某種平行或?qū)?yīng)的方式通達類似于柏拉圖主義的數(shù)學對象和數(shù)學真理的世界。所以“按照概念，它包含了整個數(shù)域，也就是說，沒有一個實際的數(shù)不對應(yīng)于一個完全確定的系統(tǒng)構(gòu)造物，該構(gòu)造物作為數(shù)的符號相關(guān)項等價于數(shù)?！盵4]233在這里，邏輯構(gòu)造是通達柏拉圖式數(shù)理世界的關(guān)鍵要素。

這個構(gòu)造的基本原則是使用盡可能少的初始概念和運算規(guī)則。簡明性是算術(shù)的基本特征，也是首要的構(gòu)造原則。

胡塞爾認為構(gòu)造的基礎(chǔ)“1, 2, …, X”應(yīng)當是本真被給予的數(shù)，故X作為基底數(shù)(Grundzahl) 不超過12。由此可以產(chǎn)生新的序列：

X + 1, X + 2, …, X + X,

X + X + 1, X + X + 2, …, X + X + X,

……

出于簡便的目的，胡塞爾引入了乘法和乘方的符號表達，相應(yīng)地有：

2X, 3X, 4X, …

X2, X3, X4, …

最后胡塞爾利用本真數(shù)、乘和冪概念，構(gòu)造出一個可以表達任何自然數(shù)的函數(shù)：

{a0, a1X, a2X2, … , anXn}，其中0≤a

由此產(chǎn)生的系統(tǒng)與自然數(shù)列完全重合，但優(yōu)勢在于能夠表達數(shù)域的整體。這個構(gòu)造實際是運用了逐次加1的方法，其實就是純形式的后繼運算。這個方法的優(yōu)點是能夠按照數(shù)符在系統(tǒng)中的位置來確定數(shù)的大小(<)關(guān)系，并對應(yīng)于數(shù)本身的“多少”關(guān)系，因為符號數(shù)不能把握“多少”。它的缺點是不能解答系統(tǒng)內(nèi)像10+5和4×7等這些構(gòu)造形式，所以需要進一步構(gòu)造算法。胡塞爾因此進一步把數(shù)符區(qū)分為非系統(tǒng)的數(shù)和數(shù)的標準形式兩類。以49+17=66為例，“49+17”是非系統(tǒng)的數(shù)，66是相應(yīng)數(shù)的標準形式，數(shù)的標準形式也就是系統(tǒng)性的數(shù)。形式算法的實質(zhì)是按照既定規(guī)則把非系統(tǒng)的數(shù)還原為數(shù)的標準形式，并按照上述符號與數(shù)概念的代表關(guān)系，最后把符號66解釋為相應(yīng)的數(shù)66。

胡塞爾的算法其實是代數(shù)性質(zhì)的，所以他的計算可以更一般地描述為a+b=c。他在1891年的論文《論運算概念》中引入“結(jié)合(Verknüpfung)”概念，并把“+”解釋為“結(jié)合”，即加、減、乘、除、開方等任何可能的運算。[4]408-429“結(jié)合”既被解釋成對a與b進行的運算，也是指該運算的結(jié)果“a+b”即c。引入結(jié)合概念，以便解釋符號組合“a+b”是數(shù)的非系統(tǒng)性形式。顯然，其中的a或b可以是個別的數(shù)，也可能是“m+n”這種組合，同樣地，m或n也可以是“p+q”這個結(jié)合；如此類推，以致無窮。這意味著形式算術(shù)是在研究系統(tǒng)內(nèi)任何符號與其他所有符號的任何可能的復(fù)合關(guān)系。

運算最終被胡塞爾描述為：“某種產(chǎn)生對象的東西存在于運算概念之中。某種活動把自身指向給定的對象并產(chǎn)生一個新對象?！匾氖虑槭牵哼\算是對被給定對象的概念變換方式，由此新事物產(chǎn)生了，這種事物是——由于該變換我也能視其為被給予的。”[4]428與此相關(guān)，胡塞爾把算法描述為：符號變換是“以完全外在和機械的方式”和“按照游戲規(guī)則的方式”進行的。胡塞爾認為它是一種單純的符號產(chǎn)生機制(Mechanismus)，能夠自動產(chǎn)生唯一一個標準形式的數(shù)符。賀蒂茉(Hartimo)認為這種句法還原的思想是現(xiàn)代計算機科學中項重寫理論的先驅(qū)。[6]

結(jié)合胡塞爾后來在《邏輯研究》和《形式邏輯和先驗邏輯》中的論述，米勒(Miller)認為，按照這種算法概念，在符號系統(tǒng)內(nèi)，數(shù)符和各種運算符自身都沒有指稱但擁有意義。即任何數(shù)符的意義在于無限多的與其等值的非系統(tǒng)數(shù)的整體，運算符的意義同樣由算法內(nèi)部基于規(guī)則的不同數(shù)符所組合成的等式的整體決定。[7]113-115例如在某特定系統(tǒng)內(nèi)，如果a+b=c中算符是加號，那么在a+b=p時該算符必定不是加號了。

四、運算的分類

運算的分類就是考察以上數(shù)符結(jié)合的不同形式，因而是算法研究的深入和展開，其目標是把符號系統(tǒng)構(gòu)造成一類胡塞爾所稱的“所有可以設(shè)想的算術(shù)運算的整體”。具體而言，該研究需要對任何可能的構(gòu)造方法進行分類，并“為每一種類型找到可靠且盡可能簡單的實施還原的方法”。岑特若尼認為胡塞爾的運算類外延上等價于現(xiàn)代邏輯中的“部分遞歸函數(shù)”的類。[8]胡塞爾的策略是先考察四則運算，即加、乘、減和除，然后研究由這些基本運算產(chǎn)生新運算的方法，同時證明這些方法的可計算性。

(一)四則運算

1.在以X為基底的符號系統(tǒng)中，通過運用通常的逐列相加法，加法被還原為一系列的加法，即a+b表現(xiàn)為：

(a0+a1X+a2X2+…)+(b0+b1X+b2X2+…)

=(a0+b0)+(a1+b1)X+(a2+b2)X2+…

胡塞爾指出該運算結(jié)果是“唯一被決定的”，即具有唯一性，因此加法是可計算的。

2.乘、減和除的運算與加法形式上有些相似。就每一列的計算而言，加使用了加法口訣表，乘使用了乘法口訣表；胡塞爾把除法口訣表設(shè)想為除數(shù)是以X為基底的個位數(shù)，被除數(shù)則是以X為基的兩位數(shù)。另外，減和除不是全運算，只考慮其部分運算。

3.胡塞爾認為就概念運算而言乘法不是一種新運算，但就形式運算而言則是新的。因為c是二元函數(shù)a×b所決定的唯一結(jié)果。不過應(yīng)當注意，把“a×1, a×2, a×3, …”分別定義為“a, a+a, a+a+a, …”是正確的；但是把a×b定義為“a+a+a+…b次”是不合法的，它不是純形式的定義，因為其中的b是概念性質(zhì)的。冪運算也存在類似的情況。

(二)新型運算

在四則運算基礎(chǔ)上，胡塞爾把產(chǎn)生數(shù)的新方法區(qū)分為高階運算、組合運算和方程的方法三類。

1.高階運算。按照一些運算的雙重關(guān)系，可以產(chǎn)生無限上升的運算序列。例如，通過數(shù)出相同加數(shù)重復(fù)的次數(shù)可以產(chǎn)生乘法，數(shù)出相同因數(shù)重復(fù)的次數(shù)產(chǎn)生冪運算，“我們以同樣的方法繼續(xù)：通過數(shù)出一個數(shù)的冪重復(fù)的次數(shù)，可以產(chǎn)生一種新的符號數(shù)的描述類型，即升階(Elevation)；通過數(shù)出升階的重復(fù)，又是一種新的；如此這樣以至無窮?！盵4]277這類運算序列顯然都是二元全運算。

2.組合運算。如“一個數(shù)乘以一個和，一個積除以一個和，一個商的冪等等”，雖然復(fù)雜，甚至還可以更復(fù)雜，但是也可以簡化并構(gòu)造出其基本形式。胡塞爾的基本思考是把幾個運算結(jié)合在一起構(gòu)成一個統(tǒng)一的“計算機制”，但同樣必須以“純粹機械的運算取代實際思維”，把復(fù)雜的符號構(gòu)造還原成數(shù)的標準形式。按照這個思路，岑特若尼構(gòu)造了一個復(fù)合運算的一般形式：f(g(x))，它是函數(shù)f和一元函數(shù)g的組合。[8]220

目前所討論的運算都是關(guān)于數(shù)的直接規(guī)定，即由給定的數(shù)或給定運算的“復(fù)合”而產(chǎn)生的新的系統(tǒng)數(shù)，也就是數(shù)的標準形式。在PA的最后一節(jié)，胡塞爾研究了通過方程來間接地描述數(shù)。

3.方程。雖然一個方程可以確定一個數(shù)，但胡塞爾認為，“一個數(shù)由方程系統(tǒng)規(guī)定，不由單一方程規(guī)定?！边@顯然是出于系統(tǒng)的整體性和完善性的考慮。胡塞爾的主要思路是：“方程和方程系統(tǒng)是數(shù)的間接描述的一般化，該間接描述通過逆運算獲得?！盵4]281具體說來，如果一個未知數(shù)x可以由以下構(gòu)造系列決定：

a+b, a×b, ab, 等等

那么通過逆運算同樣可以產(chǎn)生決定該未知數(shù)x的方程系列：

a+x=b, a×x=b, ax=b,xa=b，等等

當然，胡塞爾也考察了更復(fù)雜的方程，在此從略。至此胡塞爾結(jié)束了他的算法構(gòu)造工作。似乎毋庸贅言的是，胡塞爾的這個算法僅僅考慮自然數(shù)系統(tǒng)，他認為分數(shù)、虛數(shù)等都不是數(shù)，所以數(shù)域不能被擴展，擴展的只是計算技術(shù)。[2]42-43

胡塞爾最后指出，一般算法的方法就是普遍的運算理論。當代學者一般認為，胡塞爾的邏輯是一種理性演算(calculusratiocinator)，而弗雷格的邏輯則是普遍語言(linguacharacteristica)。按照岑特若尼的研究，胡塞爾是第一個主張算術(shù)運算的算法意義的學者。其中，胡塞爾最原創(chuàng)的思想是界定所有可能的運算的整體，把任何有意義的符號組合還原為既定的標準形式，并由此揭示算術(shù)形式系統(tǒng)的一致性。

五、述評

在PA中胡塞爾沒有給出算法概念的明確規(guī)定，我們可以把他的算法大致理解為由邏輯規(guī)則支配的、系統(tǒng)性的符號推理技術(shù)。另外，胡塞爾也沒有明確指出該系統(tǒng)具體的邏輯規(guī)則，這有可能是因為胡塞爾會認為它是作為技術(shù)專家的數(shù)學家和邏輯學家的工作，而哲學家的工作是反思邏輯數(shù)學的哲學意義。由于這些規(guī)則對于更深入地認識數(shù)學的哲學基礎(chǔ)非常重要，似乎也可以認為胡塞爾這時還無力把握這些規(guī)則。

以上述的加法運算為例，它必須是以加法結(jié)合律為前提的。很明顯，胡塞爾所研究的各種運算，它們的基本邏輯前提是運算的結(jié)合律、交換律和分配律。尤其需要注意的是，運算定律在傳統(tǒng)算術(shù)中似乎應(yīng)該由數(shù)概念保證并由此是自明的，例如3+2=2+3及其中實際的數(shù)5；但在符號運算過程中，如a+b=b+a等這些形式化的運算定律，它們的根據(jù)是什么呢？在胡塞爾之前，數(shù)學家漢克爾在構(gòu)造形式數(shù)學時提出了著名的“形式定律的永恒性原則”，這里的形式定律就是指這些形式化了的運算定律。胡塞爾高度贊賞該原則，而且至遲在1887年就已經(jīng)在反思其邏輯基礎(chǔ)。[4]339賀蒂茉認為，胡塞爾構(gòu)造的算法實際上是對該永恒性原則的澄清。[6]也就是說，正如傳統(tǒng)數(shù)學中加法交換律保證了3+2=2+3且后者反過來例證了前者，運算的形式定律能夠保證符號算術(shù)中相應(yīng)運算的可靠性，同時，非系統(tǒng)數(shù)符的可還原性也反過來保證了還原運算過程中所運用的形式定律永恒可靠。按照胡塞爾后來在《形式邏輯和先驗邏輯》中的反思，這顯然只是一個初步的澄清。

至此為止，我們的全部陳述都是胡塞爾所試圖揭示的一般算術(shù)的深層起源和根本意義。盡管胡塞爾的第一方案失敗了，但它所澄清的數(shù)系的三重含義無疑是第二方案的基本前提。數(shù)概念或數(shù)自身雖然完全不參與符號系統(tǒng)的構(gòu)造，但在胡塞爾的這種算術(shù)中，它們對符號系統(tǒng)仍然具有某種微妙的基礎(chǔ)地位，從而數(shù)的概念系統(tǒng)與記號系統(tǒng)的關(guān)系需要進一步反思。此外，如果算術(shù)實際上是對本真數(shù)域進行符號與算法擴展的結(jié)果，那么分數(shù)、負數(shù)和無理數(shù)等虛構(gòu)數(shù)似乎是對符號算術(shù)的某種進一步的符號擴展，那么余下的工作似乎就應(yīng)當是考察該擴展的基本性質(zhì)和邏輯基礎(chǔ)，這是我們研究胡塞爾的數(shù)學哲學下一步即將進行的工作。

胡塞爾在PA中的很多分析和觀點意味深長。例如，胡塞爾對基數(shù)概念的描述心理學的分析和相關(guān)結(jié)論，以及“如果一切數(shù)都能夠被本真表象就不會有算術(shù)”的觀點等等，常常讓人覺得意猶未盡?？梢哉f，胡塞爾的研究為我們提示了一個個緊密相關(guān)的問題域。因此，盡管PA只是胡塞爾早期不太成熟的著作，但非常值得我們從很多不同的角度進行研究。不過，想要進一步展開胡塞爾的思想，難度很大。在此方面，一個比較成功的案例是由克萊因(Jacob Klein)開啟的?？巳R因受胡塞爾影響，創(chuàng)作了其名著《希臘數(shù)學思想和代數(shù)的起源》?？巳R因認為胡塞爾的研究“實際上相當于是對——自從韋塔和笛卡爾為現(xiàn)代科學鋪平道路以來發(fā)生在數(shù)學(和哲學)中的——‘形式化’的再現(xiàn)和精確描述”?；羝战鹚沟热苏J為，胡塞爾在PA中的“再現(xiàn)和精確描述”是“先天分析”性質(zhì)的，而克萊因則是對該“形式化”過程的思想史研究。[3]99-148在此基礎(chǔ)上，霍普金斯的《符號數(shù)學的邏輯起源》在研究數(shù)學史和胡塞爾的數(shù)學哲學等方面取得了更多令人矚目的新成果。