空間和規(guī)模分布差異的組間不均衡指數(shù)

陳彥光

空間和規(guī)模分布差異的組間不均衡指數(shù)

陳彥光

北京大學(xué)城市與環(huán)境學(xué)院城市與經(jīng)濟(jì)地理系, 北京 100871; E-mail: chenyg@pku.edu.cn

構(gòu)造組間相對(duì)不均衡指數(shù), 用來(lái)描述一個(gè)地理系統(tǒng)相對(duì)于另一個(gè)地理系統(tǒng)發(fā)展的不平衡關(guān)系, 或一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部的一個(gè)指標(biāo)相對(duì)于另一個(gè)指標(biāo)的不均衡關(guān)系。首先改變常規(guī)組內(nèi)不均衡指數(shù)(即基于 Lorenz 曲線的Gini 系數(shù))的數(shù)學(xué)表達(dá)式, 然后利用新的表達(dá)式, 將組內(nèi)不均衡指數(shù)推廣到組間不均衡指數(shù)表達(dá)式。在應(yīng)用過程中, 兩種不均衡指數(shù)可以集成到同一個(gè)邏輯框架。以京津冀、長(zhǎng)江三角洲和珠江三角洲的城市體系為實(shí)證對(duì)象, 借助新的公式計(jì)算組內(nèi)和組間不均衡指數(shù), 揭示城市系統(tǒng)的時(shí)空演化特征。

Gini系數(shù); 不均衡指數(shù); 京津冀; 長(zhǎng)江三角洲; 珠江三角洲; 城市體系

地理系統(tǒng)有兩個(gè)顯著的性質(zhì), 一是空間差異性, 二是空間依存性?？臻g差異性的相關(guān)概念是空間異質(zhì)性, 空間依存性則反映地理現(xiàn)象的空間關(guān)聯(lián)[1-2]。前者也稱為區(qū)域差異性, 是地理學(xué)的傳統(tǒng)主題; 后者涉及地理空間的長(zhǎng)程作用, 與地理學(xué)第一定律有關(guān)[3]。地理學(xué)家基于空間依存性, 發(fā)展了空間自相關(guān)[4-5]和空間相互作用理論[4,6-7]; 基于空間差異性, 發(fā)展了局部空間自相關(guān)測(cè)度[1]和空間加權(quán)回歸[8]等分析方法。然而, 在很多情況下, 地理研究?jī)H僅需要簡(jiǎn)單的度量指數(shù), 用來(lái)描述空間依存性或者區(qū)域差異性?？臻g依存性可以采用 Moran 指數(shù)之類的空間統(tǒng)計(jì)學(xué)測(cè)度, 空間差異性則采用不均衡指數(shù)、最鄰近指數(shù)和基于空間熵的冗余指數(shù)等方法度量。區(qū)域差異性與地域不均衡性有關(guān), 但又存在區(qū)別[9]。盡管如此, 在空間測(cè)度方面, 區(qū)域差異和空間不平衡可以采用類似的指數(shù)來(lái)描述其特征。一個(gè)簡(jiǎn)單的測(cè)度就是從 Gini 系數(shù)衍生出的不均衡指數(shù)[10-13]。這個(gè)不均衡指數(shù)反映樣本內(nèi)平均絕對(duì)差異, 可以將其視為組內(nèi)不均衡指數(shù)。在許多情況下, 需要考察的不是樣本內(nèi)(組內(nèi))的差異或均衡, 而是樣本間(組間)的相對(duì)差異或均衡, 此時(shí)可以借助 Theil 指數(shù)之類的交叉熵來(lái)描述[14]。交叉熵主要用于反映相同區(qū)域內(nèi)同一批要素不同指標(biāo)之間的相對(duì)差異, 不能描述要素?cái)?shù)目不同的任意兩個(gè)區(qū)域之間的相對(duì)差異[15]。

本文的目的在于構(gòu)建簡(jiǎn)單的組間相對(duì)不均衡指數(shù), 用來(lái)反映不同區(qū)域或不同地理要素的比較差異。首先改變基于 Gini 系數(shù)的組內(nèi)不均衡指數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá), 然后通過類比, 將組內(nèi)絕對(duì)不均衡指數(shù)推廣到組間相對(duì)不均衡指數(shù)。以京津冀地區(qū)、長(zhǎng)江三角洲和珠江三角洲 3 個(gè)區(qū)域的城市體系為例, 借助人口規(guī)模測(cè)度和燈光總數(shù)測(cè)度, 說(shuō)明新測(cè)度公式的應(yīng)用方法和效果。作為補(bǔ)充和對(duì)比, 在描述組間相對(duì)差異的同時(shí), 也給出組內(nèi)絕對(duì)差異的計(jì)算結(jié)果, 并納入綜合分析過程。

1 測(cè)度公式

1.1 組內(nèi)不均衡指數(shù)的新表達(dá)

假定一個(gè)區(qū)域存在個(gè)地理要素, 采用變量度量其規(guī)?；虬l(fā)展水平, 基于 Gini 系數(shù)的思想和矩陣表達(dá)形式, 常規(guī)的區(qū)域發(fā)展不均衡指數(shù)可以表示為如下形式:

其中,為單變量或單區(qū)域不均衡指數(shù), 數(shù)值介于0~1 之間,,=1, 2, 3, …,。式(1)與文獻(xiàn)[10-12]中的表達(dá)形式稍有不同, 但等價(jià)。≠表示對(duì)分母而言, 不考慮矩陣對(duì)角線的元素。如果將對(duì)角線元素納入計(jì)算, 則式(1)應(yīng)轉(zhuǎn)換為如下形式:

其中/(-1)相當(dāng)于矯正系數(shù), 能夠保證 0≤≤1。式(1)和(2)給出相同的計(jì)算結(jié)果。

理論上,相當(dāng)于 Gini 系數(shù)的替代指數(shù), 用于描述基于同一測(cè)度同一個(gè)區(qū)域的平均差異性, 稱為組內(nèi)不均衡指數(shù)。如果描述一個(gè)區(qū)域的城市規(guī)模差異、GDP 分布差異和人均收入差異, 且不考慮無(wú)尺度分布的影響, 則可以采用式(1)或(2)來(lái)度量[13]。但是, 如果希望借助某個(gè)測(cè)度描述區(qū)域間或不同城市體系之間的相對(duì)差異(如京津冀城市體系相對(duì)于長(zhǎng)三角城市體系的人口分布差異), 或描述同一個(gè)區(qū)域或城市體系內(nèi)兩種不同地理變量之間相對(duì)差異(如京津冀城市體系內(nèi)人口相對(duì)于 GDP 的差異), 則上述公式失效。

1.2 組間不均衡指數(shù)

基于新的數(shù)學(xué)表達(dá)式, 易將組內(nèi)不均衡指數(shù)推廣到組間不均衡指數(shù)。為了度量區(qū)域間或者測(cè)度間的相對(duì)差異, 將式(1)推廣到二區(qū)域或者二變量分析, 得到如下表達(dá):

其中,*為不同區(qū)域同一類變量反映的組間不均衡指數(shù)(或雙區(qū)域不均衡指數(shù)), 其數(shù)值介于 0 ~ 1 之間;為一個(gè)區(qū)域的不同地理元素的某種測(cè)度(如不同城市的 GDP);為另一個(gè)區(qū)域的不同地理元素的某種測(cè)度(如不同城市的 GDP);=1, 2, 3, …,,=1, 2, 3, …,。對(duì)式(3)的分母而言, 不能忽略矩陣對(duì)角線的元素, 因此需要用系數(shù)(+)/(+- 2)將指數(shù)值校正到 0 和 1 之間, 否則最終計(jì)算結(jié)果大于等于0 但小于 1, 數(shù)據(jù)上限不明確。

有時(shí)候, 需要描述的不是不同區(qū)域的同一類變量反映的相對(duì)不均衡性, 而是同一個(gè)區(qū)域內(nèi)不同測(cè)度之間表現(xiàn)的不均衡性。令=, 對(duì)式(3)稍作做修改, 可得到這樣一種指數(shù):

其中,*為同一區(qū)域不同變量之間的相對(duì)不均衡指數(shù)(或雙變量不均衡指數(shù)), 其數(shù)值介于 0~1 之間;為一個(gè)區(qū)域的不同地理元素的某種測(cè)度(如不同城市的人口);為同一個(gè)區(qū)域的不同地理元素的另一種測(cè)度(如不同城市的 GDP)。和都是歸一化的變量, 即各個(gè)數(shù)值除以其總和。當(dāng)y被x代替時(shí), 式(4)返回到式(2), 表明組間不均衡指數(shù)是組內(nèi)不均衡指數(shù)的特例。

2 應(yīng)用案例

2.1 三大城市體系的計(jì)算結(jié)果

將基于常規(guī) Gini 系數(shù)的組內(nèi)不均衡指數(shù)與本文提出的組間不均衡指數(shù)集成到同一個(gè)測(cè)度框架, 進(jìn)行綜合差異分析。以京津冀地區(qū)、長(zhǎng)江三角洲(長(zhǎng)三角)和珠江三角洲(珠三角)為研究區(qū), 以城市體系為實(shí)證對(duì)象, 計(jì)算區(qū)域發(fā)展的組內(nèi)和組間不均衡指數(shù), 進(jìn)行簡(jiǎn)明的時(shí)空演化分析。采用 3 個(gè)度量指標(biāo): 1)市區(qū)人口(不包括市轄縣人口); 2)市轄區(qū)人口(包括區(qū)人口和所轄縣人口); 3)夜晚燈光總量。3個(gè)變量彼此之間高度相關(guān)。因此, 3 個(gè)變量不代表不同的方向, 只代表不同的測(cè)度或者視角。人口總量采用 2000 年第 5 次人口普查數(shù)據(jù)和 2010 年第 6 次人口普查數(shù)據(jù)。燈光總量也取 2000 年和2010 年的數(shù)據(jù)。作為一種新的指數(shù)和分析方法的案例說(shuō)明, 數(shù)據(jù)的現(xiàn)勢(shì)性不是首要的條件, 可靠性和代表性更為關(guān)鍵。

在實(shí)際操作中, 可以將式(1)~(3)集成到同一個(gè)運(yùn)算過程, 計(jì)算方法如下。

第一步, 整理數(shù)據(jù)。將數(shù)據(jù)縱向排列, 得到x, 將同一組的不同數(shù)據(jù)或不同組數(shù)據(jù)橫向排列, 得到x或y。

第二步, 計(jì)算兩兩差值的絕對(duì)值。針對(duì)式(1)~ (3)中的分子部分, 計(jì)算x-x或x-y的絕對(duì)值, 然后求和。

第三步, 計(jì)算兩兩數(shù)值之和。針對(duì)式(1)~(3)的分母, 計(jì)算x+x或x+y。根據(jù)公式的形式?jīng)Q定是否保留對(duì)角線的數(shù)值, 然后求和。

第四步, 計(jì)算不均衡指數(shù)。借助式(1)~(3), 同時(shí)計(jì)算組內(nèi)不均衡指數(shù)和組間不均衡指數(shù)。

計(jì)算過程和結(jié)果包括 3 個(gè)方面: 1)利用新的公式(式(1)或(2))計(jì)算組內(nèi)不均衡指數(shù)(表 1); 2)利用式(3), 基于相同的指標(biāo)計(jì)算不同區(qū)域的組間不均衡指數(shù)(表 1); 3)針對(duì)相同的區(qū)域, 計(jì)算不同指標(biāo)之間的組間不均衡指數(shù)(表 2)。為此, 變量需要?dú)w一化, 計(jì)算公式為式(4)。

2.2 三大城市體系的不平衡分析

上述 3 個(gè)測(cè)度反映的空間尺度范圍不一樣。市轄區(qū)人口和燈光總量反映較大的尺度范圍, 包括市區(qū)和轄縣, 而市區(qū)人口反映的地區(qū)范圍相對(duì)較小, 不包括縣域。

通過從 2000 年到 2010 年的演變, 分析 3 個(gè)城市體系差異性的變化特征。從表 1 可以看出: 1)京津冀和長(zhǎng)三角城市體系的內(nèi)部絕對(duì)差異上升(值增大), 珠三角城市體系的內(nèi)部差異下降(值減小), 相對(duì)關(guān)系方面只有市區(qū)人口差異上升, 燈光總量和轄區(qū)人口差異下降; 2)京津冀相對(duì)于長(zhǎng)三角, 燈光總量差異下降, 市轄區(qū)和市區(qū)人口差異上升; 3)京津冀和長(zhǎng)三角相對(duì)于珠三角, 燈光總量和轄區(qū)人口差異下降, 市區(qū)人口差異上升。

表 2 是矩陣形式的表達(dá), 可以反映測(cè)度內(nèi)部絕對(duì)差異和測(cè)度之間相對(duì)差異的時(shí)空變化?？梢钥吹? 京津冀和長(zhǎng)三角城市體系 3 個(gè)測(cè)度反映的自身絕對(duì)差異以及測(cè)度之間的相對(duì)差異均在上升, 珠三角情況則相反, 測(cè)度自身絕對(duì)差異和測(cè)度之間的相對(duì)差異下降。

表1 京津冀、長(zhǎng)三角和珠三角城市體系的不均衡指數(shù)(2000 和 2010年)

說(shuō)明: 由于關(guān)系的對(duì)稱性, 要素總數(shù)與為相對(duì)表示: 一個(gè)總數(shù)視為, 另一個(gè)就是, 反之亦然。

表2 三個(gè)城市體系燈光總量、轄區(qū)人口和市區(qū)人口的不均衡指數(shù)的矩陣表示(2000 和 2010年)

說(shuō)明: 對(duì)角線元素為基于常規(guī)Gini系數(shù)的組內(nèi)不均衡指數(shù)值, 對(duì)角線以外元素為組間不均衡指數(shù)值, 下同。

仿照表 2, 將表 1 重新組合為矩陣形式, 得到表3。表 3 從另一個(gè)角度反映 3 個(gè)城市體系的差異性演變: 1)從燈光總量來(lái)看, 京津冀和長(zhǎng)三角內(nèi)部的差異略有上升, 而珠三角內(nèi)部以及三個(gè)城市體系之間的相對(duì)差異下降; 2)從轄區(qū)人口來(lái)看, 京津冀和長(zhǎng)三角內(nèi)部的絕對(duì)差異以及京津冀與長(zhǎng)三角之間的相對(duì)差異略有上升, 珠三角內(nèi)部以及珠三角與京津冀、長(zhǎng)三角之間的相對(duì)差異下降; 3)從市區(qū)人口來(lái)看, 珠三角的內(nèi)部差異下降, 京津冀、長(zhǎng)三角的內(nèi)部差異以及 3 個(gè)體系之間的相對(duì)差異上升。

綜上所述, 可以將 3 個(gè)城市體系從 2000 年到2010 年的差異性變化概括為兩個(gè)方面的特征: 1) 測(cè)度反映地區(qū)差異變化的共性, 無(wú)論燈光總量、轄區(qū)人口、市區(qū)人口的絕對(duì)差異, 還是彼此間的相對(duì)差異, 京津冀和長(zhǎng)三角城市體系均上升, 而珠三角則普遍下降; 2)尺度反映地區(qū)之間相對(duì)差異變化的共性, 較小尺度(如市區(qū)范圍內(nèi))的相對(duì)差異普遍上升, 而較大尺度(市轄區(qū)范圍)的差異有所下降。

3 討論

表3 京津冀、長(zhǎng)三角和珠三角城市體系的不均衡指數(shù)矩陣表示(2000 和 2010年)

表4 基于廣義Gini系數(shù)的組間不均衡指數(shù)與基于常規(guī)Gini系數(shù)的組內(nèi)不均衡指數(shù)的比較

說(shuō)明: 式(1)等價(jià)于式(2), 根據(jù)文獻(xiàn)中的常用公式變換得到; 式(2)是式(3)和(4)的特例。

常規(guī)的不均衡指數(shù)屬于組內(nèi)不均衡指數(shù), 本文的目的在于構(gòu)建組間不均衡指數(shù)。上述結(jié)果表明, 組間不均衡指數(shù)簡(jiǎn)單實(shí)用: 既可以基于同一測(cè)度描述不同區(qū)域之間的不同地理要素集合的相對(duì)差異, 也可以基不同測(cè)度描述同一個(gè)區(qū)域相同要素集合的相對(duì)差異(表 4)。實(shí)際上, 組間不均衡指數(shù)包含組內(nèi)不均衡指數(shù), 后者是前者的特例。為了描述一個(gè)系統(tǒng)中要素規(guī)模分布的差異性, 統(tǒng)計(jì)學(xué)家基于Lorenz 曲線定義了 Gini 系數(shù)。理論上, Gini 系數(shù)很難測(cè)算, 實(shí)際應(yīng)用中常以組內(nèi)不均衡指數(shù)[13]代替。在文獻(xiàn)[10-12]中, 不均衡指數(shù)采用如下公式估算:

可以證明, 式(5)與(1)等價(jià), 式(1)是由式(5)變換得出?；谟^測(cè)數(shù)據(jù)從大到小的排序, 式(5)可轉(zhuǎn)換為如下集中化指數(shù)[16-17]表示:

式中,X為x的累積百分比,為絕對(duì)集中的累積分布之和,為絕對(duì)均勻的累積分布之和,為實(shí)際累積分布之和。任何測(cè)度方法都有其優(yōu)勢(shì), 也有其局限性。不均衡指數(shù)有效性的前提是描述對(duì)象的規(guī)模分布具有特征尺度, 即平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差有效[13]。如果將一個(gè)區(qū)域的個(gè)地理要素從小到大排列(x+1≥x), 編號(hào)為=1, 2, 3, …,, 則式(1)可以表示為

這表示不均衡指數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義為從小到大排列的序列x與減去 1 之后歸一化的序號(hào)之間的協(xié)方差除以和x的平均值之積。如果序列服從冪律分布(如滿足 Pareto 分布或服從 Zipf 定律), 則平均值不可靠, 計(jì)算結(jié)果的置信度低[8]。類推可知, 如果組內(nèi)不均衡指數(shù)不可靠, 則組間不均衡指數(shù)也不可靠。

本文提出的組間不均衡指數(shù)定義及其度量方法, 此前未見報(bào)道。一個(gè)好的測(cè)度或指數(shù)應(yīng)該具有明確的邊界值或者臨界值[15]。如同組內(nèi)不均衡指數(shù)一樣, 組間不均衡指數(shù)具有確定的下限和上限, 即 0 和 1, 此為邊界值。組間不均衡指數(shù)的缺點(diǎn)在于沒有反映屬性變異的臨界值。本研究的不足之處在于, 未對(duì)案例數(shù)據(jù)背后隱含的概率分布做無(wú)尺度分析, 因此, 不能保證案例分析的嚴(yán)格有效性。盡管如此, 作為一種測(cè)度方法的發(fā)展, 本研究為具有特征尺度的分布提供了簡(jiǎn)明、實(shí)用的組間不均衡度量方法。

4 結(jié)論

組間不均衡指數(shù)是組內(nèi)不均衡指數(shù)的一種推廣, 而組內(nèi)不均衡指數(shù)是基于 Lorenz 曲線的 Gini系數(shù)的一種近似表達(dá)。組間不均衡指數(shù)公式可以將組內(nèi)不均衡指數(shù)公式作為特例兼容, 并納入計(jì)算過程。因此, 組間不均衡指數(shù)可以理解為組間相對(duì)Gini 系數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)推理和實(shí)證分析, 可以得出如下結(jié)論。

1)組間不均衡指數(shù)可以用于度量?jī)蓚€(gè)區(qū)域地理要素分布的相對(duì)差異性。計(jì)算過程不要求兩個(gè)系統(tǒng)的要素?cái)?shù)目對(duì)等。不均衡指數(shù)的數(shù)值越小, 兩個(gè)系統(tǒng)的要素分布相對(duì)越均衡, 否則相對(duì)差異性越大。

2)組間不均衡指數(shù)可以用于度量同一個(gè)區(qū)域地理要素不同指標(biāo)分布的相對(duì)差異性。不同指標(biāo)反映地理要素的不同側(cè)面。由于不同指標(biāo)的量綱通常不同, 因此計(jì)算不同測(cè)度的組間不均衡指數(shù)前需將變量歸一化。

3)不均衡指數(shù)有效的前提是地理要素分布具有特征尺度。就規(guī)模分布而言, 所謂有特征尺度, 就是具有有效的平均值。如果系統(tǒng)要素存在空間關(guān)聯(lián), 則一般服從冪律分布, 從而平均值不再有效, 不均衡指數(shù)的應(yīng)用效果也會(huì)隨之降低。

致謝 京津冀城市夜燈數(shù)據(jù)由博士研究生龍玉清處理, 在此表示感謝。

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Inequality Indexes for Measuring Between-Groups Mean Difference of Size and Spatial Distributions

CHEN Yanguang

Department of Urban and Economic Geography, College of Urban and Environmental Sciences, Peking University, Beijing 100871; E-mail: chenyg@pku.edu.cn

A set of new inequality indexes are constructed to measure the relative unbalanced difference between regions or groups of elements in a geographical systems. Firstly, the within-group inequality index, namely, the Gini coefficient based on the Lorenz curve, is transformed into a new mathematical expression. Then, based on the new formula, the within-group index is generalized to between-group inequality index. Technically, the two types of inequality indexes can be integrated into the same logic framework. As an example, the new formulae are applied to three systems of cities in China, including Beijing-Tianjin-Hebei region, Yangtze River Delta, and Pearl River Delta. The results display a spatio-temporal evolution patterns of relative mean differences within and between these urban systems.

Gini coefficient; inequality index; Beijing-Tianjin-Hebei; Yangtze River Delta; Pearl River Delta;urban system

10.13209/j.0479-8023.2019.107

國(guó)家自然科學(xué)基金(41590843,41671167)資助

2018-12-12;

2019-02-28