淺談極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

黃俊佳羽

（江蘇省南通市十里坊小學(xué)，江蘇南通 226000）

引 言

極限思想是微積分的基本思想。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”這三個方面都涉及極限思想[1]，因此本文重點從這三個方面探討如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透極限思想。

一、在“數(shù)與代數(shù)”方面滲透極限思想

（一）認識數(shù)的無限性：自然數(shù)

小學(xué)生最先接觸到“無限”這一概念是從數(shù)字開始的。從小學(xué)一年級開始，學(xué)生首先學(xué)習(xí)的是20 以內(nèi)的自然數(shù)。雖不能讓學(xué)生立即體會到自然數(shù)的個數(shù)是無限的，但教師可以幫助學(xué)生認識到20 以內(nèi)的數(shù)中，后一個數(shù)總比前一個數(shù)大1。學(xué)生陸續(xù)通過學(xué)習(xí)百以內(nèi)的數(shù)、萬以內(nèi)的數(shù)乃至億以內(nèi)的數(shù)，會認識到最小的自然數(shù)是0，同時又產(chǎn)生“有最小的自然數(shù)，那么有最大的自然數(shù)嗎？”的疑問。針對這樣的疑問，筆者會把思考討論的機會留給學(xué)生，讓學(xué)生說出他們心目中“最大的”自然數(shù)，再引導(dǎo)學(xué)生思考：你能說出比它還要大的自然數(shù)嗎？通過多次的舉例與反駁答案，學(xué)生很快能夠意識到自然數(shù)是無窮無盡的。無論列舉出多么大的自然數(shù)，都有后面的自然數(shù)比它大1，即N ＋1＞N，使學(xué)生通過自主探索感受自然數(shù)的無限性。

（二）認識數(shù)的無限性：循環(huán)小數(shù)化分數(shù)

如果說上面的教學(xué)是認識及表示數(shù)量的“無限”，那么無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的過程無疑也映射出“極限”的思想。小學(xué)生難以理解0.999…竟和1 相等。大多數(shù)人認為，0.999…無論小數(shù)點后有多少個9，它總是比1 小一些。怎么能讓學(xué)生理解并接受0.999…＝1 呢？基于小學(xué)生的年齡特點，筆者設(shè)計了以下三個教學(xué)環(huán)節(jié)。

首先，可以采用數(shù)形結(jié)合的方式，讓學(xué)生產(chǎn)生直觀的了解。

其次，用兩道除法算式體現(xiàn)極限思想。

師：1÷9， 8÷9，算一算它們的商。

生：1÷9 ＝0.111…，8÷9 ＝0.888…

師：我們把這兩個算式的左右兩邊相加，可以得到1÷9+8÷9 ＝0.111…＋0.888…，你能將它化簡嗎？

最后，還可以通過關(guān)系式求未知數(shù)，對結(jié)論進行“證明”。

師：設(shè)x=0.999…，則10x=9.99…，10x-x=9.99…-0.999…，即9x=9，x=1，x既是0.999…，又等于1，我們可以得到什么結(jié)論？

生：0.999…＝1。

通過上述三個環(huán)節(jié)的教學(xué)，不僅使學(xué)生難以理解的問題迎刃而解，同時也讓學(xué)生體會到無限與有限的區(qū)別，產(chǎn)生從有限到無限的思維過渡，滲透了極限的思想方法。

二、在“圖形與幾何”方面滲透極限思想

（一）線段的無限延伸性

在圖形與幾何中，極限思想的滲透顯得尤為重要。線段中直線、射線、平行線等概念都離不開“無限延伸”這四個字，這些概念具有一定的抽象性。因此，教師在教學(xué)時可以先讓學(xué)生通過動手畫一畫直線、射線，讓他們體會這些線是可以一直延伸下去的，然后再引導(dǎo)學(xué)生去想象這條線到底可以畫多長，在頭腦中形成無限延伸的畫面。這樣既能幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解“直線”“射線”和“平行線”的概念，還能發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)他們的空間想象力。

（二）在圖形的度量中體會無限性

用不同的長度單位度量實際物體或者圖形的長度時，也能滲透極限思想。例如，在二年級下冊《認識分米和毫米》這節(jié)課中，筆者設(shè)計了以厘米為單位，動手量鉛筆長度的操作活動，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)鉛筆的長度并不是整厘米數(shù)，產(chǎn)生了認識新的長度單位“毫米”的需求。同樣，在學(xué)生認識毫米并重新量出鉛筆長度時，可以繼續(xù)追問學(xué)生：“鉛筆的長度就是整毫米數(shù)嗎？”為了便于學(xué)生觀察，可以借助于多媒體課件放大刻度尺，然后用毫米刻度一次次去測量鉛筆，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)鉛筆的長度也不是整毫米數(shù)。此時，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：“余下的不足1 毫米的部分，我們該怎么測量呢？”“這樣的過程有沒有可能繼續(xù)下去？”通過這一過程，學(xué)生能夠想象將刻度尺無限劃分下去，這樣學(xué)生就在不知不覺中體會到度量中的無限性，從而滲透了極限思想。

（三）推導(dǎo)圓的面積公式

圓是由曲線圍成的封閉圖形，無法像長方形和正方形那樣利用擺小正方形的方法推導(dǎo)出面積公式，教學(xué)難度較大。筆者在學(xué)生已經(jīng)初步認識了“由正多邊形不斷變化可以變成圓”這一觀念的基礎(chǔ)上，進一步運用分割拼接法，通過多媒體動畫演示，使學(xué)生直觀地感受“化圓為方”的思想，領(lǐng)會從近似分割到無限細分的數(shù)學(xué)思維方法，經(jīng)歷從“有限”轉(zhuǎn)化成“無限”的過程，最終達到極限狀態(tài)。這樣不僅使學(xué)生親歷了推導(dǎo)圓面積公式的過程，也培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維能力，更滲透了極限思想，讓學(xué)生認識到極限思想不可替代的重要作用。

三、在“統(tǒng)計與概率”方面滲透極限思想

如何把頻率近似看作概率，然后判斷游戲的公平性，這也運用到了極限思想。我們可以用簡單的“拋硬幣”問題舉例。這里筆者采用小組合作模式，讓學(xué)生動手先拋1 次硬幣，發(fā)現(xiàn)可能出現(xiàn)正面，也有可能出現(xiàn)反面。接著，讓學(xué)生實驗拋10 次硬幣，并記錄每次的結(jié)果，再通過匯總結(jié)果分析正反面出現(xiàn)的頻率。由于頻率不具有穩(wěn)定性，可能會出現(xiàn)一面出現(xiàn)的次數(shù)遠遠大于另一面出現(xiàn)的次數(shù)的情況，或者10 次拋硬幣都只出現(xiàn)了一面的現(xiàn)象。單純觀察拋硬幣的實驗結(jié)果，學(xué)生容易認為游戲是不公平的，所以教師要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進行推測如果拋20 次、30 次呢？如果拋更多的次數(shù)呢？學(xué)生通過親手實驗后逐漸分析并大膽猜想出：拋的次數(shù)越多，正反面分別出現(xiàn)的頻率都在某一可能性上上下波動，借用數(shù)學(xué)家先前的實驗數(shù)據(jù)觀察可以證實猜想。教師可以追問：當(dāng)我們拋出硬幣的次數(shù)無限多時，你能得到什么結(jié)論？學(xué)生就能得出正反面出現(xiàn)的頻率就是固定的某一可能性值（事件發(fā)生的概率），從而解答出這個游戲是公平的，與拋硬幣的次數(shù)沒有關(guān)系。這里通過極限思想的滲透與應(yīng)用，不僅將頻率與概率的性質(zhì)區(qū)分開來，還讓學(xué)生學(xué)會利用這一思想判斷游戲的公平性。

結(jié) 語

作為教師，我們在教學(xué)中一定要重視對極限思想的滲透。這樣，學(xué)生不僅在小學(xué)階段就形成了無限觀念，培養(yǎng)了空間想象力，還為以后構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識體系以及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)。