一個布利安香點特殊情形在解題中的應(yīng)用

李偉健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

布利安香點，是著名數(shù)學(xué)家布利安香在1806年發(fā)現(xiàn)的一條重要結(jié)論.它是帕斯卡線的對偶命題，布利安香點的發(fā)現(xiàn)時間晚于帕斯卡線的發(fā)現(xiàn)時間(1639年).

這一結(jié)論在解決共點問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，本文探討的是應(yīng)用布利安香點解決與之相關(guān)的若干問題，并且揭示問題的本質(zhì)特征.同時，在解決問題的過程中給出高師院校教材《高等幾何》(朱德祥，朱維宗著)若干修訂建議.

布利安香點對于任意一個外切于一條二次曲線的六邊形，它的三雙對頂?shù)倪B線共點，即布利安香點.

當(dāng)布利安香定理中的三對相鄰的元素重合時，那么可以得到下面的命題，即：一個三角形外切于一條二次曲線，那么其三頂點與對邊上切點的三條連線共點.下面介紹布利安香點的這一特殊情形在解題中的應(yīng)用.

張正義老師在文[1]中探討了一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，并且提出了拋物線和橢圓中的類似命題.觀察這一道競賽試題，即：

命題1如圖1，銳角△ABC內(nèi)接于圓O，過圓心O且垂直于半徑OA的直線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，設(shè)圓O在B，C兩點處的切線相交于點P，求證：直線AP平分線段EF(選自2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西省預(yù)賽第二試的第三題).

圖1

事實上，命題1的結(jié)構(gòu)特征可以應(yīng)用布利安香點予以很好的揭示，下面給出一個簡要證明，即：

證明如圖2，設(shè)B，C兩點處的切線分別交點A處的切線于點M，N，那么AP、BN、CM必交于一點(布利安香點)，AP與EF交于點G；

根據(jù)完全四邊形MBCN的調(diào)和性，可知A(PM，BC)=-1，又因為直線EF與直線MN交于無窮遠點(記為G)，所以(EF，GG)=-1，由此可知G是EF的中點，即直線AP平分線段EF.

圖2

通過上面的證明可以發(fā)現(xiàn)，直線AP平分線段EF當(dāng)且僅當(dāng)直線EF與直線MN平行.所以命題1可以推廣為如下命題，即：

命題2已知△ABC內(nèi)接于圓錐曲線Γ，直線l交AB，AC于點E，F(xiàn)，曲線Γ在B，C兩點處的切線相交于點P，那么直線AP平分線段EF當(dāng)且僅當(dāng)直線l與曲線Γ在點A處的切線平行.

在命題2的基礎(chǔ)之上考察張老師提出的在拋物線和橢圓情形中的命題3和命題4，可以清晰地看到二者能夠成立的根本原因.

命題3△AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0)，焦點F在△AOB的內(nèi)部，過焦點F且垂直于x軸的直線分別交OA，OB于點E，F(xiàn)，設(shè)拋物線在B，C兩點處的切線相交于點P，則直線PO平分線段EF.

圖3

命題3和命題4之所以能夠成立根本原因是直線l與曲線Γ在點A處的切線平行.仔細觀察命題1的證明過程中得出的結(jié)論A(PM，BC)=-1，不由得聯(lián)想到朱德祥先生在其著作《高等幾何》中提出的一個命題，即：

命題5如圖4，設(shè)△ABC內(nèi)切圓切三邊BC、CA、AB于點D、E、F，那么D(CA，EF)=-1.

圖4

朱德祥先生在處理這一問題時，應(yīng)用圓的性質(zhì)證實了這一命題，并且在論證之后，朱先生指出：“通過仿射變換，圓變?yōu)闄E圓(如圖5)，三角形ABC變?yōu)槿切蜛′B′C′，由仿射變換保持同素性和結(jié)合性知，三角形A′B′C′依舊外切于橢圓，又交比是簡比的比，因而在仿射變換下不變，因此亦有D′(C′A′，E′F′)=-1”.如果應(yīng)用布利安香點可以對這一命題得到更為透徹的解釋，作為建議，或許這可能是《高等幾何》以后修訂可以考慮的.

圖5

當(dāng)前，朱先生的《高等幾何》是國內(nèi)為數(shù)不多的介紹射影幾何，并且在高師院校影響較大的一本教材，繼續(xù)考察這本教材中另一個命題，即：

命題6雙曲線的任意一條切線介于兩漸近線間的部分，被切點平分.轉(zhuǎn)換為符號語言如下：設(shè)M為雙曲線Γ上一點，曲線Γ在點M處的切線交兩條漸近線于點A、B，那么|MA|=|MB|.

這一命題因其結(jié)構(gòu)簡單深刻，朱先生在文[2]中從雙曲線共軛直徑的角度解釋了這一命題，下面用布利安香點給出另外一個解釋，至于這一解釋是否是本質(zhì)的或者是稍微接近本質(zhì)的，留待讀者判斷，即：

證明如圖6，將這一命題放入射影空間，兩條漸近線與雙曲線Γ相切于無窮遠點C、D，那么無窮遠直線CD與直線AB交于點N，又AC,BD,OM交于一點，于是根據(jù)完全四點形ADCB的調(diào)和性，有(AB，MN)=-1，所以M是AB中點.

圖6

這一解釋也是對《高等幾何》以后修訂的另外一個建議.

上述討論的主要內(nèi)容是布利安香點所生成的調(diào)和點列和調(diào)和線束，這一內(nèi)容在解題中的應(yīng)用價值是不言而喻的.接下來，考察姜坤崇老師在文[3]提出的引理2和在文[4]提出的例6、7，調(diào)整敘述如下：

圖7

這一命題可以從交比的運算性質(zhì)給出一個相對來說比較簡潔的論證，本文略去這一證明.

圖8

姜坤崇老師對命題8從解析幾何的角度分為橢圓和雙曲線兩種情形分別進行了論證，論證過程稍顯繁瑣，與結(jié)論的簡潔稍顯不和諧.事實上，從布利安香點的角度可以給出一個極富美感的解釋，即：

證明如圖9，設(shè)AP×BQ=H、AB×PQ=N，因為直線AB經(jīng)過無窮遠直線l的極點O，所以無窮遠直線l經(jīng)過直線AB的極點H，即H∈l，那么直線AP與直線BQ互相平行(歐幾里得平面)；

圖9

再次考察袁安全老師提出的一個命題.為此，需要王建榮老師提出的另一命題作為討論依據(jù)，即：

圖10

實際上，王建榮老師提出的這一命題，本質(zhì)是調(diào)和點列的性質(zhì)，下面從交比的角度予以解釋，即：

建立在命題9的基礎(chǔ)之上，就可以應(yīng)用布利安香點對袁安全老師提出的如下命題給出一個更為透徹的說明，即：

圖11

證明因為△ABC的三條邊與圓相切于點D、E、F，所以直線AD、BE、CF交于一點(布利安香點)，根據(jù)完全四點形ABDE的調(diào)和性，結(jié)合命題9，可得如下結(jié)論：

又因為|FB|=|DB|，

圖12

經(jīng)過上述討論，讀者可能對布利安香點在解題中的應(yīng)用已經(jīng)有所體會，布利安香點給出的解釋有益于發(fā)掘問題的結(jié)構(gòu)特征.下面再次考察先后由多位老師探究的一個問題，即圓錐曲線外切三角形和切點三角形之間的關(guān)系.蔡玉書和王波兩位老師文[5]探討的實際上就是布利安香點，即：

命題11若△A1A2A3的三邊A1A2，A2A3，A3A1(或其延長線)與圓錐曲線Γ分別切于T1，T2，T3，則A1T2，A2T3，A3T1三線共點.

高凱老師在文[6]中提出的命題，本質(zhì)上討論的也是布利安香點，仔細觀察高凱老師提出的命題，即：

命題12△B1B2B3為圓錐曲線Γ的外切三角形，△A1A2A3是相應(yīng)的切點三角形，A1、A2、A3分有向線段B1B2、B2B3、B3B1的比為μ1、μ2、μ3，那么μ1·μ2·μ3=-1.

讀者可能已經(jīng)覺察出，這一定理的結(jié)構(gòu)特征是由布利安香點生成的共點結(jié)論的塞瓦定理表述.苗相軍和孫勝田兩位老師在文[7]中提出的另外一個問題是本文著重討論的對象，即：

圖13

實際上，苗相軍和孫勝田兩位老師提出的命題13的結(jié)構(gòu)特征和筆者對高凱老師提出的命題12結(jié)構(gòu)特征的判斷是一致的，為了詳細解釋筆者的這一判斷，需要審視塞瓦定理中所蘊含的線束斜率之間的關(guān)系.

圖14

理由如下：① 設(shè)直線A1A2，A2A3，A3A1上的無窮遠點為L，M，N，所以可以得到如下結(jié)論

同理可得②式成立；

③根據(jù)完全四邊形的調(diào)和性，

可得P1(A1P1，P2P3)=-1，

以上三個等式結(jié)合②可推出③成立.應(yīng)用③可以解釋命題13.

通過對塞瓦定理中線束的斜率關(guān)系的討論，讀者至此已經(jīng)可以看到苗相軍和孫勝田兩位老師提出的命題13的結(jié)構(gòu)特征的確是布利安香點生成的共點結(jié)論的塞瓦定理表述.