例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中整體思維的應(yīng)用

任曉松

(蘇州市吳江區(qū)教研室 215200)

數(shù)學(xué)中的分析，必然要著眼于一個一個的局部，但是任何局部都不是問題本身.在所有局部分析清楚以后，也不自然導(dǎo)致對問題本身的認(rèn)識．格式塔心理學(xué)派的核心觀點是：“整體大于部分之和”，這“大于”的部分才是認(rèn)識問題的最后關(guān)鍵．為了使這“大于”的部分得以形成，我們必須持有整體思維．即在思維中盡量保持聯(lián)系的、全面的、辯證的觀點，在思維的最后則必須形成整體認(rèn)知．

下面結(jié)合實例從五個方面談?wù)勗诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中如何應(yīng)用整體思維．

1 整體觀察，凸顯本源

一般地，問題的合理性或者說思維的無矛盾性都是基于整體而言的，整體的和諧才是無矛盾．任何矛盾也都不是對單一元素而言的，至少牽扯到矛盾的雙方．由此知在實施反證法時，構(gòu)造矛盾的一個特別有效的策略就是“整體構(gòu)造”．

2 整體認(rèn)識, 暫代細(xì)節(jié)

例2不等式logax-ln2x<4(a>0且a≠1)對任意x∈(1,100)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________．

3 整體對比，凸顯變化

例3已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=x2-1，g(x)=log3x，則函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)有__________個零點.

將特殊的問題還原其一般性，這讓我們能站在更高的高度來觀察問題的全貌，這也是整體思維處理的一種重要方式.把問題一般化，是一個還原問題全貌的過程，我們通過把握細(xì)節(jié)的變化，從而對原來的問題有更加全面、縝密、細(xì)致的認(rèn)識和體會.例3問題在課堂教學(xué)中，我們可以通過幾何畫板的演示，通過對參數(shù)a的變化，而演示圖形的變化.這個演示過程，能讓學(xué)生有整體的直觀感受，可以清晰的觀察到零點個數(shù)從2個到1個的變化.但幾何畫板中呈現(xiàn)的變化僅是讓學(xué)生產(chǎn)生直觀，如何內(nèi)化為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，就需要我們用代?shù)的方法去分析、推理、論證.形數(shù)必須結(jié)合，依托于數(shù)據(jù)的分析的圖形才是全面的、整體的，我們的分析和思考才能做到因微而準(zhǔn)，因微而細(xì).

4 整體入手，以靜制動

在整體思維中，從動態(tài)的環(huán)節(jié)中如何找到不變的，以靜制動是其思維方式的一種重要體現(xiàn).在例4中，數(shù)列的項是一個變化的過程，在無窮項的數(shù)列中的每一項都要對兩種遞推關(guān)系進(jìn)行二選一，其不確定性給思維帶來了巨大的困難．但把該數(shù)列看成一個整體，從這個大的視角出發(fā)我們很容易思考到在首個“等和關(guān)系an0+an0-1=1”之前都是“等差關(guān)系an-an-1=1”，這就是以靜制動思維的體現(xiàn).動態(tài)和靜態(tài)是一對矛盾的統(tǒng)一體，動態(tài)呈現(xiàn)問題各個環(huán)節(jié)之間的相互聯(lián)系、相互制約的關(guān)系，而我們能從動中找到不動，則可以從更高的維度分析、處理他們之間的關(guān)聯(lián)，為解決問題找到突破口．

5 整體運(yùn)算，把握結(jié)構(gòu)

思考與分析此題的解題思路是設(shè)切線l的斜率k，得到l方程y-y0=k(x-x0)代入橢圓E的方程，消去y(或者x)，再根據(jù)直線l是橢圓E的切線，計算所得方程的Δ=0即可.但學(xué)生往往不能順利解答，因為在聯(lián)立所得方程的展開項非常多，容易算錯(或者寫錯).同時由于項數(shù)過多，導(dǎo)致接下去學(xué)生無法有效的計算Δ.這里學(xué)生出現(xiàn)的計算問題，主要在于學(xué)生沒有明晰消去y后，所得方程是關(guān)于x的一元二次方程的代數(shù)結(jié)構(gòu).如果能明確把握方程的結(jié)構(gòu)，那么在運(yùn)算過程中可把y-y0=k(x-x0)改寫成y=kx-(kx0-y0)再代入.這個小小的改變，使得展開時按x項降次排列變得非常自然、簡便，極容易按照二次項、一次項和常數(shù)項寫成：

(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0，

此解答中，可以看到算法的作用非常大，假如按公式展開，沒有整體的設(shè)想，會給運(yùn)算造成極大的困擾.數(shù)學(xué)需要運(yùn)算，但是在運(yùn)算之前首先要思考一下“算理”和“算法”，盡量簡化運(yùn)算，這就必須從整體對解答進(jìn)行預(yù)設(shè)，合理的預(yù)設(shè)又來源于對題目的解答有清晰的分析和思考.在此過程中，要考慮代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，考慮結(jié)果的導(dǎo)向以及考慮數(shù)據(jù)的有效代換，這些都為簡化運(yùn)算、提高運(yùn)算能力起了很大的作用.這里的整體思維不僅能減少運(yùn)算量，更為關(guān)鍵地是培養(yǎng)學(xué)生整體分析、把握問題的能力，從而有效提升其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

以上五個例子，從不同的側(cè)面來談及高中數(shù)學(xué)教學(xué)中整體思維的引導(dǎo).堅持整體思維的教學(xué)有助于學(xué)生逐步形成整體意識，從而養(yǎng)成學(xué)生能全面的、從全局考慮問題的習(xí)慣.這讓學(xué)生不僅只看到數(shù)學(xué)問題的局部，更重要的使其會分析整體與局部、整體與結(jié)構(gòu)的關(guān)系，從而把握問題的本質(zhì)和規(guī)律.整體意識有助于學(xué)生用全局觀念處理問題，從多個方面、多個維度研究問題，避免片面性，這對學(xué)生的學(xué)習(xí)和今后的工作都有重要的作用.