指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教材分析框架與案例剖析①
——以人教A版“函數(shù)單調(diào)性”為例

鄧翰香 吳立寶 沈 婕

(1.天津師范大學(xué)教育學(xué)部 300387；2.天津市中小學(xué)教育教學(xué)研究室 300200)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2017)》)提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]，其中數(shù)學(xué)抽象位居首位.數(shù)學(xué)抽象，作為數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分[2].教材，作為落實(shí)課程目標(biāo)的重要媒介和課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施載體，是“理想的課程”與“領(lǐng)悟的課程”的橋梁與紐帶[3].數(shù)學(xué)教材，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)抽象思想，只有充分挖掘才能更好地為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供良好的素材與機(jī)會(huì).立足現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材，探究如何有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，一方面為教材編寫(xiě)與修訂提供參考；另一方面為教師和學(xué)生在教和學(xué)的過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供參考.

2 分析框架

《課標(biāo)(2017)》指出，數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[1].本文以此作為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的分析框架來(lái)具體分析現(xiàn)行教材.

2.1 獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則

數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要表現(xiàn)是數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得.根據(jù)抽象程度的不同，史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象過(guò)程細(xì)分為三個(gè)階段：一是簡(jiǎn)約階段，把握事物本質(zhì)，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化并條理清晰的表達(dá)；二是符號(hào)階段，去掉事物的具體內(nèi)容，利用符號(hào)和關(guān)系術(shù)語(yǔ)等表述已簡(jiǎn)約化的事物；三是普適階段，通過(guò)假設(shè)和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述具體事物的特征或規(guī)律[4].這三個(gè)階段相互連接，后一個(gè)階段建立在前一階段的基礎(chǔ)之上.數(shù)學(xué)概念的獲得包括概念形成和概念同化兩種基本方式.數(shù)學(xué)概念的形成，通常會(huì)經(jīng)歷以上三個(gè)階段：首先，從直觀的背景、具體的材料中抽離出事物的本質(zhì)特征；其次，對(duì)抽象概括對(duì)象給予一般表示，并且用符號(hào)進(jìn)行表述；最后，根據(jù)符號(hào)階段得出的結(jié)論進(jìn)行定義，形成概念系統(tǒng)進(jìn)行應(yīng)用.

2.2 提出數(shù)學(xué)命題和模型

數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要過(guò)程是數(shù)學(xué)命題和模型的提出.數(shù)學(xué)命題和模型不僅是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的抽象概括，還具有“工具性”特征，可用于實(shí)現(xiàn)“知識(shí)遷移”，即來(lái)解決某一類問(wèn)題.因此，對(duì)數(shù)學(xué)命題和模型的抽象不僅需要關(guān)注抽象的結(jié)果，還需要關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程[5].學(xué)生在體驗(yàn)和完成學(xué)習(xí)活動(dòng)后，獲得模型化解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行聯(lián)系；同時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)命題的抽象過(guò)程，需要理解數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，獲得數(shù)學(xué)抽象的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).其中，數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”是上述數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)階段的具體步驟(如圖1)：從“辨別”到“抽象”為簡(jiǎn)約階段，抽離事物本質(zhì)；從“概括”到“形式”為符號(hào)階段，完成符號(hào)表達(dá)；從“系統(tǒng)”到“運(yùn)用”為普適階段，形成理論并運(yùn)用到具體情境.

圖1

2.3 形成數(shù)學(xué)方法與思想

數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要產(chǎn)物是數(shù)學(xué)方法與思想的形成.數(shù)學(xué)方法與思想作為數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中；同時(shí)，依托數(shù)學(xué)方法與思想可以反過(guò)來(lái)加深對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解.《課標(biāo)(2017)》提出“運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題”的表現(xiàn)要求，史寧中教授認(rèn)為“思維方法的教育是數(shù)學(xué)思想與思維經(jīng)驗(yàn)之和”，因此在培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過(guò)程中要重視形成數(shù)學(xué)方法與思想，進(jìn)而真正認(rèn)識(shí)并形成數(shù)學(xué)抽象的思維方式.綜合來(lái)說(shuō)，挖掘教材中的數(shù)學(xué)方法與思想會(huì)指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提高；數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法與思想.

2.4 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)更高水平是形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的抽象可以看清知識(shí)的“來(lái)龍去脈”，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)理論體系的完善過(guò)程，以及不同研究領(lǐng)域之間的聯(lián)系與統(tǒng)一性.在高觀點(diǎn)下對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理以及完整描述某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)體系，可以讓學(xué)生理解通過(guò)數(shù)學(xué)抽象所得知識(shí)的重要性及必要性，進(jìn)而展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的獨(dú)特魅力.

3 以函數(shù)單調(diào)性為例教材分析

“函數(shù)單調(diào)性”是人教A版高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修一第一章第三節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的內(nèi)容.基于前面的分析框架，以該節(jié)教材內(nèi)容為例，具體闡釋在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.1 教材中的“數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得”

從教材知識(shí)編排上看，學(xué)生在初中階段接觸了一些常見(jiàn)的初等函數(shù)的圖象，對(duì)函數(shù)圖象的增減性有了初步的感性認(rèn)識(shí).在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的概念，可以從數(shù)和形的直觀感受出發(fā)，研究自變量變化時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律，通過(guò)定量分析解釋定性結(jié)果來(lái)理解單調(diào)性的概念.從抽象過(guò)程上看，單調(diào)性的定義是通過(guò)函數(shù)圖形語(yǔ)言到自然語(yǔ)言、再到符號(hào)語(yǔ)言逐步抽象得出的,其中涉及到了基于幾何直觀的抽象、對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象之間關(guān)系的抽象和構(gòu)建模型抽象，從不同抽象層面上去培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

函數(shù)單調(diào)性概念的獲得，需要認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì).對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行剝繭抽絲，通過(guò)全面分析做到深入理解.從教材的編排內(nèi)容可以看出，函數(shù)單調(diào)性概念的獲得，恰好經(jīng)歷了史寧中教授提出的“三個(gè)階段”的抽象：一是在“簡(jiǎn)約階段”中，觀察圖象直觀感受，通過(guò)“上升”“下降”描述圖象的變化規(guī)律，抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征；二是在“符號(hào)階段”中，使用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)增(減)函數(shù)定義，構(gòu)造概念關(guān)系特征，其中“任意”兩字的理解是一個(gè)難點(diǎn)；三是在“普適階段”中，完善單調(diào)性的知識(shí)體系，運(yùn)用單調(diào)性定義解決問(wèn)題，通過(guò)例題設(shè)置提升問(wèn)題解決水平和思維抽象素養(yǎng)，讓學(xué)生在課堂收獲“帶得走的東西”.

3.2 教材中的“數(shù)學(xué)命題和模型的提出”

函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過(guò)程需要通過(guò)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)讓學(xué)生去經(jīng)歷.函數(shù)單調(diào)性的探究活動(dòng)設(shè)置是讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)命題的建構(gòu)過(guò)程中，獲得對(duì)數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的體驗(yàn)與感知，讓學(xué)生在認(rèn)知領(lǐng)域進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).探究活動(dòng)內(nèi)容包括：讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的抽象過(guò)程，嘗試從具體的直觀特征到利用符號(hào)形式化表達(dá)數(shù)學(xué)定義，構(gòu)建出概念形成系統(tǒng)并具體應(yīng)用.以下將基于教材中的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的設(shè)置，分析教材是如何與上述數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的“基本套路”相對(duì)應(yīng)來(lái)設(shè)置探究活動(dòng)內(nèi)容，從而讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的完整抽象過(guò)程.

3.2.1 圖象直觀，抽離本質(zhì)

教材問(wèn)題1觀察圖2中的函數(shù)圖象，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎？

問(wèn)題1的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中起初的“辨別”和“分化”兩個(gè)步驟.第一步“辨別(刺激模式)”：從學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)入手，學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了一些常見(jiàn)初等函數(shù)，能夠感受函數(shù)圖象的變化規(guī)律，由此通過(guò)觀察直觀的函數(shù)圖象引出課題，達(dá)到外部刺激引入情境的效果.第二步“分化(各種屬性)”：依據(jù)具體圖象來(lái)感知函數(shù)的性質(zhì)，在多種函數(shù)的性質(zhì)中，函數(shù)圖象有遞增遞減的屬性是學(xué)生從各種特征當(dāng)中較為容易分化出的一個(gè)特性.

圖2

教材問(wèn)題2研究一次函數(shù)f(x)=x和二次函數(shù)f(x)=x2的圖象，描述這兩個(gè)函數(shù)圖象的單調(diào)性.

問(wèn)題2的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的“類化”和“抽象”兩個(gè)步驟.第三步“類化(共同屬性)”：觀察圖3，可以看到，函數(shù)f(x)=x的圖象由左至右是上升的；函數(shù)f(x)=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的.對(duì)具體函數(shù)圖象變化的認(rèn)識(shí)，用圖形語(yǔ)言描述函數(shù)圖象特征，抽離出它們所共有的“上升”“下降”的共同屬性.第四步“抽象(本質(zhì)屬性)”：在引導(dǎo)學(xué)生類化出函數(shù)“上升”“下降”的共同屬性后，可以自然地揭示出函數(shù)“變中不變”的本質(zhì)特征，也就是函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)——單調(diào)性.

圖3

3.2.2 抽象概括，符號(hào)表達(dá)

教材問(wèn)題3如何描述函數(shù)圖象的“上升”“下降”？

問(wèn)題3的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的“概括”這一步驟.第五步“概括(形成概念)”：通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從圖形語(yǔ)言過(guò)渡到用自變量x與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y之間關(guān)系的自然語(yǔ)言.以二次函數(shù)f(x)=x2為例，結(jié)合圖象與列表，讓學(xué)生用自然語(yǔ)言描述出函數(shù)圖象“上升”“下降”的特征.也就是，函數(shù)f(x)=x2圖象在y軸左側(cè)“下降”，即在區(qū)間(-∞,0]上，f(x)隨著x的增大而減??；圖象在y軸右側(cè)“上升”，即在區(qū)間(0,+∞)上，f(x)隨著x的增大而增大.

教材問(wèn)題4怎樣利用函數(shù)解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大”？

3.2.3形成理論，拓展應(yīng)用

增(減)函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1

單調(diào)性定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

教材中增(減)函數(shù)定義的給出以及單調(diào)性定義的完善是達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的“系統(tǒng)”這一步驟.第七步“系統(tǒng)(形成理論)”：通過(guò)以上簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段的逐級(jí)抽象，最終得到增(減)函數(shù)的一般性定義.解釋說(shuō)明嚴(yán)格單調(diào)與單調(diào)區(qū)間的含義，深化概念的理解，形成完整系統(tǒng).

教材例題

例1根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

教材中例題的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中的“運(yùn)用”這一步驟.第八步“運(yùn)用(理論實(shí)踐)”：教材安排的兩個(gè)例題是從幫助學(xué)生把握函數(shù)單調(diào)性概念的本質(zhì)出發(fā)，體現(xiàn)了“函數(shù)單調(diào)性”所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo).例1利用圖象法來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.例2利用定義證明物理學(xué)中的玻意耳定律，使學(xué)生了解定義法在討論函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題中的作用并掌握證明單調(diào)性的基本步驟.由此，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，體會(huì)用符號(hào)形式化表達(dá)數(shù)學(xué)定義的必要性.同時(shí)通過(guò)例2的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出利用增減函數(shù)定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的一般方法步驟，幫助學(xué)生初步構(gòu)建出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的解題模式，增強(qiáng)學(xué)生的模型化解決問(wèn)題的能力及應(yīng)用意識(shí)，也進(jìn)一步讓學(xué)生感受從具體到抽象得出數(shù)學(xué)方法的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程.其中，用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：①取值，設(shè)x1,x2∈D,且x1

以上教學(xué)過(guò)程中，教材內(nèi)容在編排上通過(guò)逐級(jí)設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，逐步抽象出函數(shù)單調(diào)性，最終提出數(shù)學(xué)命題.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師需要給學(xué)生思考的時(shí)間和機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生通過(guò)自身嘗試歸納、定義和證明，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.3 教材中的“數(shù)學(xué)方法與思想的形成”

函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)不僅要求學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性的理論知識(shí)，參與這一概念的形成過(guò)程，而且要讓學(xué)生在完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)之后，知道如何研究這樣的性質(zhì)，這一性質(zhì)的研究對(duì)類似性質(zhì)的研究有什么借鑒，從中挖掘出在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中形成的數(shù)學(xué)方法與思想.基于這樣的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課的教學(xué)要立足于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的思維能力，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的方式”，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)并解決問(wèn)題的思想方法，這樣施教才會(huì)更有深度[6].

本節(jié)教材在數(shù)學(xué)抽象過(guò)程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、模型化等數(shù)學(xué)思想方法.教材通過(guò)設(shè)置問(wèn)題情境讓學(xué)生觀察、歸納、類比，積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.例如，教材從研究?jī)蓚€(gè)特殊的函數(shù)f(x)=x和f(x)=x2的單調(diào)性出發(fā)，用圖形語(yǔ)言抽象概括出函數(shù)圖象特征，提升歸納的能力；再以函數(shù)f(x)=x2為例，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述增函數(shù)的定義，鼓勵(lì)學(xué)生類比寫(xiě)出f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]上是減函數(shù)的定義；進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，f(x1)和f(x2)推廣到一般函數(shù)均可表示為f(x1)和f(x2)，完成從特殊函數(shù)單調(diào)性的準(zhǔn)確表述到一般函數(shù)單調(diào)性的準(zhǔn)確表述；例題設(shè)置解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想.基于以上活動(dòng)，達(dá)到在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)方法與思想，并且數(shù)學(xué)方法與思想的形成又深化對(duì)函數(shù)單調(diào)性理解的相互作用效果.

3.4 教材中的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)識(shí)”

函數(shù)單調(diào)性作為高中階段學(xué)生接觸并研究的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，是后續(xù)研究函數(shù)的極值與最值的基礎(chǔ)，通過(guò)增(減)函數(shù)定義的獲得以及函數(shù)單調(diào)性概念的得出，完善函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)體系；同時(shí)，教材中利用數(shù)學(xué)抽象研究函數(shù)單調(diào)性的步驟與方法，為學(xué)生后續(xù)研究函數(shù)的奇偶性以及具體的基本初等函數(shù)的性質(zhì)提供了依據(jù)，從而在函數(shù)性質(zhì)的研究方法層面上逐步形成系統(tǒng).

4 建議

依托數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，從數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)、數(shù)學(xué)探究活動(dòng)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)抽象之美四個(gè)方面入手提出了四點(diǎn)建議，它們?cè)谂囵B(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)過(guò)程中的地位及相互之間的關(guān)系如圖4所示.

圖4 教材中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑

4.1 抓住教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基礎(chǔ)

以教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)為基礎(chǔ)，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).數(shù)學(xué)教材是開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)的基本依據(jù)，也是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的有利工具.“知識(shí)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成本源”[7]，只有對(duì)教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)，才會(huì)理解數(shù)學(xué)內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)而有效地引導(dǎo)學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).其一，教材編排應(yīng)依據(jù)知識(shí)間的內(nèi)在邏輯，將數(shù)學(xué)知識(shí)由具體到抽象地逐級(jí)呈現(xiàn)，這樣脈絡(luò)清晰，使學(xué)生能感受數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，抓住內(nèi)容核心.其二，教師應(yīng)增強(qiáng)對(duì)教材內(nèi)容的文本解讀能力，高屋建瓴地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，理清教材思路，領(lǐng)悟編者意圖，這樣才會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容有一個(gè)更準(zhǔn)確的理解，如函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).這其中教師應(yīng)重點(diǎn)理解教材中知識(shí)的前后關(guān)系及整體結(jié)構(gòu)、教材編排的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的背景、內(nèi)涵、應(yīng)用及拓展，從而對(duì)教材有一個(gè)更深刻的把握.與此同時(shí)，教師可依據(jù)史寧中教授提出的數(shù)學(xué)抽象的“三個(gè)階段”來(lái)鉆研教材，有利于教師把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的逐級(jí)抽象，順藤摸瓜理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.2 設(shè)置教材中的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的載體

以教材中的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)為載體，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).學(xué)生的抽象經(jīng)驗(yàn)需要在探究活動(dòng)中積累，抽象能力需要到探究活動(dòng)中發(fā)展，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)需要在數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗(yàn)的積淀和升華中培養(yǎng)[8].其一，教材應(yīng)該設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，構(gòu)建學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)抽象的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)知識(shí)和方法的內(nèi)化，不斷提高自身的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)能力.其中，教材中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的設(shè)置需要基于數(shù)學(xué)抽象的階段性特點(diǎn)、數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象度和學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維水平，依托數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，將數(shù)學(xué)探究活動(dòng)與數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的程序方式相對(duì)應(yīng)，由淺入深設(shè)置數(shù)學(xué)探究活動(dòng).這樣才會(huì)使得每一步活動(dòng)具有新的探究意義，逐步達(dá)到從具體到抽象的過(guò)程.其二，教師在課堂上借助教材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過(guò)程中，要依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)和思維特點(diǎn)進(jìn)行逐級(jí)引導(dǎo)，重現(xiàn)抽象的整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)并熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，不斷提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.3 領(lǐng)悟教材中的數(shù)學(xué)方法與思想——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的核心

以教材中的數(shù)學(xué)方法與思想為核心，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).學(xué)生能夠領(lǐng)悟蘊(yùn)涵在知識(shí)中的數(shù)學(xué)方法，形成理解和分析問(wèn)題的學(xué)科思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的最高表現(xiàn)[9].其一，教材編寫(xiě)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法與思想，將數(shù)學(xué)方法與思想“顯性化”，依托數(shù)學(xué)思想方法來(lái)加深對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解.在某種意義上，數(shù)學(xué)的方法是數(shù)學(xué)知識(shí)更高層次的抽象[10].同時(shí)，教材例題的選擇要恰當(dāng)，有利于幫助學(xué)生應(yīng)用教材內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，在模型化解決問(wèn)題的過(guò)程中加深對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解.其二，教師在教學(xué)過(guò)程中，可以采用觀念轉(zhuǎn)變教學(xué)、拋錨式教學(xué)、支架式教學(xué)等建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論下的教學(xué)模式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、實(shí)踐操作、自主構(gòu)建，形成靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法與思想解決問(wèn)題的能力；在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中，重視學(xué)生對(duì)教材所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法與思想的理解掌握，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

4.4 展現(xiàn)教材中的數(shù)學(xué)抽象之美——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的靈魂

以教材中的數(shù)學(xué)抽象之美為靈魂，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象研究發(fā)展的突破口為關(guān)注人的發(fā)展，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)抽象之美的展現(xiàn)，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象枯燥乏味的刻板印象，突出數(shù)學(xué)教材的“心理性”，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[11].為此，首先從數(shù)學(xué)抽象的結(jié)構(gòu)體系入手，展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的“來(lái)龍去脈”.通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一大類數(shù)學(xué)問(wèn)題解決不了，這就是抽象的“來(lái)龍”；在學(xué)習(xí)了系統(tǒng)的概念定理后，學(xué)生通過(guò)自己的努力可以解決一大類數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)用抽象的概念描述生活中的一些現(xiàn)象，這就是數(shù)學(xué)抽象的“去脈”.在學(xué)習(xí)符號(hào)化系統(tǒng)性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念、定理時(shí)，倘若教師直接把系統(tǒng)的知識(shí)“丟”給學(xué)生，就會(huì)增大學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，降低學(xué)習(xí)的積極性.從現(xiàn)實(shí)出發(fā)，逐級(jí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中感受概念中的每一個(gè)符號(hào)都是親切可愛(ài)并且有緣由的，從而展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的理性之美，如通過(guò)梳理數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史進(jìn)程，用數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)在魅力讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)抽象，感受學(xué)科文化的全面熏陶；還可以通過(guò)抽象素養(yǎng)的小故事，如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、笛卡爾與直角坐標(biāo)系的建立、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入等.不管教材還是日常教學(xué)，充分利用故事的隱喻性讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象推進(jìn)著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，進(jìn)一步擺脫學(xué)生初次學(xué)習(xí)高度符號(hào)化數(shù)學(xué)概念的生疏印象，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念在歷史長(zhǎng)河中逐級(jí)抽象，不斷完善的過(guò)程.教材內(nèi)容呈現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的“來(lái)龍去脈”，注重知識(shí)形成的系統(tǒng)性，在單元“小結(jié)”部分進(jìn)行升華，由此來(lái)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象所獲得的知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)有一個(gè)更深的把握.