基于角色定位的講題教學(xué)與思考

孫 凱 殷容儀

(1.江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué) 215151； 2. 江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004)

1 問題提出

近期，在江蘇省蘇州市第三期鄉(xiāng)村骨干教師培育站的培訓(xùn)活動中，蘇州市教育科學(xué)研究院的數(shù)學(xué)教研員殷容儀老師給每位學(xué)員發(fā)放一張“學(xué)習(xí)材料”，內(nèi)容為蘇科版初中數(shù)學(xué)教材上的9道簡單的例習(xí)題，要求學(xué)員們先做題，再思考怎樣講題，并邀請學(xué)員代表到講臺前模擬展示講題過程，其他學(xué)員觀察、思考、補充.上臺的學(xué)員結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗與思考，進行了常規(guī)性的講題展示. 其中有一道題，殷老師從角色定位的視角進行精彩的講題示范與點評，給學(xué)員們留下深刻印象.那么什么是角色定位，其主旨要義、適應(yīng)特征與關(guān)注點有哪些，圍繞這些話題，筆者作了以下探索與思考，現(xiàn)整理成文，供各位同仁研討交流.

2 角色定位的內(nèi)涵及適應(yīng)特征

所謂“角色定位”，是指在分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程中明確要求的目標元素是什么，把它定位成什么“角色”，以此確定探尋的路徑和求解的方法. 這里的“角色定位”特指在數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域，比如求解一條邊長，需要考慮它的“角色”是直角邊？任意邊？高線？垂直平分線？角平分線？弦？特殊的邊？一般的邊？等.又如求解一個角度，需要考慮它的“角色”是內(nèi)角？外角？對頂角？余角？等.這些分析思考問題的方式、方法都可歸納為“角色定位”.在解題過程中，能否對所求的元素進行合理的角色定位，決定了解題路徑的確定與問題解決的進程.因此，在講題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生抓住某個邊長、角度等關(guān)鍵條件，對求解對象進行角色定位嘗試，在明晰顯性角色的基礎(chǔ)上，積極挖掘隱形角色，實現(xiàn)合理、有效、精準地定位，啟發(fā)學(xué)生思維，突破問題思考的瓶頸.

這里所謂的“講題教學(xué)”指的是教師對題目進行講解，師生共同參與的一種旨在解決定向任務(wù)的教與學(xué)的方式.題目作為講題對象，其分類是多樣的.按課程內(nèi)容可分為代數(shù)、幾何、統(tǒng)計概率和綜合實踐四類，按題型可分為選擇、填空和解答三類，按涉及知識可分為簡單類和綜合類，按問題情境可分為常規(guī)型和非常規(guī)型，按運用范圍可分為數(shù)學(xué)運用類和現(xiàn)實運用類等等.根據(jù)角色定位的內(nèi)涵，我們認為其適應(yīng)對象應(yīng)具備“多角色”的特征，待解決的題目多出自于綜合類的幾何問題，求解的對象聚焦于線段、角等基本元素及相關(guān)元素.

3 教學(xué)案例

3.1 對“邊”的不同定位

圖1

原題呈現(xiàn)如圖1，在△ABC中，AC=BC=3，CE是外角平分線，點D是AC邊上的點，連接BD并延長與CE交于點E.

(1)求證：△ABD∽△CED.

(2)若AB=4，AD=2CD，求BE的長.

診斷分析在批改這道試題時發(fā)現(xiàn)異常情況，所帶兩個班級的90位同學(xué)中只有9位同學(xué)作出正確解答，這引起了筆者的關(guān)注.這道試題難在什么地方？學(xué)生的困惑是什么？如何幫助學(xué)生突破思考瓶頸？

此題改編自2010年四川省南充市中考數(shù)學(xué)第19題，原試題為：如圖2，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E.(1)求證：△ABD∽△CED.(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長. 顯然此題是對原試題的等邊三角形作一般化的處理，增加了求解BE的難度.此題考查了等腰三角形、直角三角形、相似三角形等基礎(chǔ)知識，內(nèi)涵豐富，把BE作不同的角色定位，會發(fā)現(xiàn)多種不同的解法.在講題時，緊緊圍繞“角色定位”的講題策略展開教與學(xué)，主動為學(xué)生搭建交流展示的平臺，展示過程中，努力使學(xué)生的思維可視化、系統(tǒng)化、邏輯化，促使他們積極參與高階思維活動.

圖2

圖3

圖4

師：根據(jù)題目中的條件與(1)的結(jié)論，我們可以獲得以上新的條件，如何讓這些條件與BE建立聯(lián)系，把BE定位為什么樣的角色分析求解呢？

生1：在現(xiàn)有圖形中，直接求解BE是有難度的，我打算以BE為邊，構(gòu)造直角三角形求解.作EG⊥BF、AH⊥BF、CQ⊥AB，垂足分別為G、H、Q，如圖3.構(gòu)造△EGC∽△AHB，分別求得CQ、EG，Rt△ECG中求得CG，最后在Rt△BEG中，確定BE.

點評構(gòu)造以BE為邊的Rt△，作EG⊥BF是最容易想到的輔助線，但是要在Rt△BEG中需先解決EG、BG的長，構(gòu)造三角形相似模型幫助解決是個很好的辦法，但在實際分析求解時，用“等積法”求得AH的長是很關(guān)鍵的一步.

生2：我也是以BE為邊構(gòu)造直角三角形來求解的.作EG⊥BF、CQ⊥AB，垂足分別為G、Q，如圖4. 借助△ECG∽△CBQ，先求CQ，再求EG，最后在Rt△BEG中，確定BE.

點評把BE定位為Rt△BEG的斜邊，與生1的解題策略類似，構(gòu)造三角形相似模型解決EG、BG的長.顯然，這種構(gòu)造相似的方式比解法1更簡捷，求解相對更簡便.實際分析問題過程中，能否發(fā)現(xiàn)∠ECQ=90°的基本“模型”，是構(gòu)造三角形相似的關(guān)鍵，也是解題的關(guān)鍵.這個“模型”與“一線三等角”模型有相似之處，教學(xué)中可以作比較鑒賞.

圖5

圖6

圖7

生3：以BE為斜邊，構(gòu)造Rt△ABE求解.作CQ⊥AB，垂足為Q，連接AE，如圖5. 易證四邊形AQCE是平行四邊形，以此證得四邊形AQCE是矩形，在Rt△BAE中根據(jù)勾股定理求得BE.

點評△ABC作為等腰三角形，高線CQ是最常規(guī)的輔助線，在分析問題過程中，發(fā)現(xiàn)AQ與EC位置與數(shù)量上都有特殊的關(guān)系，連接AE建構(gòu)出特殊的四邊形(矩形)，以此構(gòu)造以BE為斜邊的直角三角形，以斜邊的“角色”直接求之.

點評在分析問題過程中，發(fā)現(xiàn)BQ與EC在位置與數(shù)量上都有特殊的關(guān)系，聯(lián)想到建構(gòu)三角形全等模型解決問題，把BE看成“倍分”線段求之，很巧妙.

生5：我以BD為邊，借助BD建構(gòu)相似三角形求解BE.作CQ⊥AB、BK⊥AC，垂足分別為Q、K，如圖7. 根據(jù)“等積法”求BK，在Rt△ABK中，根據(jù)勾股定理求得AK，最后在Rt△BDK中求得BD，再求BE.

點評在(1)中我們發(fā)現(xiàn)BD=2DE，如果能求得BD或DE的長，就能求得BE的長，如何求BD的長呢？以BD為邊，建構(gòu)直角三角形，利用等積法、勾股定理、相似三角形等，分別求得另外兩條邊長，BD求得后再求BE，水到渠成.

3.2 對“角”的不同定位

原題呈現(xiàn)如圖8，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，∠ACD=60°，∠ADC=50°.求∠CEB的度數(shù).

圖8

圖9

圖10

診斷分析這道例題出自蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊P57的例2，設(shè)計意圖是呈現(xiàn)問題情境，驅(qū)動學(xué)生自主運用圓周角性質(zhì)定理解決求角問題，以聯(lián)系、梳理、整合知識，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu).由AB是直徑，學(xué)生會習(xí)慣性添加輔助線BD或BC，見直徑想直角，這是很好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣，是對數(shù)學(xué)知識熟練掌握的自然真實反應(yīng)，值得肯定.但是，盲目的添加輔助線，在某些思考階段會干擾學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，比如追問為什么連接BC，多數(shù)學(xué)生會回答構(gòu)造90°的圓周角，至于還有什么目的就說不清楚了.圓中的∠CEB既不是圓心角，也不是圓周角，如何求解？對學(xué)生而言，是有一定難度的.

講題過程呈現(xiàn)題目，獨立思考五分鐘.

師：已知的條件有哪些？求解的對象是什么？

生1：AB是直徑，∠ACD與∠ADC的度數(shù)，求∠CEB的度數(shù).

師： 由已知條件，你想到什么？

生2：由∠ACD和∠ADC，可求得∠CAD，但是要求的∠CEB與∠CAD沒有直接的數(shù)量關(guān)系，說明條件不夠，是不是要考慮使用AB為直徑的條件.

生3：由AB是直徑，可以連接BD或BC，這樣會得到90°的圓周角.

師：請把已知的條件在圖形上作標記，思考如何求解？有哪些方法？

生4：連接BD.

師：為什么連接BD，你是怎樣想的？

生4：……(不知如何作答)

師：求解對象是∠CEB，從位置上看，它是一個什么樣的角？請你說說看.

生5：它是一個外角，若連接BC，也可以看出一個內(nèi)角.

生6：與∠AED互為對頂角.

師：大家說的非常好，根據(jù)∠CEB的位置特征，把它定位成不同的“角色”，就決定了求解它的策略與路徑，結(jié)合你添加的輔助線，說說你的想法.

生7：如圖9，連接BD，則∠ADB=90°.連接BD的目的是把∠CEB定位為△BDE的外角，則有∠CEB=∠ABD+∠CDB，需分別求∠ABD和∠CDB，此時∠ABD與∠ACD、∠CDB與∠ADC有直接的數(shù)量關(guān)系，問題得以求解.

生8：∠CEB也可以定位為△CAE的外角，則∠CEB=∠ACD+∠BAC，其中∠BAC可以轉(zhuǎn)換為∠BDC，利用互余關(guān)系，求得∠BDC即可.

生9：如果把∠CEB看成∠AED的對頂角，再把∠AED看成△ACE或△BDE的外角也可以求解.

師；有的同學(xué)連接BC，說說你是怎樣想的？

生10：如圖10，連接BC，則∠ACB=90°.連接BC的目的是把∠CEB定位為△CEB的內(nèi)角，需求∠ABC與∠BCE，此時∠ABC與∠ACE、∠ABC與∠ADC有直接的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求解.

師：輔助線的添加能夠賦予∠CEB豐富的角色，對∠CEB進行不同的角色定位，決定了不同的求解策略和路徑，希望同學(xué)們能夠好好運用角色定位的方法，幫助分析和解決問題.

點評在講題過程中，給學(xué)生充足的思考時間，以“角色定位”的視角引導(dǎo)學(xué)生把握問題的本質(zhì)，在高階思維活動中探尋解題策略，提升學(xué)生分析和解決問題的能力.

4 教學(xué)思考

4.1 角色定位的主旨要義

在講題教學(xué)中，應(yīng)搞清楚講題的目的.講題作為一種教學(xué)行為，其目的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題的分析和解決的過程，啟發(fā)思考，點撥、提煉和歸納方法，以幫助學(xué)生形成獨立解決問題的能力.從某種意義上看，講題教學(xué)的目的是教會學(xué)生解題.角色定位作為一種重要的分析和解決問題的方法，意在幫助學(xué)生探尋有效解決問題的方案，形成策略.波利亞的“怎樣解題表”把解題分為四個步驟：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧.在這四個步驟中，擬定方案尤為關(guān)鍵.角色定位相當于“怎樣解題表”中的擬定方案，具體表現(xiàn)為深入理解題目并探求解題思路.

基于角色定位的講題教學(xué)，其目的可以劃分為兩個層面：一是知識與技能層面，教會學(xué)生運用所學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能解決數(shù)學(xué)問題；二是思維與方法層面，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決過程中學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，掌握思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.顯然，前者屬于低階思維活動，而后者屬于高階思維活動.比如在“對‘角’的不同定位”的案例中，學(xué)生運用所學(xué)知識求得∠CEB，就實現(xiàn)了第一層面的講題目的，這是常態(tài)講題教學(xué)的普遍性課堂現(xiàn)狀.而運用角色定位的方法引導(dǎo)學(xué)生思考“我是怎樣想的”“為什么這樣想”“思考過程中遇到哪些障礙”“如何突破障礙”“我還可以怎樣想”等等，讓其反復(fù)經(jīng)歷高階思維活動，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，提高擬定方案的能力.因此，講題教學(xué)中，教師應(yīng)明確角色定位的主旨要義，以更好地發(fā)揮講題教學(xué)效益.

4.2 角色定位的關(guān)注點

在日常講題教學(xué)中，我們會遇到兩種典型的教學(xué)困惑：一是教師認為明明講的很清楚、很到位，可學(xué)生不是太懂，仍然不能獨立正確解決問題；二是學(xué)生認為課堂上老師講的我都聽懂了，為什么接下來還是不會做題.要探索造成師生困惑的原因到底是什么，應(yīng)著眼于教師教了什么和學(xué)生學(xué)了什么.講題教學(xué)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是邏輯思維能力. 在講題教學(xué)中，以角色定位的視角關(guān)注題目、關(guān)注學(xué)生、關(guān)注方法，能有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，解決教學(xué)困惑.

(1)關(guān)注題目

圖11

理解題目是教師實施講題教學(xué)的基礎(chǔ).題目應(yīng)該精心挑選，難易適中，本著有利于啟發(fā)學(xué)生思維，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的原則，向?qū)W生呈現(xiàn)所謂的好問題.教師在理解題目的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生從熟悉題目到深入理解題目，搞清楚未知量、已知數(shù)據(jù)、條件等信息，為探尋解題思路做充分準備.教師還應(yīng)圍繞題目挖掘潛在的教學(xué)價值，對于適切的題目，用角色定位的視角引導(dǎo)學(xué)生分析、探索，以幫助學(xué)生豐富問題解決的策略. 比如在圖11中，直線a∥b，點B在直線b上，AB⊥BC，若∠2=55°，則∠1=__________°. 這里的“∠1”具備“多角色”特征，教學(xué)中，基于角色定位的視角，引導(dǎo)學(xué)生感受把∠1定位成內(nèi)錯角或余角，決定不一樣的解題路徑，通過簡單的問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會多角度、靈活地思考問題，對適用于角色定位特征的問題，嘗試角色定位分析的方法，體會角色定位的價值.

(2)關(guān)注學(xué)生

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指出：有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.[1]學(xué)生作為講題教學(xué)的受教對象，不是課堂教學(xué)的“配角”，而是課堂教學(xué)的“主角”.波利亞認為教師應(yīng)順乎自然地幫助學(xué)生，教師應(yīng)當把自己放在學(xué)生的位置上，他應(yīng)當看到學(xué)生的情況，應(yīng)當努力去理解學(xué)生心里在想些什么，然后提出一個問題或是指出一個步驟，而這正是學(xué)生自己原本應(yīng)想到的.[2]角色定位作為一種探尋解題思路的方法，是對“學(xué)為中心”教學(xué)理念的踐行，是關(guān)注學(xué)生、凸顯學(xué)習(xí)主體地位的具體做法.

(3)關(guān)注方法

講題教學(xué)是一種常規(guī)的學(xué)教方式，學(xué)生的學(xué)與教師的教在題目的講解傳授過程中達成.在這個師生互動的過程中，題目的解決只是起點，而數(shù)學(xué)思維方法的歸納和提煉才是落腳點.眾所周知，實行啟發(fā)式教學(xué)有助于落實學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用.角色定位是教師實施啟發(fā)式教學(xué)的具體方式之一，教學(xué)中，基于角色定位視角的引導(dǎo)點撥，是對聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、整合、綜合、分析等數(shù)學(xué)方法的集中梳理，是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷真實性、高階性思維活動的過程，這樣的過程必將促使講題教學(xué)既有寬度，也有高度，更有深度.