分類討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探析

吳月紅

摘 要：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想和思考方法，其實(shí)質(zhì)是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決整個問題的思維策略。它有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性。文章通過實(shí)例闡述初中數(shù)學(xué)中分類討論的應(yīng)用，分四種情況具體分析分類的原則和方法。

關(guān)鍵詞：分類討論;數(shù)學(xué)教學(xué);圖形;參數(shù);動點(diǎn)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2019）28-0083-02

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識和技能，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在作業(yè)訓(xùn)練中學(xué)會數(shù)學(xué)思維的靈活運(yùn)用，在問題解答中進(jìn)行思維的探索。分類討論是一種很好的數(shù)學(xué)思想和方法。其不僅考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和方法技能，還考查學(xué)生思維的深刻性和廣闊性，學(xué)生分類討論能力的高低在某種程度上影響其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率和質(zhì)量。本文分別從四種常見的情況出發(fā)，對數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論的實(shí)際應(yīng)用作以探討。

一、 受數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式的條件限制時

分類討論的實(shí)質(zhì)是將整體問題化為部分問題來解決，用增加題設(shè)條件來完成解題過程。教學(xué)中的分類過程就是在解決一個問題時，因無法用統(tǒng)一的方法去解決而利用一個標(biāo)準(zhǔn)將復(fù)雜的問題簡單化，把大問題劃分成幾個不同形式的小問題，以不同的解答方法逐一討論完成，然后綜合起來，使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答。

數(shù)學(xué)中有些概念是分類定義的，比如實(shí)數(shù)的絕對值，“數(shù)軸上表示一個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做這個數(shù)的絕對值”“正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0”，所以應(yīng)用這些概念解題時，就需進(jìn)行分類討論。此外，一些定理、公式等也是有一定的限制條件或有特定的適用范圍的。

比如下面這個問題：

例1：化簡a-2-3-a

本題中沒有給出取值范圍，所以教師要進(jìn)行分類討論，建議學(xué)生在做題的時候畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上找到2和3，然后再討論：（1） 當(dāng)a<2時，（2-a）-（3-a）=-1;（2） 當(dāng)2≤a<3時，（2-a）-（3-a）=2a-5;（3）當(dāng)a>3時，（2-a）-（3-a）=1。

運(yùn)用分類討論思想研究問題，首先要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素;其次要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，每次分類必須按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，不能重復(fù)也不能遺漏，以避免出現(xiàn)漏解或錯解的情況;再次是要對每個小問題逐一認(rèn)真解答，分析歸納出整個問題的正確結(jié)論。

二、 因幾何解題圖形不確定時

幾何是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而圖形是幾何學(xué)習(xí)和研究的核心內(nèi)容，幾何題的解答離不開圖形的分析。有的學(xué)生在沒有給出現(xiàn)成的圖形時，往往畫圖不周全，思考不到位。因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生解答幾何題目時，要有意識地滲透分類討論的思想，培養(yǎng)學(xué)生正確合理地利用圖形解題的意識，不能憑一種情況就斷章取義。

例2：CD為等腰△ABC的腰AB上的高，CD=2，tan∠ACD=9/4，則△ABC的長為_____。

這道題目中只有文字描述，沒有給學(xué)生畫出圖形，那就要求學(xué)生在做題時自己畫圖，因此很多學(xué)生就會出現(xiàn)遺漏，畫的圖是銳角等腰三角形，所以答案是4-2。事實(shí)上，由于沒有圖，只說是等腰三角形，那么就要討論它是什么等腰三角形，按頂角的度數(shù)分類有銳角等腰三角形、等腰直角三角形、鈍角等腰三角形。因?yàn)轭}目中說 tan∠ACD=，所以肯定不是等腰直角三角形。最后就分兩種情況來討論（如下圖），所以，例2的正確答案是4±2。

在解答這類沒有給出圖形要自己畫圖的題目時，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想對已知條件進(jìn)行分析，抓住要點(diǎn)，抽絲剝繭，把復(fù)雜的問題簡單化，把未知的內(nèi)容已知化，并學(xué)會舉一反三，做到觸類旁通，從而培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察事物的習(xí)慣，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

三、當(dāng)題目中含有參數(shù)時

近年來，含參數(shù)問題是各地中考數(shù)學(xué)試題中的熱點(diǎn)之一，它不僅考查學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的牢固程度，還考查學(xué)生是否具有較強(qiáng)的分析能力和判斷能力。當(dāng)題意中含參數(shù)時，就應(yīng)該用分類討論的思想來解決問題。因?yàn)閰?shù)而進(jìn)行的討論，一般有這樣兩種情況：一是給定命題結(jié)論，由此去探求參數(shù)的取值范圍;二是由參數(shù)的取值范圍去探討命題在參數(shù)的制約下可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，從而歸納出原命題的正確結(jié)論。

例3：若關(guān)于x的方程kx2-3x-=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____________。

學(xué)生在做這道題目時最容易獲取的信息是“有實(shí)數(shù)根”，這一信息讓學(xué)生馬上聯(lián)想到一元二次方程根的判別式Δ≥0即b2-4ac≥0，求出k≥-1，又由于學(xué)生的習(xí)慣思維覺得這是一元二次方程，二次項系數(shù)不能為0即k≠0，所以學(xué)生很容易出現(xiàn)錯誤答案：k≥-1且k≠0。事實(shí)上，做這道題目時應(yīng)該先看到“方程”兩個字，既然是方程，就要分為一元一次方程和一元二次方程進(jìn)行分類討論。當(dāng)該方程是一元一次方程時，k=0，求得方程的根為x=-，所以此時方程有實(shí)數(shù)根，即k可以為0;當(dāng)該方程為一元二次方程時，此時：k≥-1且k≠0。綜上所述，k的取值范圍為：k≥-1。

從例3不難看出，分類討論對于解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題起著重要的作用，它可以促進(jìn)學(xué)生全面而周密地分析和思考問題，有效地克服思維的片面性，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

四、遇到動點(diǎn)問題時

作為一種重要的數(shù)學(xué)思想和基本的解題策略，分類討論揭示了數(shù)學(xué)事物之間的內(nèi)在規(guī)律，體現(xiàn)了“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略，有助于學(xué)生的邏輯思維訓(xùn)練和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率及質(zhì)量的提高，對學(xué)生的思維模式必將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

動點(diǎn)問題是中考中的高頻考點(diǎn)，常出現(xiàn)于中考數(shù)學(xué)的倒數(shù)第二題甚至是壓軸題。這類試題知識點(diǎn)多、題型復(fù)雜、難度較大。其解答不僅要用到分類討論思想，還要用到數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)方法。一般情況下，動點(diǎn)問題分類討論的可能性極大，只有正確分類，才有可能正確解決問題。

例4：如下圖：矩形ABCD，AD=8，AE=2，若AE=2EB，點(diǎn)O是直線MN上一動點(diǎn)，以O(shè)為圓心畫圓，使得⊙O與直線PQ相切，且與矩形ABCD某一邊相切。請問⊙O符合要求的有幾個？并以其中一個圓為例求出其半徑。

該題是一道綜合性大題目，動點(diǎn)O在直線MN上，并以它為圓心作圓，使⊙O與直線PQ相切，同時又與矩形ABCD的某一邊相切。由于矩形有四條邊，所以就要討論⊙O到底與矩形的哪一條邊相切。因?yàn)椤袿在直線BC上，所以⊙O不會與BC邊相切。因?yàn)椤袿與直線PQ相切了，所以⊙O不會與邊AD相切。從而就可以知道，⊙O與邊AB或者是邊CD相切。這時候問題又來了，⊙O在邊AB（CD）的左側(cè)還是右側(cè)呢？所以最終這道題目要分成四種情況來進(jìn)行討論。第一種⊙O與邊AB相切的情況分為：（1）⊙O在AB的左側(cè)與AB相切;（2）⊙O在直線AB的右側(cè)與AB相切。第二種⊙O與邊CD相切的情況分為：（3）⊙O在CD的左側(cè)與CD相切;（4）⊙O在CD的右側(cè)與CD相切。

值得注意的是，分類討論要有一定的原則，即分類中的每一部分是相互獨(dú)立的，一次分類按一個標(biāo)準(zhǔn)，要逐級有序地進(jìn)行。上面這道題目就很好地體現(xiàn)了分類討論里的逐級討論原則，化繁為簡，清楚地揭示了事物的屬性。

總之，分類討論是在問題出現(xiàn)不確定性時的有效方法和思路。數(shù)學(xué)教師要對癥下藥，因勢利導(dǎo)，在日常教學(xué)中有意識地按照循序漸進(jìn)原則，靈活有效地對學(xué)生進(jìn)行分類討論思維訓(xùn)練，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和縝密性，提升學(xué)生解題的正確率，最終有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

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