解壓軸題之：以形引領(lǐng) 分段解決

許銀伙 楊蒼洲

(1.福建省泉州外國語中學(xué) 362000；2.福建省泉州第五中學(xué) 362000)

壓軸題中有時出現(xiàn)三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)結(jié)合的不等式或求零點(diǎn)問題，這類問題通常綜合程度較高，整體解決難度較大.可以利用圖形直觀引領(lǐng)，幫助尋找思路，結(jié)合三角函數(shù)的周期性、有界性和單調(diào)性，分段討論，讓問題獲得圓滿的解決.

例題1(2019年全國理科卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(Ⅱ)f(x)有且僅有2個零點(diǎn).

(Ⅱ)分析：f(x)=0，即sinx=ln(1+x)，作函數(shù)y=sinx和y=ln(1+x)圖象，由圖看出：當(dāng)x∈(-1,0)時，sinx>ln(1+x)，即f(x)>0；

(4)當(dāng)x∈[e-1,+)時，f(x)=sinx-ln(1+x)<1-1=0恒成立，無零點(diǎn).

綜上所述：f(x)有且僅有2個零點(diǎn).

反思與評注1.函數(shù)f(x)中含有兩個超越函數(shù)sinx和ln(1+x)，都很容易分別作出函數(shù)圖象，因此可以借助圖象幫助尋找解決思路.

2.客觀題中的零點(diǎn)問題，基本上都是用數(shù)形結(jié)合解決的，對于主觀題可以借助數(shù)形結(jié)合幫助尋找思路，然后把解答書寫完整.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，并加以證明.

(Ⅱ)函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為2.

綜上所述：函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為2.

綜上所述：函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為2.

反思與評注1.問題(Ⅱ)的方法一和方法二都是分區(qū)間解決，但方法一借助圖象引領(lǐng)，思路更明確.

2.相比例1，本題利用圖象可以直觀看出有兩個零點(diǎn)，但解答過程需要完整規(guī)范地書寫.

3.從命題的角度看，例1比例2優(yōu)秀，例2借助圖象可以毫無懸念地獲得準(zhǔn)確答案，例1不通過計(jì)算無法說清楚.

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的最小值為0，求a的值；

(Ⅱ)證明：ex+(lnx-1)sinx>0.

分析與解(Ⅰ)a=1.

(Ⅱ)分析：不等式ex+(lnx-1)sinx>0中含有三個超越函數(shù)，它們的公共允許值范圍是(0,+).ex∈(0,+)，函數(shù)sinx具有周期性，sinx∈[-1,1]，當(dāng)x∈(0,e)時，lnx-1<0；當(dāng)x∈(e,+)時，lnx-1>0.當(dāng)x足夠大時， ex函數(shù)值會指數(shù)爆炸，lnx-1的函數(shù)值是緩慢增長，所以當(dāng)x足夠大時，可以把sinx用-1代入嘗試.因此證明的難點(diǎn)是當(dāng)x處于0的右側(cè)附近時如何處理，考慮到當(dāng)x∈(0,+)時，有sinx

證明令g(x)=ex+(lnx-1)sinx，x∈(0,+).

(2)當(dāng)x∈[e,+)時，lnx-1≥0，sinx∈[-1,1]，所以g(x)≥ex-(lnx-1).

由ex-x>1對x>0恒成立可得：x>ln(x+1)對x>0恒成立，所以lnx(x+1)-(x-2)=3>0.

綜上所述：ex+(lnx-1)sinx>0恒成立.

反思與評注1. 當(dāng)x∈(0,e)時，lnx-1<0，sinx∈[-1,1]，若利用g(x)>ex+lnx-1，取x=e-2，ex+lnx-10.事實(shí)上，當(dāng)x>0且x→0時，ex→1，(lnx-1)→-，所以(lnx-1)必須乘以無限趨向于0的數(shù)才可以.

2.本題的解決對觀察與分析，動手實(shí)踐，基礎(chǔ)知識以及常用結(jié)論的應(yīng)用能力有較高要求.

例題4 (2017年山東理科卷)已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx，g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程；

(Ⅱ)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),討論h(x)的單調(diào)性，并判斷有無極值，有極值時求出極值.

分析與解(Ⅰ) 切線方程為：2πx-y-π2-2=0.

(Ⅱ)h(x)=g(x)-af(x)，即h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)，可得：h′(x)=2(x-sinx)(ex-a)(x∈R)，且h′(0)=0.令φ(x)=x-sinx，則φ′(x)≥0，φ(x)在x∈(-,+)單調(diào)遞增， 又φ(0)=0，則當(dāng)x<0時，φ(x)<0，x-sinx<0；當(dāng)x>0時，x-sinx>0.

(1)當(dāng)a≤0時，ex-a>0對x∈R恒成立.可得：當(dāng)x<0時，h′(x)<0；當(dāng)x>0時，h′(x)>0.函數(shù)h(x)在(-,0)單調(diào)遞減，在(0,+)單調(diào)遞增，h(x)有極小值h(0)=-1-2a，無極大值.

(2)當(dāng)a>0時，由h′(x)=0得：x1=0和x2=lna.

①當(dāng)lna<0，即00解得：x0；由h′(x)<0解得：lna

②當(dāng)lna>0，即a>1時，利用右圖4，由h′(x)>0得：x<0或x>lna；由h′(x)<0得：0

③當(dāng)lna=0，即a=1時，h′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號)，h(x)在(-,+)單調(diào)遞增，h(x)無極值.

反思與評注1. 由h′(x)=2(x-sinx)(ex-a)討論h(x)的單調(diào)區(qū)間，首先是求出h′(x)的零點(diǎn)，其中φ(x)=x-sinx單調(diào)遞增，且φ(0)=0是常用結(jié)論，應(yīng)該記住.

2. 當(dāng)a>0時，分別找出y=x-sinx和y=ex-a的零點(diǎn)，利用它們都是遞增函數(shù)，作出草圖可快速求出h′(x)=2(x-sinx)(ex-a)正負(fù)值的符號區(qū)間，化一為二，形象直觀.