對一道高考模考題的解法探究和反思

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

一、題目

二、背景

本題作為二模的壓軸題真正起到了把關(guān)作用.在我所教的兩個班(共97名學(xué)生)中只有9人得分，得分率僅為0.093.全市得分率就更低(我校一本率在90%左右).因此，本題具有研究的價值，以便讓學(xué)生把這類與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的數(shù)量積問題弄通透，讓?？贾蓖ǜ呖?

三、分析

本題以數(shù)量積作為背景，考查學(xué)生的綜合運用知識的能力.而求數(shù)量積必須依靠相關(guān)長度和角度，因此解題要向這兩個量靠攏.本題要依托三角函數(shù)、平面向量、平面幾何、解析幾何、正余弦定理等知識作為突破口進行分析解答，解題中等價轉(zhuǎn)化尤為關(guān)鍵，抽絲剝繭，直到水落石出.

四、解答

1.以三角函數(shù)為突破口

解法1如圖1，因為BD為圓的直徑，所以∠BAD=∠BCD=90°.

由已知得∠ADB=∠ACB=∠ABC.

解法2 如圖2，過點A作AE⊥BC，交BD于O，連結(jié)CO.

易得△AOB∽△AOC,所以∠BAO=∠CAO=∠ABO.

2.以平面向量為突破口

3.建立直角坐標(biāo)系，以點C的坐標(biāo)為突破口

4.建立直角坐標(biāo)系，依托正弦定理找到突破口

5.建立直角坐標(biāo)系，依托余弦定理找到突破口

在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosθ，

以下同解法7.

五、反思