“asinx+bcosx=c”型導(dǎo)數(shù)法求解對嗎

葉文明 葉麗英

(浙江省松陽二中 323406)

前段時間，一個學(xué)生拿了兩個題目問我(例1：已知3sinx+4cosx=5，求tanx.例2：已知4sinx-3cosx=2，求tanx).他說:“老師,這兩道題除了其他一些方法外，你曾經(jīng)介紹過導(dǎo)數(shù)法，但我用這種方法去做，例2卻跟書上答案不一致，這到底是什么原因？”

三角函數(shù)是函數(shù)的一個特例，解三角函數(shù)問題，一般的思路是通過恒等變形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.由于導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種強有力工具，所以解決三角函數(shù)問題時，若能注意題目的特點，利用導(dǎo)數(shù)處理相關(guān)問題，不僅可以突破難點，開拓思路，提高解題效率，而且簡單易懂，便于掌握.

上述兩題可在教材中找到它的原型：

例3(人教版必修四P69復(fù)習(xí)參考題A組第5題)已知sinx=2cosx，求角x的三個三角函數(shù)值.

4sin2α+4sinαcosα+cos2α=5sin2α+5cos2α,

即sin2α-4sinαcosα+4cos2α=0,

∴(sinα-2cosα)2=0.

∴sin(α+θ)=-1,

解法5令2cosα-sinα=t，和已知式平方相加得5=5+t2,故t=0.

解法7事實上，本題采用導(dǎo)數(shù)法求解，幾乎可以口算出結(jié)果，可謂別出心裁！

兩邊分別求導(dǎo)得：-sinα+2cosα=0.

回到前面，那為什么用導(dǎo)數(shù)法求解例1、例2時，會出現(xiàn)一對一錯呢？

例1已知3sinx+4cosx=5，求tanx.

令f(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)=5,

∴f(x)的最大值為5，最小值為-5.

由題可知f(x)取到了最大值5，由導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識知f′(x)=0,而5 ′=0,∴例1用導(dǎo)數(shù)法求解正確.

例2已知4sinx-3cosx=2，求tanx.

令f(x)=4sinx-3cosx=5sin(x-φ)=2,

顯然f(x)沒有取到最大或最小值，從而f′(x)≠0.而2′=0,故已知等式兩邊同時求導(dǎo)不成立，所以本題采用導(dǎo)數(shù)法求解錯誤.

綜上所述，對于“asinx+bcosx=c”型的題目，當(dāng)a2+b2=c2時，可采用導(dǎo)數(shù)法解決，既快又對，否則用求導(dǎo)的方法解決就會出錯.

考題再現(xiàn)：

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個很重要的工具，我們?nèi)裟茏⒁獾饺呛瘮?shù)的特殊性，適時地運用導(dǎo)數(shù)這一工具，則往往能夠達(dá)到意想不到的效果，從而避免用三角公式進行繁瑣的三角變換，減少計算量和題目的難度，對提高解題能力和培養(yǎng)創(chuàng)新意識具有重要意義.