巧用數(shù)學(xué)方法求解物理問題

侯志敏

(江蘇省灌云高級中學(xué) 222200)

一、活用相似三角形

將三角形的定義靈活運用到物理習(xí)題的求解中，使得解題過程清晰、明朗化.

1．虛擬圓中的相似三角形法

例1如圖1所示，質(zhì)量為m,電量為e的電子，以速度v0水平進入磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，離開磁場時，在豎直方向側(cè)位移為h,求磁場區(qū)域的寬度L值.

圖1 圖2

圖3

例2如圖3中的均勻直棒重G，擱于內(nèi)壁光滑的半圓形容器上(容器半徑為R)，此時剛好處于靜止，求棒長為多少？

分析本題常用力矩平衡法求解，當(dāng)直棒與水平成θ角后可利用虛擬圓中的相似三角形進行求解了，步驟略，答案為L=4R[cos2θ/cosθ]

2．速度三角形相似法

體育設(shè)施主要考慮相關(guān)運動場館的建立，一般來說，運動分為競技和休閑健身兩種。水利風(fēng)景區(qū)應(yīng)該在利用其良好的自然資源條件下，著重發(fā)展相關(guān)配套設(shè)施及人力資源，以達到最佳的運動保健功能。一般來說，體育運動包含的種類十分豐富，如田徑類、球類、體操類、水上運動類、冰上運動類、自行車類等。但是筆者認(rèn)為應(yīng)該因地制宜，充分利用優(yōu)勢條件開展活動，在設(shè)立基本體育健身場館的基礎(chǔ)上，注意突出特色。如水利風(fēng)景區(qū)往往位于郊區(qū)，溫度和地質(zhì)條件有利于滑雪場的修建；同時，利用高差優(yōu)勢和水面優(yōu)勢，開展跳傘等活動。

圖4

例3質(zhì)點a從A點出發(fā)沿AC方向以v0作勻速直線運動，AC=L，在此同時，質(zhì)點b從B點出發(fā)也作勻速直線運動，如圖4所示，BC=L，且BC⊥AC，欲使質(zhì)點b追上質(zhì)點a,質(zhì)點b的最小速度值為多少？

圖5

解本題是求極值問題，按建立數(shù)學(xué)函數(shù)、分析物理極值狀態(tài)的常規(guī)方法都很難得出解題.但如果通過速度分解配合相應(yīng)的相似三角形，使問題變得非常直觀，欲使b質(zhì)點追上a質(zhì)點，將vb分解；其平行AC方向的分速度應(yīng)與v0相同，vb的另一個分速度方向則應(yīng)始終指向A點(其速度大小不定).如圖5所示，欲使vb最小，則vb必垂直于BA方向的分速度(直角邊最小).因有速度三角形和幾何三角形ABC相似.

3．力三角形相似法

例4如圖6所示，光滑半球固定在水平地面上，其球心正上方有一小滑輪，一個小球用細(xì)繩系住停止在A點，繩端繞過滑輪用力拉住，使小球從A點沿球面向上緩慢運動，在此過程中，關(guān)于小球受到的支持力N和繩的張力F的大小變化情況，下列說法正確的是( ).

A.N增加，F(xiàn)變小

B.N減小，F(xiàn)增加

D.N不變，F(xiàn)變小

解析本題既不能用動態(tài)平衡法則(也就是封閉三角形法則)求解，也不適合用通過設(shè)夾角求解(極其繁瑣)，但此時如果利用三角形相似，則為最佳解題途徑.如圖6所示，設(shè)球半徑為R，滑輪到球頂點距離為h,滑輪與小球間的繩長為L，作出任意時刻的小球受力圖，找出力的三角形與幾何三角形相似，即如圖7中打斜線的兩個三角形，就有相似性.

F/mg=L/(R+h),F=[mg/(R+h)]L(1)

同理有：

N/mg=R/(R+h)?N=[mg/(R+h)]R(2)

當(dāng)緩慢上升過程中，L將變小，由(1)(2)式可知，F(xiàn)∝L.F將減小.N與L無關(guān)，N將保持不變，因此本題答案應(yīng)選(D).

二、巧用一元二次方程解決共軛關(guān)系

解決物理問題時，經(jīng)常會遇到解一元二次方程，有時會得到有物理意義的兩個共軛解，巧用共軛關(guān)系，可解決某些物理問題.

例5以某一速度自地面上A點豎直上拋一小球，從拋出開始，至兩次經(jīng)過上方B點的時間分別為1秒和3秒，求上拋的初速度v0和B點離地出點的高度h(不計空氣阻力).

這兩個解的物理意義就是從出發(fā)點到兩次到達B點分別用的時間.根據(jù)其共軛關(guān)系可知

t1+t2=2v0/g,t1t2=2h/g.

由以上兩式可方便地得出：

總之，根據(jù)高中物理習(xí)題特點，引導(dǎo)學(xué)生分析與解決高中物理問題，不斷提高學(xué)生思維領(lǐng)域，按照問題的條件和要求，采取相應(yīng)的方法去求解問題，成就知識融會貫通的局面，串聯(lián)中實現(xiàn)舉一反三，達到事半功倍的效果.