借助數(shù)學(xué)思想巧解函數(shù)“零點(diǎn)”問(wèn)題

黃蘇梅

(福建省南靖一中 363600)

函數(shù)“零點(diǎn)”問(wèn)題是數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難度，同時(shí)也是連接代數(shù)和幾何的樞紐，據(jù)有高度的綜合性.所謂的函數(shù)零點(diǎn)，從代數(shù)的角度來(lái)說(shuō)是方程的實(shí)根，即對(duì)于函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y=0的時(shí)候，x的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)的零點(diǎn)；從幾何的角度來(lái)說(shuō)，函數(shù)零點(diǎn)就是函數(shù)y=f(x)的圖象與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo).在新課程的背景下，函數(shù)“零點(diǎn)”問(wèn)題逐漸成為教師、學(xué)生關(guān)注的焦點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，筆者借助數(shù)學(xué)思想，對(duì)有關(guān)函數(shù)“零點(diǎn)”問(wèn)題的幾種類(lèi)型進(jìn)行巧妙解決.

一、借助“轉(zhuǎn)化思想”巧解

轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)一種常用的解題方法，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，將未知的問(wèn)題進(jìn)行分析、對(duì)比或聯(lián)想，采用正確的數(shù)學(xué)手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而變成已知的問(wèn)題或熟悉的問(wèn)題，然后運(yùn)用已知的方法進(jìn)行解決.轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是“尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化”.

例1 如果函數(shù)f(x)=x2-ax+2在區(qū)間[0,1]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

∵易知函數(shù)g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，∴g(x)∈[3,+).

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,+).

評(píng)注上述求解過(guò)程進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)化——第一次將函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程有實(shí)數(shù)解；第二次通過(guò)分離參數(shù)將求參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域.

變式2 如果函數(shù)f(x)=x2lna-2x+2只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)上，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

總結(jié)這類(lèi)試題一般都需要用轉(zhuǎn)化思想將未知的函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的函數(shù)，即通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的性質(zhì)，令函數(shù)f(x)=0，從而構(gòu)建新的關(guān)于a和x的函數(shù)，零點(diǎn)所在的范圍轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的定義域，實(shí)數(shù)a的取值范圍轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域，這樣，看似復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，就通過(guò)化歸思想變?yōu)閷W(xué)生熟悉的給出定義域求值域的問(wèn)題，從而有效地解決問(wèn)題.

二、借助“數(shù)形結(jié)合思想”巧解

高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，“數(shù)”與“形”是不分彼此的兩個(gè)方面，“形”是“數(shù)”的直觀體現(xiàn)，“數(shù)”是“形”的精確描述，數(shù)形結(jié)合思想就是將“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來(lái)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行綜合的分析和解決.華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用，可以起到事半功倍的效果.

例2 已知函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x-2的零點(diǎn)分別為a,b,c，則( ).

A.a

解析∵函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程2x=-x的根，∴通過(guò)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y=2x和y=-x的圖象，經(jīng)觀察即知a<0.

∵函數(shù)g(x)的零點(diǎn)就是方程log2x=-x的根，∴通過(guò)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y=log2x和y=-x的圖象，經(jīng)觀察即知0

∵函數(shù)h(x)=log2x-2的零點(diǎn)為c，∴l(xiāng)og2c-2=0?c=4.

綜上知，a

評(píng)注本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與函數(shù)零點(diǎn)的交匯，此外要注意比較大小時(shí)經(jīng)常要以“0”、“1”等作為橋梁.

變式設(shè)函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x的零點(diǎn)分別為a,b，則( ).

A.ab>0 B.ab<0 C.ab>1 D.ab<1

總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)“零點(diǎn)”問(wèn)題的有效方法，通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)的概念，可以通過(guò)函數(shù)的圖象讓學(xué)生直接觀察出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(或函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn))，從而順利地解決問(wèn)題.在涉及有關(guān)函數(shù)“零點(diǎn)”問(wèn)題的時(shí)候，如果只是一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，這個(gè)一般運(yùn)用代數(shù)的方法可能更直接、更精確，而當(dāng)試題涉及到兩個(gè)或以上函數(shù)的“零點(diǎn)”問(wèn)題，并求這些組合函數(shù)零點(diǎn)的范圍、比較大小、求和、求積的時(shí)候，代數(shù)的方法往往不能夠得出答案，這就需要考慮數(shù)形結(jié)合思想，將組合函數(shù)進(jìn)行拆分，并在坐標(biāo)中畫(huà)出這些函數(shù)的圖象，所求問(wèn)題的答案就躍然于紙上，數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)自然地體現(xiàn)出來(lái).

三、借助“分類(lèi)與整合思想”巧解

分類(lèi)與整合思想就是在對(duì)一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析的時(shí)候，問(wèn)題存在多種的情況，這就需要學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)原理對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，并根據(jù)所分的類(lèi)別進(jìn)行逐一分析，在分類(lèi)的時(shí)候要不多不少，最后對(duì)滿足題意的解進(jìn)行整合，從而得出答案.“化整為零”、“各個(gè)擊破”是對(duì)分類(lèi)整合思想形象的描述.進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，我們要遵循的原則是：標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不漏不重.

例3已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2mx+m.若函數(shù)f(x)只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____.

解析注意到二次函數(shù)y=x2-2mx+m的圖象開(kāi)口向上，必過(guò)點(diǎn)(0,m)，且對(duì)稱(chēng)軸為x=m.于是，本題可分以下三種情況加以討論.

(1)若m>0，則由函數(shù)f(x)的圖象必過(guò)點(diǎn)(0,m)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，易知為滿足題意應(yīng)使Δ=(-2m)2-4×1×m=0，又m>0，解得m=1.

(2)若m=0，則∵函數(shù)f(x)=x2只有一個(gè)零點(diǎn)，∴m=0不適合題意.

(3)若m<0，則通過(guò)作出函數(shù)f(x)的大致圖象判斷即知，此時(shí)函數(shù)f(x)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，適合題意.

綜上知，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,0)∪{1}.

評(píng)注(1)本題具有綜合性，主要考查函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)的零點(diǎn).(2)由于含參二次函數(shù)y=x2-2mx+m圖象的對(duì)稱(chēng)軸位置不確定，所以靈活運(yùn)用“分類(lèi)與整合思想”是本題順利求解的關(guān)鍵所在.

綜上，關(guān)注有關(guān)數(shù)學(xué)思想在求解函數(shù)“零點(diǎn)”問(wèn)題中的靈活運(yùn)用，有利于迅速探求具體的解題思路，逐步提高分析、解決此類(lèi)問(wèn)題的實(shí)際能力，且學(xué)且悟且應(yīng)用！