Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的有限時間滑模同步

毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 河南鄭州450015)

1 引言

混沌系統(tǒng)的同步控制逐步成為研究的熱門課題[1?12], 而利用滑模控制方法研究同步逐漸成為研究不確定性系統(tǒng)的便捷方法, 并取得了豐富的成果.主動滑模方法, 自適應(yīng)滑模方法, 積分滑模方法及比例積分滑模方法, 有限時間滑模方法, 模糊滑模等方法被相繼提出.例如: 文獻(xiàn)[13]利用主動滑模方法研究了一類混沌系統(tǒng)的同步控制問題, 實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的主動滑模同步控制; 文獻(xiàn)[14]研究了分?jǐn)?shù)階Van der pol 振子網(wǎng)絡(luò)的混沌同步; 文獻(xiàn)[15]基于自適應(yīng)滑模方法研究分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)混沌同步; 文獻(xiàn)[16]研究Rssler 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制問題; 實(shí)現(xiàn)了對Rssler 混沌系統(tǒng)的同步控制; 文獻(xiàn)[17]利用積分滑?；７椒ㄑ芯亢教炱鞯淖藨B(tài)容錯控制; 文獻(xiàn)[18]利用有限時間滑模方法研究了多渦卷混沌系統(tǒng)的同步.

另一方面, Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的同步激起眾廣大學(xué)者的極大熱情, 例如: 文獻(xiàn)[19]研究了Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的投影同步問題; 文獻(xiàn)[20]基于自適應(yīng)滑模方法研究了分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂茊栴}.在以上研究的基礎(chǔ)上, 研究Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的有限時間滑模同步問題, 設(shè)計(jì)新型滑模面, 能夠使誤差動態(tài)系統(tǒng)有限時間內(nèi)收斂到滑模面, 較大提高了滑模同步的效率.

2 系統(tǒng)描述及主要結(jié)果

考慮Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)[20]

其中x1,x2,x3∈R3為狀態(tài)變量;c,b,α,β,γ為常值參數(shù).當(dāng)α=50,β=20,γ=4.1,c=5,b=9 時出現(xiàn)怪異吸引子, 其軌相圖如圖1 所示.

圖1: Victor–Carmen 混沌系統(tǒng)的相軌圖

從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

其中?fi(y)(i=1,2,3) 為不確定項(xiàng),y=[y1,y2,y3]T,di(t)(i=1,2,3) 為外部擾動.

假設(shè)1設(shè)不確定項(xiàng)?fi(y) 和外部擾動di(t) 有界.即存在常數(shù)mi,ni>0, 使得

定義系統(tǒng)誤差ei=yi?xi(i=1,2,3), 很容易得到誤差方程

引理1[21]假設(shè)存在連續(xù)正定函數(shù)V(t) 滿足微分不等式

式中p>0,0<η<1 是兩個正常數(shù).則對于任意給定的t0,V(t) 滿足如下不等式

并且V(t)≡0,t≥T, 其中

定理1在假設(shè)1 條件下, 構(gòu)造滑模函數(shù)控制律

其中ki>0(i=1,2,3,4,5), 則系統(tǒng)(2.3) 將在時間T內(nèi)收斂至切換面si=0, 其中

證構(gòu)造函數(shù)從而得到

由引理1 滑模面具有可到達(dá)性.

定理2構(gòu)造滑模函數(shù)則該滑模動態(tài)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并且收斂到坐標(biāo)原點(diǎn), 其中

證滑模面上運(yùn)動時得到

由于

定理3若滿足假設(shè)1, 構(gòu)造上述滑模函數(shù)和控制律, Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)(2.1) 與(2.2) 是有限時間滑模同步的.

證當(dāng)不在切換面上運(yùn)動時, 根據(jù)定理1 可知滑動模態(tài)系統(tǒng)可以被驅(qū)動到滑模面, 即滑模面具有可達(dá)性; 在切換面上時, 根據(jù)定理2 可得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定, 從而ei→0 , 從而具有穩(wěn)定性.所以(2.1) 與(2.2) 就取得有限時間滑模同步.

3 數(shù)值仿真

系統(tǒng)參數(shù)選取如上, 定理中系統(tǒng)的誤差曲線如圖2 所示, 圖中可以看到, 初始時刻系統(tǒng)誤差距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)且相差較大, 隨時間推移系統(tǒng)誤差漸趨一致, 逐漸趨近于坐標(biāo)原點(diǎn), 表明系統(tǒng)取得了同步.圖中看出一段時間以后系統(tǒng)達(dá)到混沌同步, 當(dāng)時間T時刻以后, Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)(2.1)與(2.2)達(dá)到滑模同步的.時間T可由公式來推算.它給出了時刻T大小估計(jì).若選取為傳統(tǒng)的等速趨近律求得從而需要更長的時間才能趨于同步.

圖2: 定理3 中的系統(tǒng)誤差曲線

4 結(jié)論

基于新型滑模方法研究Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的有限時間同步, 取得Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)達(dá)到有限時間滑模同步的充分條件, 從數(shù)學(xué)角度給出了嚴(yán)格證明和邏輯推理, 通過數(shù)值仿真檢驗(yàn)方法的合理性和正確性.