含三維內(nèi)裂紋試件單軸壓縮裂紋擴(kuò)展機(jī)理及數(shù)值模擬

楊海平

(浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院 建筑工程系， 杭州 311231)

缺陷與裂紋作為巖體的固有屬性，一直以來(lái)是學(xué)者們的研究熱點(diǎn)[1-2]．對(duì)于諸如水利，巖土，采礦等領(lǐng)域，巖體的裂紋和缺陷在復(fù)雜應(yīng)力條件下的擴(kuò)展會(huì)導(dǎo)致巖體結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)破壞[3-4]，因此研究巖體的裂紋擴(kuò)展規(guī)律，對(duì)其機(jī)理的正確認(rèn)識(shí)對(duì)防止巖體結(jié)構(gòu)破壞有及其重要的作用．

對(duì)于含裂紋巖體在各種應(yīng)力作用下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律及破壞過(guò)程，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，試驗(yàn)方面：宮鳳強(qiáng)[5]利用花崗巖矩形隧洞試件在單軸壓縮下的裂紋擴(kuò)展破壞過(guò)程進(jìn)行了試驗(yàn)研究，得到了不同加載方式下的破壞模式；張盛[6]對(duì)不同預(yù)制裂縫長(zhǎng)度下的NSCB試件進(jìn)行了三點(diǎn)彎曲斷裂試驗(yàn)，得到了不同預(yù)制裂紋長(zhǎng)度下的試件的斷裂韌度；徐辰宇[7]對(duì)CO2增強(qiáng)型采熱(CO2-EGS)工程中CO2作用下巖石的水壓破裂進(jìn)行了試驗(yàn)研究，得到了CO2壓裂的裂紋擴(kuò)展形態(tài)．?dāng)?shù)值模擬方面：李竟艷[8]利用Abaqus軟件對(duì)單軸拉伸下的巖石材料的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值模擬；李宏[9]利用離散元軟件PFC對(duì)含非貫通裂隙巖體的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值；王海軍等[10]利用三維裂紋分析軟件Franc3d對(duì)含裂紋孔洞試件在單軸壓縮下的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了數(shù)值模擬分析．但是，以上研究?jī)H僅針對(duì)于二維穿透型裂紋或者是三維表面裂紋進(jìn)行研究分析，事實(shí)上，裂紋以三維內(nèi)裂紋形態(tài)存在于巖體中，片面的將三維內(nèi)裂紋簡(jiǎn)化為二維裂紋會(huì)丟失掉許多必要的信息[11]，對(duì)于三維內(nèi)裂紋的研究相對(duì)較少，且多集中于對(duì)三維裂紋的表象的研究，如付金偉[12-14]對(duì)新型樹脂材料含三維內(nèi)裂紋樹脂進(jìn)行了試驗(yàn)研究，得到了裂紋擴(kuò)展規(guī)律及破壞形態(tài)，同時(shí)，對(duì)于三維內(nèi)裂紋裂紋擴(kuò)展及應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算的數(shù)值模擬也是一個(gè)難點(diǎn)[15]．

本文對(duì)三維橢內(nèi)圓裂紋的始裂狀態(tài)進(jìn)行了解析分析，并基于M積分及最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則對(duì)三維橢圓內(nèi)裂紋的裂紋前緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子及裂紋擴(kuò)展規(guī)律進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究結(jié)果為正確認(rèn)識(shí)三維內(nèi)裂紋的擴(kuò)展機(jī)理及三維內(nèi)裂紋的擴(kuò)展過(guò)程的數(shù)值模擬提供了方向．

1 橢圓內(nèi)裂紋始裂狀態(tài)的解析分析

1.1 裂紋前緣扭轉(zhuǎn)角的解析表達(dá)

對(duì)于處于壓剪狀態(tài)下的橢圓裂紋，裂紋面承受壓力與剪力，根據(jù)李世愚[16]等的研究，此時(shí)一型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ為0，而KⅡ，KⅢ則不為0．裂紋面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力可以表示為如下形式：

(1)

其中，σc是裂紋面的正應(yīng)力，而τc為裂紋面的剪應(yīng)力，σ為試件所受到的外加應(yīng)力，f為裂紋面間的摩擦系數(shù)，α為裂紋面與加載方向的夾角．

預(yù)制橢圓裂紋前緣某一點(diǎn)P在局部坐標(biāo)系下，三維應(yīng)力分量以極坐標(biāo)形式可以表示為：

(2)

式中，KⅡ，KⅢ為二型，三型應(yīng)力強(qiáng)度因子．

圖1 裂紋面標(biāo)識(shí)

對(duì)于壓剪下的橢圓裂紋擴(kuò)展形式主要有彎折型與扭轉(zhuǎn)型，如圖2所示．當(dāng)發(fā)生二型裂紋擴(kuò)展時(shí)，裂紋面沿原裂紋面擴(kuò)展一個(gè)θ的轉(zhuǎn)角，而當(dāng)發(fā)生三型裂紋擴(kuò)展時(shí)，裂紋擴(kuò)展面則沿著原裂紋面扭轉(zhuǎn)一個(gè)Φ的轉(zhuǎn)角．

圖2 不同裂紋擴(kuò)展形式

基于此，可以得到由起裂面空間的θ與Φ共同決定的法向應(yīng)力σN表達(dá)式：

σN=σxx·sin2(θ)·cos2(θ)+σyy·sin2(φ)+

σzz·cos2(θ)·cos2(φ)-2τxysin(θ)·

sin(φ)·cos(φ)-2τyzcos(θ)·sin(φ)·cos(φ)-

2τxzsin(θ)·sin(φ)·cos2(φ)

(3)

其中，應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解可由式(4)給出[17-18]：

(4)

其中，Ψ為橢圓的極角，η′=b/a，η2=1-η′2，B=(η2-ν)·E(η)+η′2·E′(η)，E(η)，E′(η)分別為第一類與第二類完全橢圓積分．

定義應(yīng)力集中系數(shù)δ=σN/σ，對(duì)二元函數(shù)(3)求極值：

(5)

便可求得橢圓裂紋前緣的始裂狀態(tài)下的裂紋前緣的轉(zhuǎn)角θ和扭角Φ隨著橢圓的極角Ψ的變化，通過(guò)數(shù)值計(jì)算便可計(jì)算出橢圓裂紋前緣的每一點(diǎn)的裂紋擴(kuò)展角度．

1.2 裂紋前緣的實(shí)例計(jì)算

對(duì)文獻(xiàn)[13]中的樹脂材料進(jìn)行計(jì)算，裂紋參數(shù)如下：橢圓裂紋的長(zhǎng)半軸a=10 mm，短半軸長(zhǎng)b=7.5 mm，裂紋間的摩擦系數(shù)f取為0.1，泊松比ν為0.2，角度α=45°，計(jì)算半徑r參照文獻(xiàn)[18]的取值取為0.01 mm，至此，可以由式(5)得出轉(zhuǎn)角θ和扭角Φ隨著橢圓的極角Ψ的變化，利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Mathematica對(duì)式(5)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，轉(zhuǎn)角θ，扭角Ψ隨裂紋前緣的變化曲線如圖3所示．

圖3 裂紋前緣扭角與轉(zhuǎn)角的關(guān)系

由圖3可得：裂紋的轉(zhuǎn)角(與二型破壞對(duì)應(yīng))沿著裂紋前緣從長(zhǎng)半軸到短半軸的過(guò)程中是不斷減小的，而裂紋的扭角(與三型破壞對(duì)應(yīng))沿著裂紋前緣則是不斷增大的，值得注意的一點(diǎn)是，當(dāng)Ψ=0°，即在裂紋的長(zhǎng)半軸端點(diǎn)處時(shí)，裂紋的轉(zhuǎn)角最大，而扭角為0，而當(dāng)Ψ=90°時(shí)，裂紋的扭角最大，而轉(zhuǎn)角則為0．

2 裂紋始裂狀態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子

2.1 計(jì)算理論

Franc3d利用M積分計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，M積分可以寫成：

M(1，2)=

(6)

其中，M(1，2)為兩種線性狀態(tài)下的M積分，E為彈性模量，ν為泊松比，KⅠ為一型應(yīng)力強(qiáng)度因子；KⅡ?yàn)槎蛻?yīng)力強(qiáng)度因子；KⅢ為三型應(yīng)力強(qiáng)度因子，(1)與(2)為兩種線性狀態(tài)．

2.2 始裂狀態(tài)的應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

利用Franc3d軟件對(duì)文獻(xiàn)[13]中的橢圓裂紋進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算模型如圖4所示，試件為5 cm×5 cm×10 cm的標(biāo)準(zhǔn)立方體試件，受單軸壓縮荷載．圖4(a)為試樣的設(shè)計(jì)圖，圖4(b)為試樣的計(jì)算網(wǎng)格圖．

圖4 計(jì)算模型

由于對(duì)稱性，取裂紋前緣的1/4進(jìn)行分析，定義無(wú)量綱化應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)如下：

(7)

其中：

Q=1+1.464(a/b)1.65

(8)

式中，σ為模型邊界上的應(yīng)力，a為裂紋的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度，b為裂紋的短半軸長(zhǎng)度．

圖5為裂紋前緣長(zhǎng)軸端點(diǎn)至短軸端點(diǎn)的一型與二型無(wú)量綱化應(yīng)力強(qiáng)度因子分布．由圖5可見，M積分計(jì)算所得的無(wú)量綱化二型應(yīng)力強(qiáng)度因子與三型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋前緣的變化規(guī)律與本文解析解計(jì)算所得的轉(zhuǎn)角與扭角的規(guī)律一致，驗(yàn)證了本文解析解的正確性．

圖5 應(yīng)力強(qiáng)度因子分布

3 裂紋擴(kuò)展計(jì)算

3.1 裂紋擴(kuò)展理論

Franc3d采用最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則計(jì)算裂紋擴(kuò)展，裂紋起裂方向滿足以下關(guān)系：

(9)

可以得出：

(10)

根據(jù)式(21)～(22)便可以計(jì)算出最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則下的裂紋擴(kuò)展方向．

3.2 計(jì)算結(jié)果

預(yù)制裂紋為傾角為60°的橢圓內(nèi)裂紋，利用Franc3d進(jìn)行單軸應(yīng)力的施加，計(jì)算得到裂紋擴(kuò)展過(guò)程，不同迭代步下的裂紋擴(kuò)展過(guò)程如圖6所示．

圖6 單裂紋試件裂紋擴(kuò)展過(guò)程

由圖可見，單裂紋試件在雙軸及不同內(nèi)水壓作用下首先在預(yù)制裂紋的上下尖端出現(xiàn)“翼型包裹狀”裂紋，隨著裂紋的逐漸擴(kuò)展，裂紋所占面積越來(lái)越大，翼裂紋逐漸貫穿試件形成破壞．值得注意的是，當(dāng)裂紋面擴(kuò)展至試件邊緣時(shí)，裂紋面會(huì)變平．

3.3 與現(xiàn)有試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

為說(shuō)明數(shù)值模擬的合理性，將數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，付金偉[13]曾對(duì)高脆性透明樹脂含橢圓內(nèi)裂紋在單軸壓縮下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律進(jìn)行了室內(nèi)試驗(yàn)，得到了裂紋的擴(kuò)展規(guī)律及試件的破壞形態(tài)，本文將解析法的結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果與室內(nèi)試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，室內(nèi)試驗(yàn)典型試樣的破壞形態(tài)及本文最終數(shù)值模擬結(jié)果如圖7所示．

圖7 室內(nèi)試驗(yàn)與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比

由圖7可見，文獻(xiàn)[13]室內(nèi)試驗(yàn)預(yù)制裂紋在裂紋長(zhǎng)軸定點(diǎn)處產(chǎn)生了翼裂紋，翼裂紋沿著最大主應(yīng)力即加載方向擴(kuò)展，最終形成貫穿型大裂紋，這與本文利用Franc3d軟件進(jìn)行數(shù)值模擬的結(jié)果一致，即本文利用M積分及最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則可以很好的模擬三維內(nèi)裂紋的擴(kuò)展問(wèn)題，同時(shí)注意到，預(yù)制裂紋靠近短軸端點(diǎn)處出現(xiàn)了“花瓣?duì)睢绷鸭y，這種裂紋形態(tài)的出現(xiàn)是由于裂紋面受到三型扭力所形成的，這與本文的解析分析結(jié)果及數(shù)值模擬分析的結(jié)果又具有一致性，即裂紋面在短軸端點(diǎn)處的三型應(yīng)力強(qiáng)度因子最大．

4 結(jié) 論

1)基于橢圓裂紋尖端的應(yīng)力狀態(tài)，定義了應(yīng)力集中系數(shù)函數(shù)δ，對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)函數(shù)δ求偏導(dǎo)計(jì)算出裂紋前緣每一點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ和扭角Φ(分別對(duì)應(yīng)裂紋的二型與三型破壞)隨著裂紋前緣的變化規(guī)律，裂紋的轉(zhuǎn)角沿著裂紋前緣從長(zhǎng)半軸到短半軸的過(guò)程中不斷減小，裂紋的扭角沿裂紋前緣不斷增大．

2)基于M積分計(jì)算出了裂紋前緣的二型與三型應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律，與本文解析解計(jì)算所得的轉(zhuǎn)角與扭角的規(guī)律一致．

3)基于最大周向拉應(yīng)變準(zhǔn)則得出了橢圓裂紋壓載條件下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，本文的解析規(guī)律及數(shù)值模擬規(guī)律與室內(nèi)試驗(yàn)一致，驗(yàn)證了本文解析分析及數(shù)值分析的合理性．