基于多尺度小波變換WNN的灌區(qū)灌溉水量研究

郭兵托，孫素艷，張金萍，李佳藝

（1.黃河勘測(cè)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司 河南 鄭州450003；2.水利部 水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)總院，北京100120；3.鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，河南鄭州450001；4.山西省太原市水利科學(xué)研究所，山西 太原030002）

1 前 言

灌溉用水對(duì)灌區(qū)作物生長(zhǎng)尤為重要，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)灌區(qū)的灌溉水量是實(shí)現(xiàn)節(jié)水、安全生產(chǎn)和糧食增產(chǎn)的重要途徑。在灌區(qū)水資源系統(tǒng)中，水文要素具有明顯的不確定性和隨機(jī)性，很難用線性關(guān)系來合理反映不同要素間所蘊(yùn)含的內(nèi)在聯(lián)系。在水文分析和水文預(yù)測(cè)中，具有自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)、聯(lián)想存儲(chǔ)、高速尋找優(yōu)化解的能力和適用于解決非線性問題的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN），應(yīng)用越來越廣泛并取得了較好效果。胡鐵松等［1］對(duì)水文學(xué)及水資源領(lǐng)域應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的情況作了總結(jié)；龐博等［2］將總徑流線性響應(yīng)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合，利用流量資料進(jìn)行預(yù)測(cè)，取得了較好的效果。自1992年Zhang Qinhua和Benveniste提出小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（WNN）的概念和算法［3］后，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開始被應(yīng)用于水文領(lǐng)域。馮艷等［4］用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)水稻的需水量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；Kisi［5］利用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與小波分析耦合建模進(jìn)行月徑流量預(yù)測(cè)，并與前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了比較，反映出此模型的優(yōu)越性；Adamowski等［6］將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與離散小波變換結(jié)合，闡明其在季節(jié)性河流徑流預(yù)測(cè)中的適用性；郭其一等［7］利用小波-模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)水文時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，取得了良好的預(yù)測(cè)效果；朱躍龍等［8］為了提高水文時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度，提出了一種多因子小波預(yù)測(cè)模型。

上述研究利用單純分析宏觀時(shí)間序列變化對(duì)水文變量進(jìn)行解釋、預(yù)測(cè)，模型預(yù)測(cè)能力有限。筆者對(duì)水文變量時(shí)間序列利用小波變換進(jìn)行分解，得到的小波系數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入條件，參與到水文時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型中，讓小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)多個(gè)時(shí)間序列的小波系數(shù)的時(shí)變特征和預(yù)測(cè)目標(biāo)時(shí)間序列之間的映射關(guān)系，以陸渾灌區(qū)為研究對(duì)象，選取灌區(qū)水資源系統(tǒng)中影響較大的3個(gè)因素（降雨量、作物需水量和灌溉水量）構(gòu)建多尺度小波變換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（WNN）模型，并與原始序列的單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)比分析，期望可以改善模型的預(yù)測(cè)能力。

2 研究方法

多尺度小波變換WNN是一種將離散小波變換得到小波系數(shù)，以此作為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入的模型。它結(jié)合小波分解后體現(xiàn)的多尺度信息，并利用小波基函數(shù)作為激勵(lì)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。

2.1 小波變換

小波變換是一種將時(shí)間信號(hào)變換到時(shí)間頻率域的時(shí)頻分析方法，將水資源系統(tǒng)中的時(shí)間序列進(jìn)行多尺度分析，可以更好地觀察信號(hào)的時(shí)間和頻率信息。

設(shè)子小波函數(shù) ψ（t） ∈ L2（R）［L2（R） 表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的空間信號(hào)［9］］，將母小波經(jīng)平移和伸縮得小波序列，又稱子小波：

式中：a為伸縮因子或尺度因子；b為平移因子；t為時(shí)間。

對(duì)于能量有限信號(hào)f（t）∈L2（R），其連續(xù)小波變換定義為

式中： Wf（a，b） 為小波實(shí)部系數(shù)； ψ（） 為 ψ（） 的復(fù)共軛函數(shù)。

實(shí)際工作中，時(shí)間序列常常是離散的［10］，如f（kΔt）（k ＝ 1，2…，N） ，離散小波公式為

式中：Δt為取樣時(shí)間間隔；N為樣本容量。

實(shí)際水文序列是離散的，因此利用離散小波變換對(duì)水文序列進(jìn)行分解，得到不同時(shí)間尺度的小波系數(shù)［11］。這些小波系數(shù)是水文序列在不同時(shí)間尺度和不同空間位置上的投影，能用來描述水文序列的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和變化特性。

2.2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的思想是用小波函數(shù)作為神經(jīng)元的基函數(shù)，經(jīng)過仿射變換建立起小波變換和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重系數(shù)之間的聯(lián)系，并將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于函數(shù)逼近問題的求解［12］。同使用sigmoid型基函數(shù)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有任意逼近非線性函數(shù)的能力，同時(shí)，由于小波變換具有較好的時(shí)頻特性，因此可以對(duì)尺度參數(shù)和平移參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，更快、更精確地逼近非線性函數(shù)。另外，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還可以避免神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中的局部最優(yōu)問題。圖1為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

圖1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

通常所說的WNN是緊致型的，即用小波函數(shù)代替S函數(shù)作為隱含層的激活函數(shù)［4］。本文采用Morlet小波函數(shù)（該小波為有限支撐、對(duì)稱、余弦調(diào)制的高斯波）作為網(wǎng)絡(luò)隱含層的激勵(lì)函數(shù)。其中：輸入樣本的個(gè)數(shù)、輸入層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、輸出層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m、p、n、q；輸入層樣本元素為xkm；輸入樣本對(duì)應(yīng)的輸出值為yim；連接輸入層和隱含層的權(quán)重為wij；連接隱含層和輸出層的權(quán)重為wjk；小波函數(shù)表示為 Jj（aj，bj） ，第 j個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的伸縮系數(shù)和平移系數(shù)分別為aj和bj；作用于輸出層的純線性函數(shù)用f表示，則WNN的模型為

3 實(shí)例研究

3.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

陸渾灌區(qū)位于河南省西部，北溫帶南緣，屬于大陸性季風(fēng)氣候區(qū)。灌區(qū)處于伏牛山北麓、嵩山和熊耳山圍成的谷地，范圍涉及洛陽(yáng)、平頂山、鄭州三市［13］。灌區(qū)縱跨黃淮流域，主要供水水源為伊河上游的陸渾水庫(kù)，設(shè)計(jì)灌溉面積89 493 hm2，主要種植作物為小麥、玉米和棉花［14］。灌區(qū)多年平均降水量為600 mm，多年平均蒸發(fā)能力為1034.32 mm，容易發(fā)生氣象干旱。研究采用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)為陸渾灌區(qū)1970—2013年的年灌溉用水量系列數(shù)據(jù)（來自陸渾灌區(qū)灌溉管理局），以及選取1970年1月1日—2013年12月31日的主要來源于中國(guó)氣象科學(xué)數(shù)據(jù)共享服務(wù)網(wǎng)的逐日氣象數(shù)據(jù)（平均相對(duì)濕度、最高氣溫、最低氣溫、日照時(shí)數(shù)、降雨量、平均風(fēng)速等），同時(shí)選取灌區(qū)所覆蓋的鄭州、洛陽(yáng)、平頂山三市的氣象觀測(cè)站1970—2013年的逐日資料，經(jīng)過篩選并將逐日的數(shù)據(jù)匯總，得到1970—2013年逐年降雨量數(shù)據(jù)［15］。陸渾灌區(qū)作物需水量計(jì)算采用作物系數(shù)法，基本公式為

式中：KC為作物系數(shù)，根據(jù)陸渾灌區(qū)實(shí)際，KC取值為0.77；ET0為參考作物騰發(fā)量，利用1998年 FAO推薦的Penman-Monteith公式計(jì)算得到。

圖2為1970—2013年陸渾灌區(qū)的年降雨量（P）、作物需水量（ETC）和灌溉水量（Irri）數(shù)據(jù)序列。

圖2 陸渾灌區(qū)1970—2013年降雨量、作物需水量和灌溉水量數(shù)據(jù)序列

3.2 多尺度小波變換WNN模型的建立

在灌溉水量預(yù)測(cè)中構(gòu)建多尺度小波變換WNN，建模過程如下。

（1）基于水文序列是離散的這一性質(zhì)，取Daubechies（db6）小波系對(duì)陸渾灌區(qū)1970—2013年降水及作物需水量時(shí)間序列進(jìn)行5尺度水平分解，得到不同尺度下的低頻部分和高頻部分，從而得出灌區(qū)供需序列高頻部分d1～d5及趨勢(shì)項(xiàng)a5的序列系數(shù)，反映出時(shí)間序列的周期性和趨勢(shì)性。

（2）確定輸入、輸出樣本對(duì)?？紤]到要將小波變換WNN模型預(yù)測(cè)的數(shù)值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較，于是選取1970—2003年年降雨量和年作物需水量的低頻趨勢(shì)項(xiàng) a5和高頻部分 d1、d2、d3、d4、d5共 12 組數(shù)據(jù)序列作為樣本輸入，灌溉水量作為期望輸出。由于灌溉水量供需預(yù)測(cè)中，降雨量和ETC的單位是mm，而灌溉水量的單位是億m3，具有不同的物理意義，因此需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，本文采用 MATLAB里的mapminmax函數(shù)進(jìn)行歸一化。

（3）確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。輸入層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)p、輸出層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)q均由樣本的模式特征決定，隱含層的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) n 由 min（p，q）＜n≤2p+1 確定；初始權(quán)值、小波函數(shù)的伸縮系數(shù)、平移系數(shù)在網(wǎng)絡(luò)參數(shù)初始化時(shí)隨機(jī)得到。

（4）網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的反復(fù)調(diào)整。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值參數(shù)修正算法采用梯度修正法修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和小波基函數(shù)參數(shù)，從而使小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)輸出不斷逼近期望輸出。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)修正過程如下。

①計(jì)算網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)誤差e：

式中：yn（k）為期望輸出；y（k）為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)輸出。

式中：η為學(xué)習(xí)速率。

輸入層、隱含層和輸出層分別含有12、6和1個(gè)節(jié)點(diǎn)，最終確定小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為12-6-1。采用梯度學(xué)習(xí)算法用訓(xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)反復(fù)訓(xùn)練100次。用訓(xùn)練好的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)灌溉水量，并對(duì)預(yù)測(cè)進(jìn)行分析。

4 對(duì)比分析

4.1 總體分析

為檢驗(yàn)多尺度小波變換WNN的預(yù)測(cè)能力，與未分解數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）輸入的單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、雙隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差進(jìn)行對(duì)比，見圖3。4種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差見表1。

圖3 4種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差對(duì)比

表1 4種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的平均相對(duì)誤差

由圖3和表1可以看出，在進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練逼近實(shí)際灌溉水量時(shí)，多尺度小波變換WNN在預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性方面有較大提高。2006年雙隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相對(duì)誤差最大，2008年單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相對(duì)誤差最大，而小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多尺度小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相對(duì)誤差比較穩(wěn)定。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)除了2006年的相對(duì)誤差較高外，其他預(yù)測(cè)年份的相對(duì)誤差均在20%左右；多尺度小波變換WNN的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差均在20%以下，且整體波動(dòng)比較平緩，相對(duì)誤差平均值最小，為12.60%，說明小波函數(shù)的非線性程度明顯比Sigmoid函數(shù)要高，因此在逼近非線性函數(shù)時(shí)，小波函數(shù)的逼近能力更強(qiáng)，也說明將原始數(shù)據(jù)通過小波變換分解后得到的多尺度小波數(shù)據(jù)，因內(nèi)在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和變化特性被分解出來，使得小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性函數(shù)的能力變強(qiáng)。

4.2 分組分析

定量預(yù)測(cè)方法包括時(shí)間序列預(yù)測(cè)法和因果關(guān)系預(yù)測(cè)法［17］。因果關(guān)系預(yù)測(cè)法包括回歸分析法、Markov預(yù)測(cè)、灰色系統(tǒng)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)法等。時(shí)間序列法需要的數(shù)據(jù)資料較少，短期預(yù)測(cè)時(shí)可使用；較長(zhǎng)時(shí)間預(yù)測(cè)采用因果關(guān)系預(yù)測(cè)法較準(zhǔn)。因果關(guān)系預(yù)測(cè)法所需數(shù)據(jù)較多，通常要求占有的數(shù)據(jù)時(shí)間應(yīng)為預(yù)測(cè)時(shí)間的3倍以上；按預(yù)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)短又分為長(zhǎng)期預(yù)測(cè)（5～10 a及以上）、中期預(yù)測(cè)（2～5 a），短期預(yù)測(cè)（1 a 內(nèi)）［18］。 本文采用神經(jīng)網(wǎng)路預(yù)測(cè)法（屬于因果關(guān)系預(yù)測(cè)法）進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，考慮到建模數(shù)據(jù)是預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的3倍以上和預(yù)測(cè)時(shí)間為5～10 a，于是將建模和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)劃分為4種情況（見表2），分別預(yù)測(cè)10組、9組、8組和7組數(shù)據(jù)，目的在于除了掌握總體的相對(duì)誤差趨勢(shì)和平均相對(duì)誤差外，還需要對(duì)模型在異變值上的預(yù)測(cè)能力進(jìn)行對(duì)比分析［19］，結(jié)果見圖4～圖7和表3。

表2 建模數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)分組情況 a

圖4 預(yù)測(cè)9 a幾種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差對(duì)比

圖5 預(yù)測(cè)8 a幾種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差對(duì)比

圖6 預(yù)測(cè)7 a幾種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差對(duì)比

圖7 4種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)4種數(shù)據(jù)組合下的平均相對(duì)誤差折線

從圖4、圖5和圖6看出，預(yù)測(cè)年份2006年和2008年的相對(duì)誤差都較大，在2006年和2008年，實(shí)際的灌溉水量形成了兩個(gè)明顯的拐點(diǎn)，偏離平均變化趨勢(shì)較大，但多尺度小波變換WNN的相對(duì)誤差仍然較小，而另外3種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相對(duì)誤差都明顯增大。當(dāng)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為9 a時(shí)，在2006年單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對(duì)誤差最大，為50%左右；當(dāng)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為8 a時(shí)，在2006年、2008年單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對(duì)誤差再次最大，分別約為35%、38%；當(dāng)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為7 a時(shí)，在2008年小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對(duì)誤差最大，為30%左右。

實(shí)際上2006年和2008年的降雨量和作物需水量均屬于正常水平，但是實(shí)際的灌溉水量卻較正常水平偏差較大，分別為 1.24 億 m3（偏低）和 2.55 億 m3（偏高），這可能是受到上游來水和水庫(kù)調(diào)度影響所致。

表3 4種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)4種數(shù)據(jù)組合下的平均相對(duì)誤差 %

通過表3、圖7看出，單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、雙隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)預(yù)測(cè)年數(shù)逐漸減少，即隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)逐漸增多，平均相對(duì)誤差均在減小，說明構(gòu)建的模型隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增多而變得更加穩(wěn)定，平均相對(duì)誤差變化范圍分別是 10.89%～20.14%、9.63%～18.21%和 8.77%～16.78%，最大值是最小值的2倍左右。而多尺度小波變換WNN并沒有隨著預(yù)測(cè)年份的減少（即訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增多），平均相對(duì)誤差有較大變化，波動(dòng)范圍是12.60%～14.79%，說明當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)足夠多時(shí)，增加或者減少一組數(shù)據(jù)并不會(huì)對(duì)模型的穩(wěn)定性及預(yù)測(cè)精度有明顯的影響。

5 結(jié) 論

以陸渾灌區(qū)1970—2013年的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為實(shí)證構(gòu)建多尺度小波變換WNN，并將數(shù)據(jù)分別分成預(yù)測(cè)10、9、8、7 a四種情況，利用單隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、雙隱層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并基于4種模型的4種數(shù)據(jù)分組情況，進(jìn)行了綜合對(duì)比分析，得到以下結(jié)論。

（1）多尺度小波變換WNN在預(yù)測(cè)結(jié)果的總體平均值、穩(wěn)定性及波動(dòng)性和突變值上都比別的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)誤差更小，精度更高，表現(xiàn)出了明顯的預(yù)測(cè)優(yōu)勢(shì)。但對(duì)個(gè)別點(diǎn)的擬合存在一定的偏差，說明多尺度小波變換WNN還有需要改進(jìn)的地方，例如網(wǎng)絡(luò)權(quán)值與小波參數(shù)的調(diào)整尋求更加優(yōu)越的方法，訓(xùn)練誤差方式的選取也有很大的發(fā)展空間等。

（2）本研究?jī)H是灌區(qū)供需水量預(yù)測(cè)技術(shù)方法層面的一種簡(jiǎn)單嘗試，雖然多尺度小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在陸渾灌區(qū)供需水量預(yù)測(cè)中獲得了較滿意的應(yīng)用效果，但這僅是以陸渾灌區(qū)為例進(jìn)行的分析，研究結(jié)果是否具有普適性還有待進(jìn)一步研究。