帶乘性退化噪聲的準地轉(zhuǎn)流方程的遍歷

王 顏, 陳光淦, 汪 品

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

關(guān)于小Rossby常數(shù)流的準地轉(zhuǎn)流方程在地球物理流體力學(xué)和海洋大氣科學(xué)中被廣泛使用.它們不僅用來模擬和預(yù)測中緯度海洋、中緯度天氣尺度斜壓系統(tǒng)的演變發(fā)展過程、大氣環(huán)流、大尺度能量循環(huán)以及數(shù)值預(yù)報模式等,而且用來研究穩(wěn)定性、鋒生作用和混沌[1-3].

本文考慮帶有界乘性退化噪聲的準地轉(zhuǎn)流方程

(1)

其中,ψ(t,x,y)是流函數(shù),有界區(qū)域D?R2帶光滑邊界,β≥0是Coriolis參數(shù)的徑向梯度,ν>0是粘性耗散常數(shù),r>0是Ekman耗散常數(shù).記J(f,h)為Jacobian算子,定義為

J(f,h)=▽⊥·▽h=fxhy-fyhx,

隨機準地轉(zhuǎn)流方程是一類具有隨機速度場的地球物理流體運動模型.來自流體域的逃逸概率和在流體域上的平均停留時間定量描述了不同特征運動流型之間的流體運動.Brannan等[4]研究了在隨機擾動下準地轉(zhuǎn)流的噴射流模型,并對方程中的參數(shù)進行了數(shù)值模擬.Brannan等[5]還研究了在有界區(qū)域上,隨機準地轉(zhuǎn)流方程在弱條件下,關(guān)于全局解的存在性和唯一性.Duan等[6]研究了不變測度的存在唯一性,進一步證明了隨機準地轉(zhuǎn)流方程的遍歷性.通常在非退化噪聲的擾動下,不對Coriolis參數(shù)、粘性耗散常數(shù)以及Ekman耗散常數(shù)做限制,結(jié)合強Feller性和不可約性,由Doob定理導(dǎo)出不變測度的唯一性,從而獲得方程的遍歷性.

當隨機系統(tǒng)的噪聲是退化時,其所對應(yīng)的Malliavin協(xié)方差算子不可逆,從而導(dǎo)致系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率半群的強Feller性不滿足.因此,隨機系統(tǒng)的遍歷研究遇到困難.Hairer等[7]提出了用轉(zhuǎn)移概率半群的漸近強Feller性來代替通常的強Feller性,使得隨機系統(tǒng)的遍歷研究獲得轉(zhuǎn)機,并成功應(yīng)用在二維的Navier-Stokes退化隨機系統(tǒng)的研究上.對于一個退化隨機系統(tǒng),關(guān)于轉(zhuǎn)移概率半群的漸近強Feller性的證明也是相當困難,這吸引了眾多數(shù)學(xué)家的關(guān)注[8-11].Yang等[12]研究了系統(tǒng)(1)帶加性退化噪聲的情形.本文特別關(guān)心帶有界乘性退化噪聲的準地轉(zhuǎn)流方程(1),證明系統(tǒng)(1)是遍歷的.

1 預(yù)備知識

本文設(shè)Wk,p為Sobolev空間,記

H0(D):=L2(D),Hk(D):=Wk,2(D).

記‖·‖和〈·,·〉分別為L2(D)的范數(shù)和內(nèi)積.

Laplace算子Δ:L2(D)→L2(D),

作投射

算子Q:L2(D)→L2(D)是一個非負對稱的線性連續(xù)算子,其共軛算子為Q*,Qei=qiei,設(shè)

設(shè)W是L2(D)值Q-Wiener過程,滿足下述條件

設(shè)函數(shù)g:H→L2(L2,L2)是有界的Lipschitz連續(xù)的可逆算子,g滿足

‖g(u)-g(v)‖L2(L2,L2)≤Lg‖u-v‖,

‖F(xiàn)g(g(u))‖2≤L,

設(shè)

其中,Fg為函數(shù)g的Fréchet微分.

Brannan等[5]獲得了在有界區(qū)域D?R2上,方程(1)在C([0,T];L2(D))中解u(t)的存在性和唯一性.定義

Ptφ(u0)=Eφ(u(t,ω;u0)),t≥0,

初值條件u0∈L2(D),以及任意φ∈Cb(L2).給定ξ∈L2(D),設(shè){Js,t}s≤t是由時間s到t的微分流形,Js,tξ是下述方程的解

dJs,tξ=(νΔJs,tξ-J(ψ(u),Js,tξ)-

J(ψ(Js,tξ),u)-β(ψ(Js,tξ))x-rJs,tξ) d t+

Fg(g(u))Js,tξdW,

其初始值為Js,sξ=ξ,其中,Δ(ψ(u))=u,

Δ(ψ(Js,tξ))=Js,tξ,

記

Φt(ω;u0)=u(t,ω;u0),
ω∈C([0,t];Rn)

Dvu(t,ω;u0)=

設(shè)Atv=Dvu(t,ω;u0),因此

dAtv=(νΔAtv-J(ψ(u),Atv)-

J(ψ(Atv),u)-β(ψ(Atv))x-rAtv+

g(u)v(t))dt+Fg(g(u))AtvdW,

其初始值為A0v=0.由Duhamel原則有

引理 1.1[13]設(shè)D?Rn是一個有界開集,s1,s2,s3∈R,使得當0≤s1≤l,0≤s2≤l-1,并且假設(shè)下述條件成立:

則

|b(u,v,w)|≤

其中

2 遍歷

引理 2.1存在常數(shù)C>0和η*>0,使得對所有的t>0以及η∈(0,η*],

Eexp(η‖u(t)‖2)≤

(2)

其中F(u)=-J(ψ,u)-βψx-ru.運用Gronwall不等式有

故

即

因此,引理2.1得證.

引理 2.2存在常數(shù)C>0和η*>0,使得對η∈(0,η*],

(3)

令

N(s,t)=η‖u(s)‖2+

其中

是連續(xù)的鞅,由

得

因此

根據(jù)鞅指數(shù)不等式有

當s≥0時,有

B0(t-s))}|Fs)≤2exp(η‖u(s)‖2),

關(guān)于Fs取期望,再運用引理2.1,引理2.2得證.

命題 2.1(漸近強Feller性) 存在常數(shù)N*∈N,η>0,存在常數(shù)C>0,δ>0,使得

‖▽Ptφ(u0)‖≤

Ceη‖u0‖2(‖φ‖∞+e-δt‖▽φ‖∞).

(4)

證明讓ξ∈L2(D),滿足

‖ξ‖=1,ξ=ξl+ξh∈L2(D).

設(shè)ρ=J0,tξ-Dvu=J0,tξ-A0,tv滿足下述方程

dρ=(νΔρ-J(ψ(u),ρ)-J(ψ(ρ),u)-

β(ψ(ρ))x-rρ-g(u)v(t))dt+

Fg(g(u))ρdW,

(5)

其初始值ρ(0)=ξ.

定義

設(shè)ρ=ξ=ξl+ξh,因此

dξ=(νΔξ-J(ψ(u),ξ)-J(ψ(ξ),u)-

β(ψ(ξ))x-rξ-g(u)v(t))dt+

Fg(g(u))ξdW.

(7)

令

νΔξl-πl(wèi)F(u,ξl+ξh),

(8)

結(jié)合(5)～(8)式有

dξh(t)=(νΔξh-πhF(u,ξl+ξh))dt+

Fg(g(u))ξdW,

(9)

其中

F(u,ξl+ξh)=
J(ψ(u),ξl+ξh)+J(ψ(ξl+ξh),u)+
β(ψ(ξl+ξh))x+r(ξl+ξh).

下面將證明對任何的η>0以及p≥1,存在C,γ>0使得當λN足夠大的時候,有

E‖ξ(t)‖p≤Ceη‖u0‖2-γt.

(10)

d‖ξh(t)‖2=2〈ξh,νΔξh〉dt-

2〈ξh,πhF(u,ξl+ξh)〉dt+

2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉=:I1+I2+I3+I4.

下面依次估計I1、I2、I3,首先

I1=〈ξh,νΔξh〉=-ν‖▽ξh‖2.

其次

|I2|=〈ξh,πhF(u,ξl+ξh)〉=

〈ξh,πhJ(ψ,ξl+ξh)〉+〈ξh,πhJ(ψ(ξl+ξh),u)〉+

〈ξh,πhβ(ψ(ξl+ξh))x〉+

〈ξh,πhr(ξl+ξh))〉=:J1+J2+J3+J4,

J1=〈ξh,πhJ(ψ,ξl+ξh)〉=

〈ξh,J(ψ,ξl)〉+〈ξh,J(ψ,ξh)〉.

根據(jù)分部積分

〈ξh,J(ψ,ξh)〉=0,

以及

〈ξh,J(ψ,ξl)〉=-〈▽ξh,▽⊥ψξl〉,

因此

J2=〈ξh,πhJ(ψ(ξl+ξh),u)〉=

〈ξh,▽⊥ψ·▽u〉≤

J3=〈ξh,πhβ(ψ(ξl+ξh))x〉=

β〈ξh,πh(ψ(ξl+ξh))x〉=

β〈ξh,πh(-Δ)-1?xξl〉+

β〈ξh,πh(-Δ)-1?xξh〉≤

β‖ξh‖‖ξl‖H-1≤

Cβ(‖ξh‖2+‖ξl‖2).

J4=〈ξh,πhr(ξl+ξh)〉=

r〈ξh,ξh〉=r‖ξh‖2.

由J1～J4估計|I2|得到

Cβ(‖ξl‖2+‖ξh‖2)+r‖ξh‖2.

最后

L(‖ξl‖2+‖ξh‖2).

根據(jù)I1、I2、I3的估計以及

得

d‖ξh(t)‖2≤2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉+

2〈ξh,Fg(g(u))ξdW〉+

進一步

dE‖ξh(t)‖2≤

由Gronwall不等式有

當λN足夠大時,根據(jù)

運用引理2.2,可得(10)式成立.

要完成命題2.1的證明,還需要估計

(11)

(12)

因此,只需證明

(13)

由G(s)=g(u(s))v(s),利用H?lder不等式得

接下來估計E‖G(s)‖2.

定義函數(shù)

有

E‖G(s)‖2=

CN{1{s≤2}+E‖νΔξ1‖2+E‖πl(wèi)F(u,ξ)‖2},

由

‖πl(wèi)F(u,ξ)‖≤C‖u‖‖ξ‖,

有

因此

E‖G(s)‖2≤

再根據(jù)引理2.1和(10)式,對任意的η>0,存在一個常數(shù)C>0,使得(11)成立.最后,證明(4)式.

通過分部積分、Mallivin算子、鏈式法則以及H?lder不等式,可以得到

|〈▽Ptφ(u0),ξ〉|=E((▽φ)(u(t))·Jtξ)=

E((▽φ)(u(t))Atv)+E((▽φ)(u(t))ρ)=

E((Dvφ)(u(t)))+E((▽φ)(u(t))ρ)=

由上式和(10)、(11)式,可得(4)式成立.

命題 2.2(不可約性) 0屬于轉(zhuǎn)移概率半群{Pt}t≥0的不變測度μ的支集.

‖u(t)‖2≤

從而

由Burkholder-Davis-Gundy不等式以及H?der不等式,有

因此

由Gronwall不等式得

于是有

E‖u(t)‖2≤CB0,r,ν,t∈[0,T],

E‖u(t;x)‖≤CB0,r,ν,t∈[0,T].

根據(jù)Markov不等式,對ε>0有

Pt(x,Bε)>0,

其中,Bε={y∈L2(D),‖y-0‖≤ε}.因此

命題2.2得證.

定理2.1帶有界乘性退化噪聲的準地轉(zhuǎn)流方程是遍歷的.

證明用Brannan等[6]的方法易得系統(tǒng)(1)的不變測度μ的存在性.進一步,由命題2.1及命題2.2獲得不變測度μ的唯一性,因而方程(1)是遍歷的.