論克拉維烏斯的二重雙假設(shè)法求解公式的一致性

劉 迪，趙繼偉

(西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院, 陜西 西安 710127)

雙假設(shè)法最早記載于中國(guó)古典數(shù)學(xué)名著《算數(shù)書(shū)》和《九章算術(shù)》,后來(lái)成為中國(guó)古代數(shù)學(xué)家求解二元線性問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)算法。中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家對(duì)該方法做出了重要貢獻(xiàn),例如,9世紀(jì)庫(kù)斯塔·伊本·盧卡(Qusta ibn luqa,C.820-912)首次給出雙假設(shè)法的幾何證明,阿布·卡米爾(Abu Kamil,C.850-C.930)著有《雙假設(shè)法之書(shū)》(KitabalKhataayn)[1]。

對(duì)于求解多元線性方程組問(wèn)題,中國(guó)古算中使用方程術(shù)(亦稱消元法),而歐洲數(shù)學(xué)家走的是另一條路徑。13世紀(jì)初,意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(Fibonacci,C.1170-C.1250)在《計(jì)算之書(shū)》(LiberAbaci,1202)第13章中,運(yùn)用多重雙假設(shè)法求解了多元線性方程組[2-3],其后三百多年歐洲數(shù)學(xué)家沿用了他的方法。直至16世紀(jì)后期,德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維烏斯(Christopher Clavius,1538—1612)在《算術(shù)實(shí)踐概要》(EpitomeArithmeticaePracticae,1583)第23章中討論用雙假設(shè)法求解三元線性方程組時(shí)[4],才首次對(duì)斐波那契的方法做出簡(jiǎn)化。其中他提出:在運(yùn)用二重雙假設(shè)法求出三元線性方程組的一個(gè)未知量之后,可以不必對(duì)其他兩個(gè)未知量繼續(xù)使用雙假設(shè)法求解,而是可以通過(guò)將第一次求解過(guò)程中所產(chǎn)生的相應(yīng)數(shù)據(jù)直接代入“求解公式”而得出結(jié)果;也就是說(shuō),他對(duì)3個(gè)未知量使用了一致的求解公式。

目前學(xué)者對(duì)雙假設(shè)法的研究主要包括對(duì)其起源的探究[5-7],利用相似三角形推導(dǎo)雙假設(shè)法求解公式[8-9],分析該方法與單假設(shè)法的區(qū)別與聯(lián)系[10-11]及雙假設(shè)法在非線性方程求解中的應(yīng)用[12-15]等方面?！端惴ㄊ贰?AHistoryofAlgorithms,1999)[1]中對(duì)克拉維烏斯使用雙假設(shè)法的一個(gè)例子給出了英文翻譯(原文為拉丁語(yǔ)),并試圖用現(xiàn)代行列式理論解釋克拉維烏斯二重雙假設(shè)法求解公式的一致性,但我們將指出其解釋并不能令人滿意。圍繞克拉維烏斯雙假設(shè)法求解公式的一致性,本文將討論以下3個(gè)問(wèn)題:

1)克拉維烏斯如何簡(jiǎn)化了雙假設(shè)法的計(jì)算程序;

2)用空間解析幾何知識(shí)解釋雙假設(shè)法求解公式一致性的數(shù)學(xué)原理;

3)提出克拉維烏斯發(fā)現(xiàn)求解公式一致性的一種可能思路。

1 克拉維烏斯的雙假設(shè)法對(duì)斐波那契的簡(jiǎn)化

1.1 斐波那契與克拉維烏斯的雙假設(shè)法的異同

在《計(jì)算之書(shū)》第13章中,對(duì)于二元線性方程組問(wèn)題

斐波那契首先將x的假值x1代入其中一個(gè)方程,得到問(wèn)題的假解(x1,y1);然后將其代入另一個(gè)方程,得到差值

e1=a2x1+b2y1-d2;

同理可得假解(x2,y2)及其差值

e2=a2x2+b2y2-d2;

接下來(lái)就可以利用雙假設(shè)法的求解公式

得到x的真值;最后將x0直接代入任一個(gè)方程即得y的真值y0。

對(duì)三元線性方程組問(wèn)題,斐波那契針對(duì)兩種不同類型的問(wèn)題給出了不同的解法。第一類問(wèn)題屬于特殊問(wèn)題,其題設(shè)條件比較簡(jiǎn)單,亦即如果求出了一個(gè)未知量,那么其他兩個(gè)未知量可以直接通過(guò)代入法遞次求出。對(duì)于這類問(wèn)題,斐波那契先使用一次雙假設(shè)法求出一個(gè)未知量的值,比如設(shè)為x0;然后根據(jù)題設(shè)條件的特殊性,將x0的值代入原方程組而直接得到另外兩個(gè)未知量的值y0和z0。也就是說(shuō),此時(shí)他僅使用了一次雙假設(shè)法和代入法就解決了三元線性方程組的問(wèn)題。

第二類三元線性方程組的問(wèn)題屬于一般問(wèn)題,其題設(shè)條件比較復(fù)雜,求出一個(gè)未知量的值以后,無(wú)法通過(guò)代入法而直接得到其他未知量的值。如第三個(gè)“三人有第納爾”問(wèn)題[3],此時(shí)相當(dāng)于求解形如

的三元線性方程組,斐波那契求解x的真值x0的步驟如圖1所示。他首先設(shè)出x的假值x1,將其代入比如前兩個(gè)方程,得到關(guān)于y,z的二元線性方程組

然后利用一次雙假設(shè)法求出上述二元方程組的解(y1,z1),即得問(wèn)題的假解(x1,y1,z1)。同理,他設(shè)出x的另一個(gè)假值x2,并再次利用雙假設(shè)法求解代入x2后所得的方程組

圖1 二重雙假設(shè)法相同步驟程序圖Fig.1 Flow diagram of the same procedure of twofold double false positions

得到問(wèn)題的另一個(gè)假解(x2,y2,z2)。至此,他第三次運(yùn)用雙假設(shè)法,將兩個(gè)假解(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分別代入第三個(gè)方程,得到對(duì)應(yīng)的差值分別為

e1=a3x1+b3y1+c3z1-d3

和

e2=a3x2+b3y2+c3z2-d3,再由雙假設(shè)法求解公式即得x的真值x0。不難看出,斐波那契在求解x的真值的過(guò)程中運(yùn)用了嵌套式的雙假設(shè)法,其中前兩次用來(lái)求兩個(gè)假解的雙假設(shè)法作為第一重嵌套在用來(lái)求x的真值的第三次雙假設(shè)法內(nèi),整個(gè)求解程序共使用了3次雙假設(shè)法,我們把這種做法稱為二重雙假設(shè)法(亦有學(xué)者稱為多重假令法[6]),而把不含嵌套的雙假設(shè)法稱為[一重]雙假設(shè)法。

求出x的真值x0以后,斐波那契將其代入比如前兩個(gè)方程,得到關(guān)于y,z的二元線性方程組

然后第四次運(yùn)用雙假設(shè)法進(jìn)行求解。此時(shí),他并未使用前述兩個(gè)假解(y1,z1)和(y2,z2),而是通過(guò)重新設(shè)出y的兩個(gè)假值y3,y4,得到兩個(gè)新的假解(y3,z3),(y4,z4)及其對(duì)應(yīng)的差值,最終求得問(wèn)題的真解(x0,y0,z0)。綜上所述,斐波那契是通過(guò)一次二重雙假設(shè)法和一次一重雙假設(shè)法而最終求得了上述三元線性方程組的解,過(guò)程中總共使用了4次雙假設(shè)法。

在《算術(shù)實(shí)踐概要》中,克拉維烏斯也是運(yùn)用二重雙假設(shè)法求解上述三元線性方程組中x的真值

并且求解程序與斐波那契相同,如圖1所示。但是,在接下來(lái)求解y0,z0時(shí),他的做法卻與斐波那契具有重要區(qū)別。在求得x0后,對(duì)于y0,z0的求解,克拉維烏斯并未像斐波那契那樣將x0代入原三元方程組的兩個(gè)方程以得到二元方程組,從而也未第四次運(yùn)用雙假設(shè)法,而是直接利用雙假設(shè)法求解公式

得出真解(x0,y0,z0);在上述運(yùn)算中,相關(guān)各量已在求解x0的過(guò)程中悉數(shù)得到。上述做法表明:(1)求出兩個(gè)差值e1和e2之后,每一個(gè)未知量都可以由它的兩個(gè)假值和這兩個(gè)差值通過(guò)相同的運(yùn)算公式解出,因此克拉維烏斯已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了雙假設(shè)法求解公式的一致性,而斐波那契并未認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn);(2)克拉維烏斯求解三元線性方程組時(shí),僅需運(yùn)用一次二重雙假設(shè)法即可同時(shí)求得3個(gè)未知量的值,其做法顯然比斐波那契更為簡(jiǎn)潔,因?yàn)楹笳咄ㄟ^(guò)一次二重雙假設(shè)法只求出了一個(gè)未知量的值。

1.2 求解公式一致性簡(jiǎn)化計(jì)算的量化分析

對(duì)上述問(wèn)題, 斐波那契的求解思路如下。 首先將x的假值x1代入比如前3個(gè)方程, 可得關(guān)于y,z,u的三元線性方程組; 然后利用一次二重雙假設(shè)法和一次一重雙假設(shè)法求出上述三元方程組的解(y1,z1,u1),即得問(wèn)題的假解(x1,y1,z1,u1)。 利用同樣的方法, 可得另一個(gè)假解(x2,y2,z2,u2), 并且這兩個(gè)假解的得出都進(jìn)行了4次雙假設(shè)法的運(yùn)算。 接下來(lái), 運(yùn)用第三重(即第9次)雙假設(shè)法, 將兩個(gè)假解分別代入第四個(gè)方程, 得出相應(yīng)的兩個(gè)差值

e1=a4x1+b4y1+c4z1+f4u1-d4,

e2=a4x2+b4y2+c4z2+f4u2-d4;

再根據(jù)雙假設(shè)法求解公式即得出x的真值x0。 最后, 將x的真值x0代入原方程組中的3個(gè)方程, 得到關(guān)于y,z,u的三元線性方程組, 并再次進(jìn)行4次雙假設(shè)法運(yùn)算, 最終得出原問(wèn)題的真解(x0,y0,z0,u0)。 綜上所述, 斐波那契需要進(jìn)行13次雙假設(shè)法運(yùn)算才能最終解決這個(gè)四元線性方程組的問(wèn)題。

雖然斐波那契并未表述其所使用的雙假設(shè)法可以向n元線性方程組推廣,但通過(guò)其求解的各類實(shí)例不難看出,他已經(jīng)意識(shí)到多重雙假設(shè)法具有一般性,即都是把n元線性方程組的問(wèn)題歸結(jié)為n-1元的問(wèn)題,如此繼續(xù),一直歸結(jié)到二元線性方程組的問(wèn)題。關(guān)于這一點(diǎn),克拉維烏斯在《算術(shù)實(shí)踐概要》中并未運(yùn)用雙假設(shè)法求解多于三元的線性方程組,但當(dāng)問(wèn)題向n元線性方程組推廣時(shí),他關(guān)于雙假設(shè)法求解公式一致性的優(yōu)勢(shì)則會(huì)表現(xiàn)得更加明顯。例如,對(duì)上述四元線性方程組的求解,斐波那契需要進(jìn)行13次雙假設(shè)法的運(yùn)算,但是克拉維烏斯的解法只需要7次雙假設(shè)法的運(yùn)算。

現(xiàn)將斐波那契與克拉維烏斯求解線性方程組時(shí)所需運(yùn)用雙假設(shè)法的次數(shù)作以對(duì)比,如表1所示。

表1 求解線性方程組所需雙假設(shè)法次數(shù)統(tǒng)計(jì)表

Tab.1 Statistical table of the number of double false position solving linear equations

方程組人 名斐波那契克拉維烏斯雙假設(shè)法次數(shù)三元a1=4b1=3四元a2=1+3a1=13b2=1+2b1=7五元a3=1+3a2=40b3=1+2b2=15………n元an-2=1+3an-3bn-2=1+2bn-3

同理,根據(jù)表1第三列可知,{bn+1}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,所以

bn-2=2n-1-1。

綜上可得,對(duì)于n元線性方程組,利用克拉維烏斯的方法要比利用斐波那契的方法所節(jié)省的雙假設(shè)法的運(yùn)算次數(shù)為

l(n)=an-2-bn-2=

這個(gè)表達(dá)式說(shuō)明,當(dāng)n較大時(shí),利用克拉維烏斯關(guān)于雙假設(shè)法求解公式的一致性可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,減少了運(yùn)算量。

2 克拉維烏斯關(guān)于雙假設(shè)法求解公式一致性的數(shù)學(xué)原理

克拉維烏斯不僅認(rèn)識(shí)到雙假設(shè)法求解公式的一致性,并且明確提出,他的做法比前人更好。在《算術(shù)實(shí)踐概要》第23章問(wèn)題2中,克拉維烏斯在運(yùn)用雙假設(shè)法求得x0后,首先采用和斐波那契一樣的直接代入法求得y0，z0,然后利用雙假設(shè)法求解公式的一致性同樣求得y0，z0;在問(wèn)題19中,他提到:

第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)的得出或者是根據(jù)雙假設(shè)法,用第二個(gè)或者第三個(gè)假解乘以相應(yīng)的差值,等等;或者是在第一個(gè)數(shù)求出后,……,第二、三個(gè)數(shù)隨之得到(2)Numeros porro hos secundi & tertij inucnics vel cx regula salsi, multiplican do errorcs per secoundi ac tertij positiones, & c. vel ex primo inuento, quemqdmodu Paulo ante ex 100. & 200. quos numeros posuimus primu habere. numeros secundi, ac tertij inuestigauimus. ([4],184-185頁(yè))。

克拉維烏斯很清楚其新方法的優(yōu)越性。他認(rèn)為,與前人那種“得到第一個(gè)數(shù)之后,需將其代入合適的方程,再通過(guò)雙假設(shè)法求解”的方法相比,他自己的方法更好。

對(duì)于克拉維烏斯能同時(shí)求得三個(gè)未知量的值的做法,亦即其雙假設(shè)法求解公式的一致性,《算法史》試圖利用行列式理論給出現(xiàn)代解釋。該解釋首先通過(guò)兩次設(shè)出假值xi(i=1,2,下同),得到假解滿足的對(duì)應(yīng)三元線性方程組

然后通過(guò)克拉默法則推導(dǎo)出xi的表達(dá)式,最后聯(lián)立兩個(gè)假值xi求得真值

但這只能說(shuō)是推導(dǎo)出了克拉維烏斯雙假設(shè)法的求解公式,而并未達(dá)到試圖解釋其求解公式的一致性的目的,因此該解釋尚不能令人滿意。

關(guān)于求解公式一致性的說(shuō)明,我們提出可以從雙假設(shè)法的幾何原理出發(fā)進(jìn)行探究。其核心思想在于,三元線性方程組

(1)

(2)

(3)

的3個(gè)方程(1)，(2)，(3)可以分別表示三維空間中的3個(gè)平面π1,π2,π3,因此求解該方程組就相當(dāng)于求這3個(gè)平面的交點(diǎn)P0(x0,y0,z0)。

如圖2所示,設(shè)出x的一個(gè)假值x1,將其分別代入式(1)和式(2),可得關(guān)于y,z的二元線性方程組,運(yùn)用雙假設(shè)法可求得問(wèn)題的假解(x1,y1,z1),該假解同時(shí)滿足前兩個(gè)方程,亦即同時(shí)在前兩個(gè)平面上,因此這個(gè)假解是兩平面π1,π2的交線l上的一點(diǎn)P1(x1,y1,z1);同理可得,方程組的另一個(gè)假解(x2,y2,z2)是l上的另一點(diǎn)P2(x2,y2,z2)。這樣,P1,P2兩點(diǎn)就確定了兩平面π1,π2的交線l。

圖2 一重雙假設(shè)法示意圖Fig.2 Schematic diagram of double false position

接下來(lái)如圖3所示,將假解(x1,y1,z1)代入3)式得,

圖3 二重雙假設(shè)法示意圖Fig.3 Schematic diagram of twofold double false positions

a3x1+b3y1+c3z1=d3+e1,

這相當(dāng)于得到了過(guò)點(diǎn)P1且平行于π3的平面S1,其中線段P1P0的長(zhǎng)度由差值e1決定;同理,將另一個(gè)假解(x2,y2,z2)代入式(3)得,

a3x1+b3y1+c3z1=d3+e2,

這相當(dāng)于得到了過(guò)點(diǎn)P2且平行于π3的平面S2,其中線段P0P2的長(zhǎng)度由差值e2決定且滿足

而原方程組的解是平面π1,π2的交線l與平面π3的交點(diǎn)P0(x0,y0,z0),通過(guò)比例關(guān)系

既容易推導(dǎo)出雙假設(shè)法求解公式,也容易解釋該求解公式能夠同時(shí)求出3個(gè)未知量的值,即該求解公式具有一致性。

當(dāng)雙假設(shè)法向n元線性方程組推廣時(shí),仍然可以類似地解釋雙假設(shè)法求解公式的一致性,只不過(guò)此時(shí)平面變成了超平面,直線變成了超直線,點(diǎn)的維度也隨之增加。至此,我們已經(jīng)成功地解釋了克拉維烏斯雙假設(shè)法求解公式一致性的數(shù)學(xué)原理?？死S烏斯當(dāng)然不可能這樣來(lái)思考問(wèn)題,那么他又是如何意識(shí)到其求解公式的一致性的?

3 克拉維烏斯發(fā)現(xiàn)求解公式一致性的一種可能思路

克拉維烏斯的著作《算術(shù)實(shí)踐概要》第23章雙假設(shè)法中共包含22個(gè)問(wèn)題,其中第2，3，5，19，20這5個(gè)問(wèn)題屬于三元線性方程組的問(wèn)題,其余17個(gè)問(wèn)題均為二元線性方程組問(wèn)題。在該章求解過(guò)程中,克拉維烏斯運(yùn)用雙假設(shè)法求解公式的一致性簡(jiǎn)化了前人的計(jì)算步驟,但他只是敘述了其計(jì)算程序并輔以具體實(shí)例說(shuō)明,并沒(méi)有就其發(fā)現(xiàn)求解公式一致性的思路作出說(shuō)明。我們?cè)诒?中總結(jié)出他利用一重或二重雙假設(shè)法求解這5個(gè)三元線性方程組問(wèn)題的運(yùn)算過(guò)程及相應(yīng)結(jié)果。

這里第2,3,19,20這4個(gè)問(wèn)題都是特殊的三元線性方程組問(wèn)題,只要知道了一個(gè)未知量的值,即可由代入法直接得出另外兩個(gè)未知量的值。因此這幾個(gè)問(wèn)題只使用一次雙假設(shè)法即可得出真值x0,繼而由代入法可直接得出真值y0,z0?？死S烏斯在直接代入法之后,又利用其雙假設(shè)法求解公式的一致性更加簡(jiǎn)潔地求解問(wèn)題5所代表的一般三元線性方程組。對(duì)于克拉維烏斯求解公式一致性的發(fā)現(xiàn),我們認(rèn)為,他有可能是在對(duì)上述4個(gè)問(wèn)題計(jì)算求得x0，y0，z0后,觀察到并據(jù)此關(guān)系式推導(dǎo)得出具有一致性的雙假設(shè)法求解公式。事實(shí)上,如果他手頭有類似于表2的圖表,那么根據(jù)上述的4個(gè)例子,是不難發(fā)現(xiàn)其求解公式的一致性的。

表2 克拉維烏斯的二重雙假設(shè)法Tab.2 Twofold double false positions of Clavius

①以《算術(shù)實(shí)踐概要》第23章問(wèn)題的先后對(duì)應(yīng)編號(hào)。

4 結(jié) 語(yǔ)

綜上,我們對(duì)比了斐波那契和克拉維烏斯的二重雙假設(shè)法的異同,指出斐波那契認(rèn)識(shí)到多重雙假設(shè)法的一般性,未認(rèn)識(shí)到求解公式的一致性;而克拉維烏斯則發(fā)現(xiàn)了二重雙假設(shè)法求解公式的一致性,從而能在很大程度上簡(jiǎn)化運(yùn)算。我們對(duì)其簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果給出了量化分析,并解釋了克拉維烏斯求解公式一致性的數(shù)學(xué)原理。進(jìn)一步,我們分析了克拉維烏斯對(duì)5個(gè)三元線性方程組問(wèn)題的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程,認(rèn)為他可能是通過(guò)對(duì)4個(gè)特殊例子的計(jì)算結(jié)果的分析和歸納,而發(fā)現(xiàn)了二重雙假設(shè)法求解公式的一致性。