波浪作用下的直立圓柱陣列水動力波動特性研究

張華慶，王廣原，2，馬朝陽，2，劉文龍，2

(1.交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究所 港口水工建筑技術(shù)國家工程實驗室，天津 300456； 2.天津水運工程勘察設(shè)計院 天津市水運工程測繪技術(shù)重點實驗室，天津 300456)

對海洋平臺、跨海大橋等由直立圓柱陣列進行支撐的系統(tǒng)，在特定的入射波波數(shù)下，波浪的入射能量在圓柱陣列內(nèi)部聚集而無法向無窮遠處發(fā)散，形成“陷波模態(tài)”(Trapped modes)同時產(chǎn)生巨大的激振力。正確認識“陷波模態(tài)”，在設(shè)計時使系統(tǒng)的“陷波模態(tài)”頻率避開海浪能量較大的頻段，就能有效避免由其產(chǎn)生的巨大激振力，對于確保結(jié)構(gòu)的整體安全性具有重要的意義，因此國際學(xué)術(shù)界對“陷波模態(tài)”的物理機制進行了較為深入的研究。

最早提出陷波模態(tài)的是Ursell[1]，他在一個無限長但有限寬的通道中建立了斜坡和單個圓柱體的陷波模態(tài)，并且證明了陷波模態(tài)存在于深水中淹沒的無限長直立圓柱，發(fā)生的條件是圓柱半徑必須足夠小。Callan & Linton & Evans[2]進一步研究了有限寬通道中圓柱體的陷波模態(tài)問題，數(shù)值計算表明，對于任意半徑圓柱小于等于通道寬度一半時，且不僅限于圓柱半徑足夠小，都存在陷波模態(tài)。Maniar & Newman[3]研究了直立單排圓柱陣列的陷波問題，他們認為水動力曲線的激振力幅值尖峰與單排無限長圓柱繞射問題的齊次解有關(guān)，并將該尖峰與發(fā)生在剛性側(cè)壁水槽中的陷波聯(lián)系起來。之后， Newman[4]又研究了直立圓柱體和自由移動剛體不同的陷波模態(tài)。國內(nèi)對大尺度結(jié)構(gòu)的波浪力進行過一些研究[5]，然而對陷波模態(tài)的研究較少，大連理工大學(xué)叢培文[6-7]等對四柱結(jié)構(gòu)的陷波模態(tài)進行了試驗研究，結(jié)果表明即使波陡較大的情況下二階繞射理論也可以很好地對波面高度進行模擬。

“陷波模態(tài)”產(chǎn)生的巨大激振力可能對海洋結(jié)構(gòu)物的瞬時穩(wěn)定性造成影響。而在分析結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性時，有必要考慮完整的水動力曲線，而不能僅考慮“陷波模態(tài)”產(chǎn)生的巨大激振力。本文的研究成果發(fā)現(xiàn)，水動力曲線中激振力尖峰左側(cè)，存在明顯的波動現(xiàn)象。這種波動效應(yīng)目前還未見有學(xué)者進行研究，對該波動現(xiàn)象進一步研究有助于完善對整個水動力曲線的理解。

1 波浪繞射作用下直立圓柱陣列水動力理論

Havelock[8]是最早就無限水深下單個圓柱在入射波作用下繞射問題開展相關(guān)研究的，他提出了相應(yīng)的數(shù)值計算方法。隨后Maccamy & Fuchs[9]將該方法應(yīng)用拓展到有限水深問題，得到了單個直立圓柱體的水平波浪力精確解。之后Spring & Monkmever[10]首次在水波的背景下使用特征函數(shù)展開法，精確求解了線性水波理論下柱體所受激振力及波浪爬升的問題。Linton & Evans[11]對Spring & Monkmever[10]的理論進行簡化，使得波浪力和自由表面振幅的求解得到大幅度簡化。

本文的研究以Linton & Evans[11]的簡化理論為基礎(chǔ)。圓柱群陣列一般形式的坐標(biāo)定義如圖1所示。

在海洋結(jié)構(gòu)物的尺度下，可以認為水的密度不隨時間和空間變化。另外，對于均勻、無粘性不可壓縮流體，如果在任意時刻流場無限，那么在以后的所有時刻流場的流體都是無旋的。基于此，可以認為海洋結(jié)構(gòu)物所處流場中的流體是均勻、無粘、無旋、不可壓縮的。假設(shè)圓柱群陣列共有N個圓柱。以O(shè)為原點，xOy平面位于靜止的自由表面上，原點O位于該面上x、y軸的交點處，Oz軸垂直向上。單個柱體的圓心Oj在總體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(xj,yj)，j=1,…,N。建立N個原點在圓心Oj的局部極坐標(biāo)系Ojrjθjz。這樣，第K個柱體中心Ok在第j柱局部柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可記為(Rjk,αjk,z)j,k=1,…,N。

流場中任意一點的總繞射勢為該點受到的環(huán)境入射勢與所有圓柱產(chǎn)生的繞射勢之和，在第j柱的局部坐標(biāo)系下為

(1)

(2)

(3)

通過物面積分解得第j柱上x方向的波浪力為

(4)

2 模型驗證及算例分析

圖2 單排有限長圓柱陣列示意圖Fig.2 Schematic diagram of an array of cylinders

2.1 模型驗證

本文建立的計算模型與Maniar & Newman[3]的成果進行對比。計算模型如圖2所示，由N個相同圓柱(直徑為2 a)組成，圓柱沿著陣列等間距(間距為2 d)排布，波浪入射角度為β。對比結(jié)果如圖3所示。該模型設(shè)置N=9，K=5，β=0，分別計算a/d=1/4和a/d=1/2情況下，第K柱受到的波浪激振力，其中橫坐標(biāo)表示無量綱化的波數(shù)，縱坐標(biāo)表示無量綱化的激振力。

從對比結(jié)果來看，采用本數(shù)值模型得到的計算結(jié)果在不同波數(shù)下同Maniar的計算結(jié)果吻合良好，證明了本模型的正確性，應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型計算了N=31、51、81、91、101，以及a/d=1/4，1/6，1/8等情況。觀察這些計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)一長排大數(shù)量圓柱群陣列中單個圓柱上的水動力幅值除了由陷波模態(tài)引起的高聳尖峰外，在其尖峰左側(cè)還存在明顯的波動現(xiàn)象。圖4展示了波浪入射角β=0時，單排31柱(N=31)第16柱(K=16)水動力幅值變化曲線。關(guān)于高聳尖峰的物理意義已經(jīng)被深入研究[3]，而尖峰左側(cè)的規(guī)律波動現(xiàn)象(后文簡稱：波動區(qū)域)可能與圓柱群陣列間的波浪繞射有關(guān)。在圖4波動區(qū)域中，相鄰兩個局部極大值點的波數(shù)間距max和相鄰兩個局部極小值點的波數(shù)間距min是相等的，且恒定不變。對于該情況，max=min=0.032 2。對于任意的單排圓柱陣列，max恒等于min且在波動區(qū)域始終保持不變(max=min且與Kd/π無關(guān))。針對該現(xiàn)象，推測其可能與直徑-柱間距之比a/d，圓柱陣列總數(shù)N，圓柱編號K以及波浪入射角度β有關(guān)，現(xiàn)分別進行分析。

3-a a/d=1/43-b a/d=1/2圖3 本文結(jié)果與Maniar結(jié)果對比Fig.3 Comparison of the present author′s result with Maniar′s (1997) result圖4 單排31柱第16柱水動力幅值變化曲線,a/d=1/4,β=0Fig.4 Magnitudes of wave loads on the 16th cylinder of an array consisting of 31 cylinders, a/d=1/4, β=0

5-a K=315-b K=516-a K=316-b K=41圖5 N=101,β=0,第K柱水動力曲線Fig.5 Hydrodynamic curve of the Kth cylinder of an array consisting of 101 cylinders, β=0圖6 N=81,β=0,第K柱水動力曲線Fig.6 Hydrodynamic curve of the Kth cylinder of an array consisting of 81 cylinders, β=0

2.2 直徑-柱間距之比a/d對水動力曲線波動的影響研究

7-a N=1017-b N=81圖7 β=0，不同a/d情況下第K柱水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰的波數(shù)間距測量值散點圖Fig.7 Scatter diagram of measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of Kth cylinder′s hydrodynamic curve in different cases of a/d, β=0.

入射波作用下不同a/d情況單排直立圓柱陣列的水動力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化曲線見圖5、圖6。圖5、圖6分別表示N=101及N=81情形下，第K柱的水動力變化，a/d表示不同a/d下相鄰波峰的波數(shù)距離，可見在不同a/d的情況下，激振力尖峰左側(cè)(波動區(qū)域)均存在明顯波動現(xiàn)象。為了更全面的顯示波峰間距值隨著a/d變化的規(guī)律，圖7展示了上述兩種情形下波動區(qū)域相鄰波峰的波數(shù)距離隨著無量綱波數(shù)kd/π變化的散點圖。令第m個波峰位置橫坐標(biāo)為pm(x)，則散點圖中數(shù)據(jù)點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示為

X=(pm(x)+pm+1(x))/2

(5)

Y=pm+1(x)-pm(x)

(6)

在每一個散點線附近的常數(shù)實心直線是散點圖的漸近線。由圖7可以看出，當(dāng)N，K都確定時，散點圖漸近線的位置不隨a/d的變化而變化。簡言之，單排N柱第K柱的水動力幅值在波動區(qū)域的波動現(xiàn)象與a/d無關(guān)。

2.3 圓柱總數(shù)N對水動力曲線波動的影響研究

圖8 β=0，總數(shù)為N的中間柱水動力曲線Fig.8 Hydrodynamic curve of the middle cylinder of an array consisting of N cylinders, β=0

入射波作用下不同圓柱總數(shù)N情況下中間柱水動力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化曲線見圖8。圖8表示等間距直線布置的直立圓柱陣列在直徑-柱間距比為a/d=1/4，波浪入射角度β=0，圓柱總數(shù)N=31，41，51，81，91，101的中間柱x方向水動力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化情況。從圖8可以看出，中間柱上波浪力幅值的波峰間距均隨著圓柱總數(shù)N的變化而變化。為了更全面的顯示相鄰波峰波數(shù)間距值隨著N變化的規(guī)律，圖9展示了不同圓柱總數(shù)N下中間柱水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值隨著無量綱波數(shù)kd/π變化的散點圖。圖10表示中間柱水動力曲線相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱總數(shù)N的變化，該圖表明，水動力曲線相鄰波峰波數(shù)間距測量值與圓柱總數(shù)N呈反比關(guān)系。

圖9β=0，總數(shù)為N的中間柱水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距測量值散點圖
Fig.9 Scatter diagram of measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the middle cylinder′s hydrodynamic curve in different cases ofN，β=0

圖10β=0，中間柱水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱總數(shù)N的變化圖
Fig.10 Measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the middle cylinder′s hydrodynamic curve in different cases ofN，β=0

2.4 圓柱位置K對水動力曲線波動的影響的研究

入射波作用下第K柱水動力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化曲線見圖11。圖11顯示了圓柱總數(shù)N=101的等間距直線布置的直立圓柱陣列在直徑-柱間距比為a/d=1/4，波浪入射角度β=0，圓柱編號K=1，11，21，31，41，51，61，71，81的圓柱水動力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化情況。圖中，β,N,K表示在入射角為β，圓柱總數(shù)為N，編號為K的圓柱水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距。從圖11可以看出，圓柱上波浪力幅值的波峰間距隨著圓柱編號K的變化而變化。為了更全面的顯示波動現(xiàn)象與位置K的關(guān)系，圖12展示了N=101情況下，第K柱水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值隨著無量綱波數(shù)kd/π變化的散點圖。圖13表示第K柱水動力曲線相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱位置K的變化情況，由該圖可見水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值隨圓柱編號K的增大而增大。結(jié)合圖10及圖13，可得O,N,K與N，K的關(guān)系為

(7)

圖11 β=0,N=101,第K柱水動力曲線Fig.11 Hydrodynamic curve of the Kth cylinder of an array consisting of 101 cylinders, β=0圖12 β=0,N=101,第K柱水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值散點圖Fig.12 Scatter diagram of measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the Kth cylinder′s hydrodynamic curve,N=101, β=0

圖13 β=0,N=101,水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱位置K的變化圖Fig.13 Measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the Kth cylinder′s hydrodynamic curve, N=101, β=0圖14 預(yù)測公式與圖13驗證Fig.14 Comparison of prediction formula with fig.13圖15 預(yù)測公式與圖10驗證Fig.15 Comparison of prediction formula with fig.10

運用預(yù)測公式對圖10及圖13所示情況進行計算，并與數(shù)值計算結(jié)果進行對比，對比結(jié)果見圖14及圖15，可見本文提出的預(yù)測公式與數(shù)值計算結(jié)果測量值吻合良好。

圖16 β=0，N=101，K=51不同計算步長(0.000 1和0.01)激振力誤差Fig.16 Error of different calculation step (0.000 1 and 0.01), β=0，N=101，K=51

3 水動力曲線波動特性的工程意義

在分析線性定常系統(tǒng)疲勞壽命時，交變應(yīng)力響應(yīng)的功率譜可以由下式得到[12]

GXX(ω)=[H(ω)]2Gηη(ω)

(8)

式中：H(ω)為線性動力系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；Gηη(ω)為波浪譜。

傳遞函數(shù)H(ω)的物理意義是，線性動力系統(tǒng)作圓頻率為ω的簡諧振動時，響應(yīng)過程的振幅與輸入過程的振幅之比。當(dāng)輸入過程為波浪時，響應(yīng)過程為交變應(yīng)力，傳遞函數(shù)就是結(jié)構(gòu)在圓頻率為ω的規(guī)則余弦波作用下，應(yīng)力幅值與波幅之比。

如果忽視水動力曲線中的波動現(xiàn)象，將造成計算步長選擇不當(dāng)，導(dǎo)致應(yīng)力幅值的計算誤差。在β=0，N=101，K=51的情況下，選擇計算步長為0.01和0.000 1得到激振力誤差如圖16所示。當(dāng)無量綱波數(shù)kd/π達到0.45時，激振力誤差超過10%。kd/π接近“陷波模態(tài)”所對應(yīng)波數(shù)時，激振力誤差更為顯著。

激振力的計算誤差無疑將導(dǎo)致應(yīng)力幅值的計算誤差，從而造成傳遞函數(shù)的計算誤差。根據(jù)誤差傳遞原理，激振力誤差為10%，將對交變應(yīng)力的響應(yīng)造成20%的誤差。在海洋結(jié)構(gòu)物的設(shè)計階段需要準(zhǔn)確找到水動力曲線波動區(qū)域的波峰、波谷位置，避免造成誤差，影響結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性。利用本文提出的水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的預(yù)測公式，可以迅速得找到所有波峰位置。在各個波峰位置前后對水動力進行加密計算，可以避免加密計算整個水動力曲線造成的時間浪費。

4 結(jié)論與展望

本文針對單排有限長直立圓柱陣列水動力曲線中激振力尖峰左側(cè)的波動現(xiàn)象進行了研究，得到如下結(jié)論：

(1)對單排有限長直立圓柱陣列，其水動力曲線中激振力尖峰左側(cè)存在均勻有規(guī)律的波動現(xiàn)象，這種波動現(xiàn)象來源于圓柱與波浪之間的繞射作用。(2)經(jīng)過大量數(shù)值試驗驗證，水動力曲線中的波動現(xiàn)象與直徑-柱間距之比a/d無關(guān)，而與圓柱總數(shù)N、圓柱位置K及入射波的入射角度β有關(guān)。(3)對于入射角度β=0的情況，本文提出一種針對單排有限長圓柱陣列水動力曲線波動區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的預(yù)測公式：O,N,K=1/(2(N-K))。

對波浪作用下直立圓柱陣列的水動力問題，目前的研究重點在于“陷波模態(tài)”及其帶來的激振力尖峰。本文所研究的水動力曲線中激振力尖峰左側(cè)的波動問題，有助于完善對整個水動力曲線的理解。然而，對于不等間距單排圓柱陣列水動力問題及多排圓柱陣列的水動力問題有待進一步研究。