構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的問題導(dǎo)學(xué)課堂*——以“一元一次不等式組”教學(xué)為例

黃秀旺

一、問題的提出

蘇聯(lián)心理學(xué)家馬丘斯金等人認(rèn)為，問題是思維的起點(diǎn)，問題解決過程也就是創(chuàng)造性思維的過程?，F(xiàn)代建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀和教學(xué)設(shè)計(jì)理論都把問題解決作為建構(gòu)性學(xué)習(xí)的基本策略。美國、澳大利亞等國對(duì)此問題也做了深入的研究，認(rèn)為問題是思維的開始，問題的解決過程就是思維發(fā)展的過程，提出了“拋錨式教學(xué)”（Anchored Instruction）。由于“拋錨式教學(xué)”要以真實(shí)事例或問題為基礎(chǔ)（作為“錨”），所以有時(shí)也被稱為“實(shí)例式教學(xué)”或“基于問題的教學(xué)”。

新課程改革以來，國內(nèi)三大課堂教學(xué)改革學(xué)?！笏贾袑W(xué)、杜郎口中學(xué)和東廬中學(xué)構(gòu)建起特色鮮明、能夠充分發(fā)揮學(xué)生主體作用的教學(xué)方法。從其經(jīng)驗(yàn)分析可看出“先學(xué)后導(dǎo)，以學(xué)定教”是他們課堂教學(xué)改革成功的本質(zhì)與發(fā)展趨勢。

基于初中生思維力生長的問題導(dǎo)學(xué)式課堂教學(xué)，就是基于國外的研究成果、我國課堂教學(xué)改革發(fā)展的趨勢和筆者在教學(xué)實(shí)踐中取得的研究經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出來的，旨在以問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，讓新知變得自然生成，讓新知的學(xué)習(xí)變成“再創(chuàng)造”，讓思維來得自然與必然，追求“思維力生長”。

二、基本流程及操作說明

1.問題導(dǎo)學(xué)。

這一環(huán)節(jié)的主要目標(biāo)是通過設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生回顧與新授課相關(guān)的知識(shí)、方法與經(jīng)驗(yàn)。

要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)應(yīng)做到：（1）深入鉆研教材，理清與新知相關(guān)的舊知以及新知與舊知之間的邏輯關(guān)系；（2）剖析新知學(xué)習(xí)時(shí)所要運(yùn)用的方法，然后在方法層面編制基于“最近發(fā)展區(qū)”的問題。我們知道，要實(shí)現(xiàn)從舊知引出新知，重要的是啟迪思維、暗示方法，這是思維力生長的關(guān)鍵所在，而這正是問題設(shè)置所面臨的挑戰(zhàn)。

問題導(dǎo)學(xué)1：從“問題”到“方程（組）”。

問題：一個(gè)長方形的周長為16 cm，長比寬多2cm。設(shè)長、寬分別為xcm、ycm，試列出二元一次方程組表示這個(gè)長方形的長與寬之間的數(shù)量關(guān)系。

思考：（1）對(duì)于以上信息，你將提出哪些問題？你又將如何解決？（2）你能建立方程或方程組的根據(jù)是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】方程與不等式是描述數(shù)量關(guān)系的模型，雖然一個(gè)是相等關(guān)系，一個(gè)是不等關(guān)系，兩者不同，但從學(xué)習(xí)的視角分析，又有許多相似之處，比如，從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的思路與方法，從滿足相等關(guān)系或不等關(guān)系來確定方程的解、不等式的解，從滿足兩個(gè)方程或兩個(gè)不等式（可以兩個(gè)及兩個(gè)以上不等式）來確定方程組的解、不等式組的解。所以本節(jié)課學(xué)習(xí)一元一次不等式組，但問題導(dǎo)學(xué)1 卻設(shè)計(jì)方程組的問題，其意圖在于：（1）關(guān)注數(shù)學(xué)模型的建立，學(xué)生回顧從“問題”到“方程（組）”，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，類似的，接下來也要經(jīng)歷從“問題”到“不等式（組）”，都涉及如何獲取信息并加工信息；（2）強(qiáng)調(diào)建立方程或方程組的根據(jù)是“相等關(guān)系”，從“相等關(guān)系”到“方程（組）”也就是符號(hào)表示，接下來，類似的，學(xué)生也要由“不等關(guān)系”到“不等式（組）”，這個(gè)層面包含方法與經(jīng)驗(yàn)。

問題導(dǎo)學(xué)2：確定二元一次方程組的解。

【設(shè)計(jì)意圖】與問題導(dǎo)學(xué)1 一樣，繼續(xù)回顧舊知（方程的解、方程組的解）與相關(guān)方法（確定方程的解的方法，確定方程組的解的方法）。總體而言，問題導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)就是回顧與新知（不等式組）相關(guān)的內(nèi)容（方程組），在基本概念、基本方法及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)方面展開。

2.探索活動(dòng)。

這一環(huán)節(jié)的主要目標(biāo)是在“問題導(dǎo)學(xué)”的基礎(chǔ)上，組織開展探索活動(dòng)，力求變教師的講授為學(xué)生的自主探索，在此過程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維。

要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)應(yīng)做到：（1）設(shè)計(jì)出能引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中的關(guān)鍵問題，重走數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)之路；（2）引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，特別強(qiáng)調(diào)的是，讓學(xué)生參與探索活動(dòng)，一定要教學(xué)生學(xué)習(xí)如何探究。而不是學(xué)生不明緣由，僅僅按教師設(shè)計(jì)好的步驟、方法去執(zhí)行；（3）鼓勵(lì)學(xué)生討論交流，這不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，也能發(fā)展和深化對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、問題解決策略的理解，也有利于學(xué)生思維的發(fā)展。

活動(dòng)1：構(gòu)建“一元一次不等式組”的概念。

問題：小麗早晨7 時(shí)30 分騎自行車上學(xué)，要在7 時(shí)50 分至7 時(shí)55 分之間到達(dá)離家3400m 的學(xué)校，小麗騎自行車的速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

追問1：問題中包含的數(shù)量關(guān)系是什么？

追問2：如果設(shè)小麗騎自行車的速度為xm/min，那么以上數(shù)量關(guān)系如何表示呢？

追問3：問題中的未知數(shù)x 應(yīng)該滿足什么條件？

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于一元一次不等式組的概念，并不是直接給出定義，而是在“問題導(dǎo)學(xué)”環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題背景，遷移研究方程（組）的方法與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究，具體表現(xiàn)在分析問題中的數(shù)量關(guān)系，可以用文字?jǐn)⑹鲞@個(gè)數(shù)量關(guān)系，也可以口頭敘述；在引入字母時(shí)，將以上數(shù)量關(guān)系進(jìn)行符號(hào)表示，獲得兩個(gè)不等式；再類比方程組的意義建立不等式組概念。通過設(shè)置3 個(gè)追問，讓學(xué)生自己來解決，而不是由教師來口頭傳授。同時(shí)，3 個(gè)追問也引發(fā)學(xué)生不斷深入的思考，當(dāng)然，如果遷移方程組的學(xué)習(xí)思路、方法，那么問題的引申、思維的生長將變得自然與必然。

活動(dòng)2：解不等式組

【設(shè)計(jì)意圖】類比二元一次方程組的解的概念，提出類似的問題：使兩個(gè)一次不等式都成立的未知數(shù)x 的值。方程組的解是找到兩個(gè)方程組的公共解，類似的，不等式組的解也是找到兩個(gè)不等式解集的公共部分（不等式組不一定由兩個(gè)不等式構(gòu)成的）。顯然，在這樣的問題引導(dǎo)下，學(xué)生完全可以實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)，教師的主導(dǎo)性更多體現(xiàn)在課前對(duì)教學(xué)內(nèi)容深刻理解的基礎(chǔ)上的問題編制。

3.建立數(shù)學(xué)概念。

這一環(huán)節(jié)的主要目標(biāo)是在“探索活動(dòng)”中及時(shí)歸納提煉數(shù)學(xué)概念、原理及方法?？梢赃吿剿鬟厷w納，也可以探索活動(dòng)結(jié)束時(shí)系統(tǒng)歸納，這取決于教學(xué)而定。

要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)應(yīng)做到：（1）課前做精心的設(shè)計(jì)，一節(jié)課45 分鐘，也許從開始到結(jié)束就不斷有新知的產(chǎn)生，那就需要適時(shí)歸納，并輔以板書；（2）提煉的內(nèi)容不僅僅是基本概念、原理，更要關(guān)注基本方法、基本思想，以及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，要把研究本節(jié)課內(nèi)容的路徑及方法揭示出來，變暗線為明線。

本節(jié)課歸納的數(shù)學(xué)概念為一元一次不等式組、不等式組的解集和解不等式組。研究方法為類比方程組。研究路徑是從實(shí)際問題到不等式組，從不等式組的概念到解不等式組。

【設(shè)計(jì)意圖】分別從數(shù)學(xué)概念、研究方法、研究路徑等角度歸納探索活動(dòng)后的新知，并且通過合理的板書，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)化，便于學(xué)生建構(gòu)自己認(rèn)知體系中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)效果。

4.例習(xí)題講解。

這一環(huán)節(jié)的主要目標(biāo)是知識(shí)與方法的應(yīng)用。探究新知時(shí)，從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題，獲得新知后，又需從數(shù)學(xué)知識(shí)到數(shù)學(xué)應(yīng)用，即再回到實(shí)際問題中，不僅增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，還有利于學(xué)生對(duì)新知與方法的深入理解。

要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)應(yīng)做到：（1）精選典型的例題或習(xí)題；（2）精講典型的例題或習(xí)題，好的例習(xí)題，還需精彩的講解，當(dāng)然這里的講解不一定是教師一人的獨(dú)角戲，還需要教師精心設(shè)計(jì)講解的程序，依然凸顯問題引導(dǎo)、強(qiáng)化思維生長。

【設(shè)計(jì)意圖】此例題為典型例題，例題中包含的信息有：一元一次不等式組的概念，一元一次不等式組解集的概念，確定一元一次不等式組解集的方法，并且利用“數(shù)軸”這一工具，直觀明了，突出確定一元一次不等式組解集就是找到兩個(gè)解集的“公共部分”。例題教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，分析題目中的多個(gè)信息，明確“做什么”“怎么做”“為什么這樣做”等等，通過問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解新知，發(fā)展思維。

5.拓展延伸。

這一環(huán)節(jié)的主要目標(biāo)是基于新知學(xué)習(xí)過程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法以及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的延伸應(yīng)用。我們知道在探索新知的過程中，更為寶貴的是“過程與方法”，它更能體現(xiàn)當(dāng)前學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的策略與方法，值得大力提倡。“拓展延伸”正是進(jìn)一步強(qiáng)化活動(dòng)過程中方法與經(jīng)驗(yàn)的再應(yīng)用。

要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)應(yīng)做到：（1）深入理解教材，挖掘數(shù)學(xué)思想方法以及在探索新知過程中的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；（2）編制相應(yīng)的問題，力避“三不”（不超進(jìn)度，不要繁難，不在“技能”上用力），提倡在“過程與方法”上用力。

【設(shè)計(jì)意圖】此一元一次不等式組由三個(gè)不等式構(gòu)成，一方面糾正部分學(xué)生認(rèn)為一元一次不等式組像二元一次方程組一樣由兩個(gè)不等式構(gòu)成的誤解，另一方面也是本題最有價(jià)值的——進(jìn)一步突出確定一元一次不等式組的解集的本質(zhì)是“找到幾個(gè)不等式的解集的公共部分”，并且借助數(shù)軸可以直觀獲得。部分教師或?qū)W生對(duì)于確定由兩個(gè)不等式構(gòu)成的不等式組的解集時(shí)，在沒有理解確定解集的基本方法的基礎(chǔ)上，就簡單利用“口訣”求解，例如，“大大取大，小小取小，一大一小之中間找，有時(shí)找不到”，這樣的教學(xué)或?qū)W習(xí)是很難求解本題的。

6.課堂小結(jié)。

這一環(huán)節(jié)的主要目標(biāo)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的歸納、梳理，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提煉，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行橫向比較和縱向溝通，加強(qiáng)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力。要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)應(yīng)做到：課堂小結(jié)力求形式多樣，突出學(xué)生的主體地位以及提煉思想方法。這樣的小結(jié)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有很好的方法論意義。

三、總結(jié)

以上從“問題導(dǎo)學(xué)”“探索活動(dòng)”“建立數(shù)學(xué)概念（模型）”“例習(xí)題講解”“拓展延伸”“課堂小結(jié)”等課堂教學(xué)基本環(huán)節(jié)進(jìn)行了分析，從基于初中生思維力生長的問題導(dǎo)學(xué)式課堂教學(xué)的視角看，上述六個(gè)環(huán)節(jié)所體現(xiàn)的共同特征是：以問題為載體引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索、合作交流獲取新知；問題是核心，合理的問題使學(xué)生“想得到”“想得妙”，數(shù)學(xué)思維得到自然生長；在整個(gè)教學(xué)過程中，教師是在暗示研究方法、啟迪數(shù)學(xué)思維，踐行啟發(fā)式教學(xué)，讓新知成為活動(dòng)的載體，讓學(xué)習(xí)變?yōu)椤霸賱?chuàng)造”；在教學(xué)過程中，教師適時(shí)提煉教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想方法，有具體的、一般性的數(shù)學(xué)思想方法，也有科學(xué)研究的一般方法，這些方法的提煉能促進(jìn)學(xué)生思維力的自然生長和初步的科學(xué)研究能力的提升。