潛心材料科學(xué) 尋找數(shù)學(xué)真諦
——記北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授李海剛

□ 杜月嬌

“大家好，首先自我介紹一下，我叫李海剛，數(shù)學(xué)界的一名‘小學(xué)生’?！边@是李海剛在新學(xué)期本科生《偏微分方程》課堂上的開場白。他講道，自己從一名小學(xué)生變成了一名大學(xué)生用了10年，從大學(xué)生變成博士又用了10年，而留校工作10年，隨著研究的一步步深入，發(fā)覺數(shù)學(xué)與材料科學(xué)這個新興的交叉領(lǐng)域就像是一個深不見底的海洋，自己了解得很少，能夠解決的問題更少，愈發(fā)覺得自己又重新變回了一名“小學(xué)生”。

在現(xiàn)代生活中，復(fù)合材料的應(yīng)用已隨處可見，不論是在建筑、橋梁、鐵路等結(jié)構(gòu)工程，還是在航空、航天、核潛艇、高速列車等尖端科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有著很大需求。人類對材料性能的追求越來越高，甚至愈來愈苛刻。材料創(chuàng)新已成為21世紀(jì)科技發(fā)展的主要方向之一，而研制新材料的重要手段之一就是將兩種或多種材料復(fù)合，生成新的材料。復(fù)合材料的飛速發(fā)展對應(yīng)用數(shù)學(xué)家提出了諸多挑戰(zhàn)，其中偏微分方程的理論研究與數(shù)值計算已成為炙手可熱的焦點。

簡單來說，復(fù)合材料就是在一種基體材料中摻入另一種增強材料（內(nèi)含物），得到一種能夠滿足某種特性的新材料。內(nèi)含物的數(shù)量太多時，它們就會離得很近，甚至相互接觸。這樣的結(jié)構(gòu)往往導(dǎo)致材料在使用過程中產(chǎn)生各種物理場的集中現(xiàn)象，比如內(nèi)含物之間的電場、磁場或應(yīng)力場將會變得很大，從而導(dǎo)致材料缺陷乃至斷裂。早在19世紀(jì),物理科學(xué)家Maxwell就發(fā)現(xiàn)了這種集中現(xiàn)象,現(xiàn)如今它吸引著各國科學(xué)家競相嘗試給出其定量的刻畫，甚至期望能夠精確計算這些場的集中程度。近10年來，李海剛基于數(shù)學(xué)理論，在復(fù)合材料中的Babu?ka問題方面做出一系列深刻的原創(chuàng)性成果。在攻克一個個科研難題的過程中，李海剛也培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的學(xué)生。對此，他說：“我們北京師范大學(xué)的校訓(xùn)就是‘學(xué)為人師，行為世范’，我只是在努力做好一個老師應(yīng)該做的?！?/p>

與導(dǎo)師李巖巖教授（左）在一起

默默探索 終見真知

20世紀(jì)后期，國際著名計算數(shù)學(xué)家、美國工程院院士I.Babu?ka等人通過數(shù)值計算分析彈性復(fù)合材料的破壞機理時，對偏微分方程理論專家提出了一個問題：當(dāng)內(nèi)含物間距很小時，是否會發(fā)生應(yīng)力爆破現(xiàn)象？隨后，國際著名數(shù)學(xué)大師、阿貝爾獎獲得者、美國科學(xué)院院士L.Nirenberg教授與李巖巖教授合作證明：當(dāng)方程組的橢圓系數(shù)有界時，其解的梯度關(guān)于內(nèi)含物間的距離一致有界，即應(yīng)力不會發(fā)生爆破。為了進(jìn)一步探索高對比復(fù)合材料的破壞機理理論，需要研究一類帶有部分無窮系數(shù)的方程組，建立解的梯度大小與內(nèi)含物距離之間的精確依賴關(guān)系。該問題匯聚了世界上來自美、英、法、韓等國諸多理論數(shù)學(xué)家和計算數(shù)學(xué)家，但由于Lamé方程組本身的復(fù)雜性和問題本身的難度，已有結(jié)果都是針對該問題的簡化模型，即標(biāo)量方程情形，原始的彈力模型卻一直難以突破。

攻讀博士期間，李海剛作為國家建設(shè)高水平大學(xué)項目的首批公派博士生，于2007年赴美國羅格斯大學(xué)開始兩年的聯(lián)合培養(yǎng)。受導(dǎo)師李巖巖教授的影響，他毅然從原先研究的幾何學(xué)中的Monge-Ampère方程領(lǐng)域轉(zhuǎn)戰(zhàn)到材料學(xué)中的偏微分方程這個新興領(lǐng)域，自此走上了以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的材料研究之路。在李巖巖教授的建議下，他率先研究Babu?ka問題的原始模型——Lamé方程組情形，經(jīng)過近10年的努力，與團(tuán)隊成員另辟蹊徑，創(chuàng)造發(fā)展了一套能量迭代技術(shù)，克服了方程組無極值原理的本質(zhì)困難，最終成功揭示應(yīng)力集中現(xiàn)象的數(shù)學(xué)機制，系列工作發(fā)表在數(shù)學(xué)權(quán)威雜志Adv.Math.、Arch. Ration. Mech.Anal.上。這些成果被國際上該領(lǐng)域的領(lǐng)導(dǎo)者、歐洲科學(xué)院院士H.Ammari和韓國科學(xué)院院士H.Kang在其論文或?qū)Ｖ性u價為一套有獨創(chuàng)性的迭代技術(shù)（“an ingenious iteration technique”）、一個重要進(jìn)展（“significant progress”）。

在數(shù)學(xué)研究中，雙參數(shù)問題往往較單參數(shù)問題困難許多，最近，李海剛與布朗大學(xué)的董弘桀教授合作發(fā)表在Arch.Ration.Mech.Anal.上的又一項工作，利用Green函數(shù)方法找到了高對比度參數(shù)與纖維距離參數(shù)這兩類參數(shù)在梯度估計中的平衡關(guān)系，對M.Vogelius院士和李巖巖教授在ARMA2000中提出的兩個公開問題給出了完美的回答。這些結(jié)果對復(fù)合材料破壞機理的數(shù)學(xué)理論的完善是基本的、重要的。

日本著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎得主小平邦彥曾說過：“在數(shù)學(xué)中，沒有發(fā)明只有發(fā)現(xiàn)。”在材料數(shù)學(xué)的神秘海洋里，李海剛一直在不斷探索與發(fā)現(xiàn)。在Babu?ka問題上，李海剛最近與學(xué)生合作發(fā)現(xiàn)：“雙黃蛋”型內(nèi)含物的復(fù)合材料不產(chǎn)生集中現(xiàn)象，與實際中的雙黃蛋結(jié)構(gòu)確實是一致的(如圖所示）。為了探其究竟，他們進(jìn)一步揭開了應(yīng)力爆破速度與內(nèi)含物凸性之間蘊含的內(nèi)在關(guān)系，為復(fù)合材料內(nèi)含物的最優(yōu)形狀設(shè)計提供一種新的思路。談到這些，可以從李海剛的話語中感受到他從科研工作中獲得的那種“撥云見日得真知”的幸福感。

“雙黃蛋”型內(nèi)含物的復(fù)合材料不產(chǎn)生集中現(xiàn)象，與實際中的雙黃蛋結(jié)構(gòu)確實是一致的。

事實上，在宏觀層面所建立的理論可以應(yīng)用于微觀層面的納米材料等離子體共振研究。接下來，李海剛和他的團(tuán)隊將針對電磁場的Helmholtz方程、Maxwell方程以及流體—固體材料的懸浮問題Stokes方程做進(jìn)一步的推廣研究。與此同時，李海剛還表示，如果能夠使取得的理論數(shù)學(xué)成果在實際問題中成功“落地”，則會更有意義。為此，他也在積極嘗試著。

學(xué)為人師 不忘初心

在談到留學(xué)的經(jīng)歷對他的研究有何影響時，李海剛說道：在美國羅格斯大學(xué)的兩年留學(xué)經(jīng)歷使他開闊了眼界，用導(dǎo)師李巖巖教授的話講就是“見識了什么是好的數(shù)學(xué)”。經(jīng)過多年探索與努力，他也在數(shù)學(xué)的美與實用之間找到平衡。基于自己的科研成長經(jīng)歷，他也非常樂意將自己的切身經(jīng)驗與學(xué)生一起分享，用他已擁有的知識為我們國家培養(yǎng)更多的材料科學(xué)和數(shù)學(xué)的綜合型人才。

在培養(yǎng)學(xué)生方面，李海剛有一套自己的“樹理論”。他說：“一棵樹的成長既需要用根去汲取滋養(yǎng)也需要葉子去追逐陽光?！痹谘芯可膶W(xué)習(xí)過程中，李海剛認(rèn)為：所謂的根，就是要學(xué)好基礎(chǔ)課程先把基礎(chǔ)打牢，所謂的葉，就是學(xué)習(xí)前沿文獻(xiàn)把握科研動態(tài)。樹根從土壤中吸收水分和營養(yǎng)輸送給葉子，葉子再進(jìn)行光合作用使樹干長得更粗、樹根扎得更深，二者相互促進(jìn)、彼此成就，才能長成一棵參天大樹。因此，他強調(diào)學(xué)生埋頭苦干的同時也要常常抬頭看看遠(yuǎn)方，了解自身領(lǐng)域里的前沿成果，有的放矢。

目前，李海剛負(fù)責(zé)指導(dǎo)3名博士生和8名碩士生，秉著“扶上馬，送一程”的原則，他將自己的優(yōu)秀學(xué)生推薦到美國布朗大學(xué)、普渡大學(xué)等國際名校，意在讓學(xué)生像自己當(dāng)年一樣，去接觸更多更好的數(shù)學(xué)，并告誡學(xué)生，早日出國是為了將來更好地報國。這也許就是他當(dāng)年回國工作選擇留在北京師范大學(xué)當(dāng)一名老師的初心。如今，他的博士生徐龍娟在布朗大學(xué)聯(lián)合培養(yǎng)兩年之后，今年博士畢業(yè)申請到了韓國延世大學(xué)的博士后職位，博士后陳昱獲得了博管會的國際交流項目的資助赴美國普渡大學(xué)訪問兩年。說到這些優(yōu)秀學(xué)生時，能夠深深感受到他作為老師的驕傲。

和在讀學(xué)生們合影

與導(dǎo)師李巖巖教授一起修改論文的經(jīng)歷也使他獲益匪淺、記憶深刻，李巖巖老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶懽黠L(fēng)格，用李海剛的話說，就是“惜墨如金，字字珠璣”。受此影響，他之后指導(dǎo)學(xué)生完成的每篇論文都會修改一兩個月，經(jīng)過10多次甚至幾十次的反復(fù)推敲，直到對每一句話都十分滿意之后才去投稿。數(shù)學(xué)很神奇，也很深奧，因此李海剛認(rèn)為做科研就要時刻帶著問題，有時間就要多思考，這樣也許長期難以解開的問題會在適當(dāng)時機找到突破口?！耙朴谒伎?，集中精力，這才是做科研應(yīng)有的態(tài)度?！崩詈傃a充道。

與李海剛對話，總能感受到他對數(shù)學(xué)與材料學(xué)的熱情，也能深切體會到他對外界滿滿的好奇心與求知欲。也許正是這樣的他，才能隨時使自己沉浸在科研中，不斷去探尋新的科學(xué)秘密。世界著名應(yīng)用數(shù)學(xué)家、美國科學(xué)院院士A. Friedman在《對數(shù)學(xué)未來的思考》中尤其提到“復(fù)合材料的研究是一個運用數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域”。但隨著新材料不斷被開發(fā)出來，“迄今所取得的數(shù)學(xué)成就只能看作是一個不錯的開始”。李海剛表示自己很幸運能夠早日踏進(jìn)這個充滿數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的新領(lǐng)域，他對這個領(lǐng)域的未來和個人的前景也充滿信心。希望在更多的國際交流與合作中，不斷豐富發(fā)展，積極探索與發(fā)現(xiàn)偏微分方程更多的可能性。