高階全變差正則化彩色圖像去馬賽克

劉銘麗,王希云

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)

隨著數(shù)碼攝(照)像機(jī)等電子產(chǎn)品的普及,去馬賽克逐漸成為高質(zhì)量圖像采集與處理中必不可少的關(guān)鍵。

彩色圖像去馬賽克的過(guò)程可以建模為清晰圖像與馬賽克算子的卷積,再加上噪聲,從由觀測(cè)到的加馬賽克圖重構(gòu)清晰圖的過(guò)程即:

a=A?x+n

(1)

式中,?表示卷積算子;a為觀測(cè)到的加馬賽克圖像;x為待復(fù)原的原始圖像;n為噪聲。由于隨機(jī)噪聲的存在,因此圖像的去馬賽克問(wèn)題是一個(gè)不適定問(wèn)題[1],通過(guò)引入正則化項(xiàng)來(lái)克服病態(tài)。 一般通過(guò)引入正則化項(xiàng)來(lái)克服病態(tài)。因此,常常采用正則化方法建模為如下的最小化模型進(jìn)行求解:

(2)

其中:第一項(xiàng)為數(shù)據(jù)保證項(xiàng);第二項(xiàng)為正則項(xiàng);μ1為正則化參數(shù),用來(lái)控制保真項(xiàng)與正則化項(xiàng)之間的加權(quán)比例。

1992年由Rudin,Osher和Fatemi[2]提出了總變分TV極小化方法用于解如下極小化問(wèn)題:

(3)

2014年Laurent Condat[3]將彩色圖像去馬賽克表示成離散總變分模型為:

為了克服由全變分(TV)正則化所產(chǎn)生的階梯現(xiàn)象,學(xué)者們提出了相應(yīng)的解決方法[4-8],其中采用高階范數(shù)來(lái)度量圖像就是一種有效的方法。

1 模型的建立

彩色圖像去馬賽克問(wèn)題不僅與該像素點(diǎn)水平和豎直兩個(gè)方向像素有關(guān),還應(yīng)該與正對(duì)角線和負(fù)對(duì)角線方向的像素有關(guān),而高階變差正則化[9]正是考慮了多個(gè)方向像素值的影響而建立的圖像復(fù)原模型,其在局部小范圍內(nèi)利用二次曲面函數(shù)逼近圖像函數(shù),所以不會(huì)出現(xiàn)上述“階梯”現(xiàn)象[9-12],為了克服一階變差利用一次平面函數(shù)逼近圖像函數(shù)的缺點(diǎn)且提高圖像去馬賽克質(zhì)量,借鑒高階變差方法的優(yōu)點(diǎn),本文提出了一種高階全變差正則化彩色圖像去馬賽克模型。

通過(guò)引入四階PDE提出如下的能量函數(shù):

(5)

1.1 正則化項(xiàng)的離散化

定義一個(gè)二階向量微分算子[13]:

式中:xvv,xvh,xhv,xhh分別代表圖像函數(shù)x離散以后在水平方向、正對(duì)角線方向、負(fù)對(duì)角線方向和豎直方向的二階差商。設(shè)圖像大小為N×N,選擇周期邊界條件,在像點(diǎn)位置(i,j)處:

利用矩陣D代替二階向量微分算子2,即令

1.2 模型的離散化形式

綜上,在離散化形式中能量函數(shù)(5)可寫成如下形式:

(6)

2 模型的求解

原始對(duì)偶不動(dòng)點(diǎn)算法(PDFP)是求解圖像非光滑凸優(yōu)化問(wèn)題的一種有效算法,其變量是全分裂的,參數(shù)容易選取,因此適用于數(shù)量級(jí)較大的模型問(wèn)題。所以本文考慮采用PDFP[14-15]求解該模型。

對(duì)于目標(biāo)函數(shù):

(7)

(8)

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)(7)PDFP[14-15]求解步驟如下:

若取:

θ1=μ1‖·‖1,B1=D,b1=0

f3(x)=0

則求解模型(5)的PDFP的步驟為:

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的彩色圖像去馬賽克模型的有效性,以Matlab2015a編程為工具,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用7幅像素大小為500×500的彩色柯達(dá)圖像(Kodak PhotoCD dataset)。在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行之前,首先對(duì)去馬賽克模型中涉及到的重要參數(shù)的設(shè)置進(jìn)行說(shuō)明,μ1控制高階TV擴(kuò)散的速度,因此本文實(shí)驗(yàn)中取μ1∈[0.0,1.0],以0.10為步長(zhǎng),從得到的復(fù)原結(jié)果中選擇最好的結(jié)果對(duì)應(yīng)的μ1作為實(shí)驗(yàn)最終取值,即分析圖1選取了恰當(dāng)?shù)膮?shù)值。為了更好地比較去馬賽克后的細(xì)節(jié)信息,且考慮到篇幅影響,用框選出了兩幅彩色圖像的局部作為實(shí)驗(yàn)對(duì)比所用的部分,如圖2所示。實(shí)驗(yàn)分別從圖像恢復(fù)的視覺(jué)效果以及峰值信噪比(CPSNR)來(lái)主客觀地評(píng)價(jià)所提出模型的性能。

圖1 μ1值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(CPSNR)的影響Fig.1 The influence of μ1on experimental results

圖2 彩色圖Fig.2 Color image

圖3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.3 Collation map of experimental results

主觀上,圖3中(a)、(b)從左上角到右下角分別為:原圖、加馬賽克圖、ROF模型以及本文模型結(jié)果圖。從圖3可以看出ROF模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)了階梯現(xiàn)象導(dǎo)致圖像模糊,由于此模型為二階PDE是通過(guò)最小化圖像梯度的能量函數(shù)得到的,能有效保持邊緣但是在平滑區(qū)域容易出現(xiàn)階梯現(xiàn)象。而本文的模型用四階范數(shù)來(lái)代替TV范數(shù),四階PDE是最小化圖像拉普拉斯變換的能量函數(shù),因此能在圖像的光滑區(qū)域消除階梯現(xiàn)象,從而使得去馬賽克后的圖像細(xì)節(jié)部分更接近原圖。

客觀上,為了檢測(cè)圖片還原質(zhì)量的好壞,采用峰值信噪比[16](CPSNR)作為圖片質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),CPSNR可描述為:

表1 圖像恢復(fù)結(jié)果的信噪比CPSNRTab.1 The CPSNR of image restoration results

表1分別表示ROF模型、文獻(xiàn)[3]模型以及本文模型結(jié)果的CPSNR值,從表1(黑體表示較好的效果)比較結(jié)果可以看出本文模型的每幅圖像的CPSNR值都比ROF模型高約1.5～3 dB.主觀和客觀評(píng)價(jià)都顯示了本文模型的優(yōu)越性。

表2 圖像恢復(fù)所用時(shí)間Tab.2 The time of image restoration

表2分別表示ROF模型、文獻(xiàn)[3]模型與本文模型圖像恢復(fù)所需的時(shí)間,因?yàn)橄啾扔诙A范數(shù),四階范數(shù)多了求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程,因此所需時(shí)間相比二階要久一些,這也是之后工作在算法部分需要改進(jìn)的地方。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在ROF模型的基礎(chǔ)上,引入一個(gè)四階PDE來(lái)度量圖像,用四階范數(shù)來(lái)代替TV范數(shù),克服了采用TV模型去馬賽克所產(chǎn)生的階梯效應(yīng),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該模型能獲得較好的去馬賽克效果。進(jìn)一步的工作是提高算法的計(jì)算速度,以便能夠更好地應(yīng)用于實(shí)踐。