基于新閾值函數(shù)的小波閾值去噪算法

詹 展，秦會(huì)斌

(杭州電子科技大學(xué) 新型電子器件與應(yīng)用研究所，浙江 杭州 310018)

0 引 言

小波變換針對(duì)短時(shí)傅里葉變換時(shí)頻局部化精細(xì)和靈活性方面的缺點(diǎn)，采用具有時(shí)域局域化特性的小波函數(shù)作為基底，能自動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)頻窗來(lái)滿(mǎn)足實(shí)際分析中的要求，具有多分辨分析的特點(diǎn)，在信號(hào)處理中有廣泛的應(yīng)用。Donoho和Johnstone在小波變換的基礎(chǔ)上提出了小波閾值降噪[1]，常見(jiàn)的主要有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)[2]，由于繼承了小波分析的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，得到了實(shí)際應(yīng)用。但是硬閾值函數(shù)在閾值處是間斷的，處理后獲得的小波系數(shù)用逆小波變換進(jìn)行重構(gòu)[3]時(shí)會(huì)產(chǎn)生偽吉布斯(Pseudo-Gibbs)效應(yīng)，從而使信號(hào)出現(xiàn)失真、震蕩現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)的估計(jì)小波系數(shù)與真實(shí)小波系數(shù)存有固定偏差。針對(duì)這些缺陷，有研究人員提出了與之相關(guān)的改進(jìn)方法，如軟硬折中的閾值函數(shù)、加權(quán)平均法構(gòu)造的閾值函數(shù)、基于粒子群尋優(yōu)算法[4- 10]等，有一定的改善。

為了克服以上缺點(diǎn)，文中在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出一種新的小波閾值函數(shù)，有調(diào)節(jié)閾值因子，能夠改善閾值函數(shù)的連續(xù)性，提高信噪比，減小均方誤差，并將其應(yīng)用到語(yǔ)音增強(qiáng)中，達(dá)到了良好的去噪效果。

1 小波閾值消噪

1.1 小波閾值消噪原理

小波閾值去噪法的原理分為3個(gè)步驟[7]：對(duì)原信號(hào)小波分解，確定閾值函數(shù)和閾值，小波系數(shù)重構(gòu)。流程如圖1所示。

圖1 小波閾值去噪流程

1.2 傳統(tǒng)閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)由Donoho等提出，由于符號(hào)函數(shù)的特殊數(shù)學(xué)特性，兩種函數(shù)表達(dá)式組成分別如下：

(1)

(2)

式1為硬閾值函數(shù)表達(dá)式，其中ωj,k表示小波系數(shù)。當(dāng)ωj,k的數(shù)值大于閾值λ時(shí)，對(duì)ωj,k不做處理，在一定程度上保存了初始信號(hào)的噪聲分量，產(chǎn)生較大的方差，而且由表達(dá)式可以看出函數(shù)在±λ處有間斷點(diǎn)，使得硬閾值函數(shù)在整個(gè)函數(shù)空間范圍內(nèi)不連續(xù)，去噪后的小波系數(shù)重構(gòu)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象。

由于硬、軟閾值函數(shù)都存在缺陷，為了提高小波閾值函數(shù)的去噪效果，學(xué)者們基于以上兩種方法，提出了一些改進(jìn)的閾值函數(shù)。

文獻(xiàn)[6]提出的小波閾值函數(shù)為：

(3)

其中，u=1-e-α(|wj,k|-λ)2，α,n為調(diào)節(jié)因子，且為整數(shù)。

式3介于硬閾值和軟閾值函數(shù)之間，通過(guò)改變調(diào)節(jié)因子在一度程度上能夠降低小波系數(shù)與估計(jì)小波系數(shù)的恒定誤差，但是還有待進(jìn)一步改進(jìn)。

文中提出了一個(gè)基于對(duì)數(shù)函數(shù)[8]的改進(jìn)閾值函數(shù)來(lái)進(jìn)一步提升消噪效果。

2 新閾值函數(shù)構(gòu)建

2.1 新閾值函數(shù)

針對(duì)傳統(tǒng)閾值函數(shù)存在的各種問(wèn)題，文中提出一個(gè)基于對(duì)數(shù)的改進(jìn)閾值函數(shù)。該閾值函數(shù)不僅能避免傳統(tǒng)閾值函數(shù)的不足，而且隨著小波分解尺度的變化會(huì)做出自適應(yīng)調(diào)整。該閾值函數(shù)具有調(diào)整因子，使用更加靈活，實(shí)用性強(qiáng)。其表達(dá)式為：

(4)

其中，u=1-e-α(|wj,k|-λ)2，α和n為調(diào)節(jié)因子，且為整數(shù)。

2.2 新閾值函數(shù)分析

新閾值函數(shù)不但有軟閾值函數(shù)連續(xù)的特點(diǎn)，且當(dāng)|ωj,k|>λ時(shí)函數(shù)是高階可導(dǎo)的，現(xiàn)在從數(shù)學(xué)角度對(duì)式3進(jìn)行如下分析。

(1)函數(shù)的連續(xù)性。

在wj,k=λ處：當(dāng)wj,k→λ+時(shí)，

同理也可以證明新閾值函數(shù)在wj,k=-λ處也是連續(xù)的，證明過(guò)程同上。因此新的閾值函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，還避免了因間斷問(wèn)題導(dǎo)致的偽吉布斯現(xiàn)象。

(2)函數(shù)的漸近線。

當(dāng)wj,k→±∞時(shí)，

同時(shí)當(dāng)wj,k→時(shí)，

(3)閾值函數(shù)的偏差性。

(4)函數(shù)的高階可導(dǎo)性。

新閾值函數(shù)定義域內(nèi)是由符號(hào)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)組成的，它們都是初等函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)可導(dǎo)的性質(zhì)可知，新閾值函數(shù)也是一個(gè)高階可導(dǎo)函數(shù)。

(5)閾值可變因子α與n影響分析。

當(dāng)α→∞時(shí)，n→∞，新閾值函數(shù)為式1，成為一個(gè)硬閾值函數(shù)；當(dāng)α→0時(shí)，新閾值函數(shù)為式2，變?yōu)檐涢撝岛瘮?shù)。因此，只要改變?chǔ)林?，新閾值函?shù)就能夠在硬和軟閾值函數(shù)之間靈活變化。參數(shù)α決定小波閾值的逼近程度，在處理帶噪信號(hào)時(shí)能夠保留部分高頻信號(hào)，使細(xì)節(jié)系數(shù)和信號(hào)震蕩現(xiàn)象能夠較好地得到抑制。

2.3 確定閾值和分解層數(shù)

合理有效地選擇閾值，關(guān)系到信號(hào)的最終去噪效果[11]。該實(shí)驗(yàn)中采用自適應(yīng)閾值[12]，即：

(5)

其中，σ為噪聲方差[13]；N為語(yǔ)音信號(hào)的長(zhǎng)度；j為當(dāng)前分解尺度；調(diào)節(jié)常數(shù)C可以得到最佳的輸出信噪比。實(shí)際應(yīng)用中，由于σ不確定，一般取σ=median(w)/0.674 5。這種自適應(yīng)閾值有效克服了固定閾值的缺點(diǎn)，去噪效果較好，且更加頑健。

對(duì)于分解層數(shù)的確定，采用如下算法：通過(guò)改變分解層數(shù)，不斷循環(huán)計(jì)算消噪信號(hào)的信噪比SNR2與帶噪信號(hào)信噪比SNR1的差值，取差值最大時(shí)的分解層數(shù)為最優(yōu)值。流程如圖2所示。

圖2 分解層數(shù)選擇流程

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 去噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

在信號(hào)處理時(shí)，通常用信噪比和重構(gòu)信號(hào)均方誤差對(duì)去噪效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。若信噪比指標(biāo)越大，而均方誤差指標(biāo)越小，說(shuō)明去噪效果越好[14-15]。表達(dá)式如下：

(6)

(7)

3.2 實(shí)驗(yàn)仿真

首先確定分解層數(shù)，采用上一節(jié)所述算法，選擇自適應(yīng)閾值，通過(guò)仿真得到分解層數(shù)和信噪比改善量之間的對(duì)應(yīng)曲線，如圖3所示。由圖3觀察可知，分解層數(shù)為6時(shí)，改善量最大。

圖3 分解層數(shù)與信噪比改善量曲線

基于以上的去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)，為了說(shuō)明提出的去噪算法的有效性，采用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)，文獻(xiàn)[6]中的方法和文中提出的新閾值函數(shù)進(jìn)行對(duì)比。用Matlab工具對(duì)含噪測(cè)試信號(hào)bumps和heavysine進(jìn)行小波去噪實(shí)驗(yàn)，對(duì)其加入信噪比SNR為6 dB的高斯白噪聲，采用小波基為sym6小波，6層分解層數(shù)，其中設(shè)定式5中C=1，式3、式5中n取3。每個(gè)處理結(jié)果是30次運(yùn)算的平均值。下面以含噪bumps信號(hào)為例進(jìn)行說(shuō)明，去噪效果波形如圖5所示，信噪比SNR和均方誤差MSE如表1所示。

通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)有如下分析：

含噪的bumps和heavysine信號(hào)經(jīng)過(guò)各種閾值函數(shù)去噪后有很大的差別。由圖4可知，經(jīng)過(guò)硬閾值函數(shù)處理后的重構(gòu)信號(hào)產(chǎn)生了震蕩現(xiàn)象。經(jīng)過(guò)軟閾值函數(shù)去噪后的信號(hào)在閾值處雖然連續(xù)，但是不可導(dǎo)，而且處理前后小波系數(shù)存在一定偏差，使得波形有明顯的萎縮。文獻(xiàn)[6]中的閾值函數(shù)處理噪聲信號(hào)后的重構(gòu)信號(hào)光滑且與原始信號(hào)很接近，而新的閾值函數(shù)比文獻(xiàn)[6]中的函數(shù)更具有優(yōu)勢(shì)，在閾值處不是直接置0而是平滑處理，細(xì)節(jié)更加逼近原信號(hào)，無(wú)附加震蕩，波形更加平滑。

由表1可知，新閾值函數(shù)與其他三個(gè)閾值函數(shù)相比，信噪比有很好的提高，均方誤差也進(jìn)一步減小。因此，無(wú)論是從波形特征還是數(shù)據(jù)指標(biāo)來(lái)看，均驗(yàn)證了文中提出的閾值函數(shù)去噪算法的優(yōu)越性。

圖4 各閾值函數(shù)對(duì)bumps信號(hào)去噪效果

評(píng)價(jià)指標(biāo)含噪信號(hào)硬閾值函數(shù)軟閾值函數(shù)文獻(xiàn)[6]閾值函數(shù)(α=1)新閾值函數(shù)(α=1)文獻(xiàn)[6]閾值函數(shù)(α=5)新閾值函數(shù)(α=5)文獻(xiàn)[6]閾值函數(shù)(α=10)新閾值函數(shù)(α=10)bumpsSNR/dB16.963 3416.189 4817.311 7221.192 7821.309 4621.516 6021.652 0421.276 1021.431 28MSE0.999 601.092 540.971 200.611 760.610 560.589 320.586 960.606 360.602 46heavysineSNR/dB15.953 0623.711 1424.883 0226.063 1826.192 1626.654 8826.712 1026.751 9426.877 44MSE1.004 800.408 260.355 680.311 220.310 240.290 240.288 360.286 600.285 76

3.3 真實(shí)環(huán)境下的語(yǔ)音消噪

下面把改進(jìn)算法應(yīng)用在語(yǔ)音增強(qiáng)上，驗(yàn)證真實(shí)環(huán)境下的語(yǔ)音消噪效果。文中采用錄制內(nèi)容為“電子信息學(xué)院”的語(yǔ)音作為測(cè)試信號(hào)。背景噪聲采用高斯白噪聲，語(yǔ)音信號(hào)和噪聲采樣頻率均為8 kHz，單聲道，16 bit采樣位數(shù)。同樣采用上述四種算法對(duì)語(yǔ)音進(jìn)行去噪。小波基為sym6，小波分解尺度為6，去噪后信號(hào)的時(shí)域波形如圖5所示。

圖5 語(yǔ)音信號(hào)去噪效果

圖5中，觀察原信號(hào)的前后端有一些凸起的“毛刺”，該現(xiàn)象是因?yàn)樵阡浺暨^(guò)程中引入系統(tǒng)內(nèi)部等環(huán)境噪聲引起的。通過(guò)改進(jìn)的閾值函數(shù)處理后，不僅在很大程度上削減了噪聲，而且“毛刺”也得到了抑制。

除了去噪效果比較以外，還得到了每個(gè)函數(shù)的信噪比和均方誤差，如表2所示。

由表2的數(shù)據(jù)對(duì)比可知，文中改進(jìn)的閾值函數(shù)對(duì)語(yǔ)音進(jìn)行去噪后的SNR比其他幾種函數(shù)都要高，而且MSE也是最低的。通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，相比文獻(xiàn)[6]的閾值函數(shù)和傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)，文中改進(jìn)的閾值函數(shù)的語(yǔ)音消噪效果更加明顯。

表2 各閾值函數(shù)對(duì)語(yǔ)音信號(hào)去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)

4 結(jié)束語(yǔ)

從原理上分析了硬閾值函數(shù)、文獻(xiàn)[6]以及軟閾值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)后，文中提出一種帶有調(diào)節(jié)因子的閾值去噪算法，有很強(qiáng)的實(shí)用性和靈活性。先從信噪比、均方誤差兩方面與其他三個(gè)閾值函數(shù)作對(duì)比，驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性；最后將算法應(yīng)用在語(yǔ)音增強(qiáng)，進(jìn)一步證明算法的可行性。仿真結(jié)果表明，該閾值函數(shù)相比硬、軟閾值函數(shù)和文獻(xiàn)[6]提出的函數(shù)，無(wú)論是在測(cè)試信號(hào)還是語(yǔ)音信號(hào)上，都具有更好的去噪效果，在保留有用語(yǔ)音信號(hào)的同時(shí)，一定程度上提高了語(yǔ)音整體質(zhì)量，達(dá)到了良好的語(yǔ)音去噪效果。