解析高中數(shù)學(xué)分類討論思想的合理應(yīng)用

王蓓

分類討論思想指的是把所研究的問題根據(jù)題目特點(diǎn)和要求，分為多個(gè)類別，將其轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題逐一解決，邏輯性相當(dāng)強(qiáng).在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，合理應(yīng)用分類討論思想是一種常規(guī)教學(xué)方法，能夠有效發(fā)展與鍛煉學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性、條理性思維，將數(shù)學(xué)問題由復(fù)雜化變得簡單化，困難問題變得容易化，增強(qiáng)他們分析和解決問題的能力，提高解題正確率.

一、借助數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)，實(shí)時(shí)滲透分類討論思想

針對(duì)學(xué)生而言，要想形成一種數(shù)學(xué)思想，短時(shí)間內(nèi)是很難實(shí)現(xiàn)的，需要在日常學(xué)習(xí)中不斷積累和沉淀，在日積月累中掌握某一數(shù)學(xué)思想.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何合理應(yīng)用分類討論思想同樣無法一蹴而就，教師需要充分借助各個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中的各個(gè)要點(diǎn)，不過要堅(jiān)持循序漸進(jìn)的原則逐步引入，并在恰當(dāng)時(shí)機(jī)選擇難易程度適當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)學(xué)生思考與探索，幫助他們逐漸掌握分類討論思想，且學(xué)會(huì)合理運(yùn)用分類討論的方式分析和解決數(shù)學(xué)問題.

例如，在進(jìn)行“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”教學(xué)時(shí)，教師在多媒體課件中出示一些建筑物的圖片，如，天安門、人民英雄紀(jì)念碑、水立方、埃菲爾鐵塔、倫敦大本鐘等，提問：“空間中直線與平面有多少種位置關(guān)系？”引領(lǐng)學(xué)生觀察與思考這些實(shí)物，使其直觀、準(zhǔn)確地歸納出直線與平面有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn);直線與平面相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);直線在平面平行，沒有公共點(diǎn).接著，組織學(xué)生觀察、思考生活實(shí)例和長方體模型，使其準(zhǔn)確歸納出兩個(gè)平面之間有兩種位置關(guān)系：兩個(gè)平面平行，沒有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交，有且只有一條公共直線.指出：畫兩個(gè)相互平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)中基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)時(shí)滲透分類討論思想，在無形中產(chǎn)生熏陶，讓學(xué)生利用類比和分類討論的方法進(jìn)行思考和學(xué)習(xí)，他們能夠很快地理解與掌握新內(nèi)容，不斷生發(fā)出強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信.

二、適當(dāng)加強(qiáng)課堂教學(xué)引導(dǎo)，深化分類討論思想認(rèn)知

現(xiàn)階段，在新課程改革背景下，明確指出學(xué)生才是課堂活動(dòng)的主體，教師在日常教學(xué)中要做好引導(dǎo)者和輔助者的工作，充分發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)基于新課改視角出發(fā)，以本節(jié)課的具體教學(xué)內(nèi)容為切入點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的固有的知識(shí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)他們獨(dú)立思考、合作探究數(shù)學(xué)問題.在這一過程中，使學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)對(duì)問題進(jìn)行分類討論，幫助學(xué)生找出問題的突破口與重點(diǎn)，以此深化他們對(duì)分類討論思想內(nèi)涵的認(rèn)知.

例如，在學(xué)習(xí)“集合”時(shí)，教師設(shè)置課堂練習(xí)：已知集合A={x||x|≤4}，B={x||x-3|≤a}，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：當(dāng)a<0時(shí)，B=，符合題意;當(dāng)a≥0時(shí)，B≠，B={x|3-a≤x≤3+a}，根據(jù)AB得到3-a≥-4，3+a≤4， 解得0≤a≤1，所以a≤1.又如，設(shè)A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，且x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，如果上CB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：有y=2x+3在[-2，a]上是增函數(shù)，得出-1≤y≤2a+3，即B={y|-1≤y≤2a+3}，畫出z=x2的圖像，該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有多同情況，分別為：-2≤a<0，0≤a≤2，a>2，a<-2，通過逐類分析解決.

教師是課堂學(xué)習(xí)的主導(dǎo)者，特別是數(shù)學(xué)課堂，教師更應(yīng)針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，巧妙引導(dǎo)，為學(xué)生的思維撥開迷霧.在教師的有效引導(dǎo)下，學(xué)生能夠深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)分類討論思想的本質(zhì)和內(nèi)涵，使其學(xué)會(huì)辯證地看待問題，讓他們針對(duì)不同情況進(jìn)行有意識(shí)地討論、分析和解答，求出完整答案.

三、積極開展解題實(shí)踐活動(dòng)，合理運(yùn)用分類討論思想

數(shù)學(xué)知識(shí)具有相當(dāng)強(qiáng)的實(shí)用性，與學(xué)生的實(shí)際生活有著密切聯(lián)系，他們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)完理論知識(shí)后，還需進(jìn)行實(shí)踐解題，增強(qiáng)和提高自身的問題解決能力.在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，涉及的數(shù)學(xué)思想方法多種多樣，分類討論思想只是其中之一，要想真正做到合理運(yùn)用，教師應(yīng)該積極開展解題實(shí)踐活動(dòng)，為學(xué)生提供大量的練習(xí)機(jī)會(huì)，指導(dǎo)他們借助分類討論思想的優(yōu)勢分析和解決數(shù)學(xué)問題，借此鍛煉其解題能力，最終能夠合理運(yùn)用分類討論思想.

例如，在展開“函數(shù)”教學(xué)時(shí)，由于學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)已有一定的了解，積累相應(yīng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、方法與技巧，教師可以據(jù)此先設(shè)置一道有關(guān)函數(shù)的實(shí)踐問題：已知函數(shù)f（x）=x6-x3+x2-x+1是一個(gè)實(shí)函數(shù)，證明：f（x）的值恒為正數(shù).學(xué)生在解答這一函數(shù)問題過程中，教師需要組織他們對(duì)問題進(jìn)行分類討論，使其最終得出：假如把變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分類，對(duì)x的所有不同取值逐一進(jìn)行證明，證明：當(dāng)x<0時(shí)，f（x）各項(xiàng)都是正數(shù)，所以得出當(dāng)x<0時(shí)，f（x）為正數(shù);當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x6+x2（1-x）+（1-x）>0;當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=x3（x3-1）+x（x-1）+1>0，綜上所述，f（x）的值恒為正數(shù).

在上述案例中，主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)值的判斷，他們可以采用分類討論思想進(jìn)行分析，從而完全歸納推理證明函數(shù)問題，快速求解答案，使其進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分類討論思想.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，是否能夠合理運(yùn)用分類討論思想相當(dāng)關(guān)鍵，教師要善于利用各個(gè)契機(jī)融入分類討論思想，關(guān)注和增強(qiáng)課堂引導(dǎo)，并為學(xué)生準(zhǔn)備恰當(dāng)?shù)牧?xí)題進(jìn)行實(shí)踐練習(xí)，使其親身體驗(yàn)到分類討論思想的妙用，進(jìn)而提高他們的學(xué)習(xí)能力.