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    以臆測教學促進學生對分數(shù)意義的理解
    ——以“分數(shù)作為整數(shù)相除的結(jié)果”教學為例

    2019-11-14 07:57:26蔡寶桂
    小學教學(數(shù)學版) 2019年5期
    關(guān)鍵詞:被除數(shù)彩紙除數(shù)

    ◇蔡寶桂

    一 “作為整數(shù)相除的結(jié)果”的分數(shù)意義

    有關(guān)分數(shù)意義的研究,不論中外學者如何區(qū)分建構(gòu)意義的種類,都少不了“商”的意義,即對應于小學數(shù)學教材中分數(shù)意義之分類“作為整數(shù)相除的結(jié)果”。

    首先,平均分情境是“總量÷單位數(shù)=單位量”,如“3 個比薩平均分給4 個人,每人得到個比薩”,從問題記錄而言,除法算式表征為“3÷4=3 4 ”;反之以乘法算式表征則為“()×4=3”,也就是“平均每個人分得個比薩,4 個人一共可分得3 個比薩”。因此其分數(shù)意義體現(xiàn)在“單位分量”上,對數(shù)概念的認知則發(fā)展為部分-整體關(guān)系,如圖1。

    圖1:平均分情境下3÷4 的圖形表征

    其次,測量情境即為包含除,也就是“總量÷單位量=單位數(shù)”,如長7 厘米的緞帶,每4 厘米剪一段,可以剪一段剩下3 厘米,以段為單位這3 厘米又可以稱為段,所以算式可以寫成7÷4=1,意義溝通為7 是4 的1倍,也可以換成假分數(shù),而理解此學習活動須具備 “分數(shù)倍”的概念,認知發(fā)展涉及“比例思維”,如圖2。

    圖2:測量情境下7÷4 的圖形表征

    二 學生學習所需具備的知識基礎(chǔ)

    因此,四年級學生學習整數(shù)相除的結(jié)果為分數(shù)的意義前,須具備將分物視為“單位分量”的分數(shù)意義,也就是要從原本的“分幾份取幾份”的“部分-整體”的分數(shù)意義,對照整體量“1”這一單位,將每個單位分數(shù)都視為一個獨立可計數(shù)的量,建立單位分量的分數(shù)概念,如圖3。

    圖3:從“部分-整體”擴展到“單位分量”

    因此,教師教學時建議給定明確的大小單位,如大單位“1 張”、小單位“1 片”,讓學生在對應原有“部分-整體”的圖示表征(如圖4)中,最終發(fā)現(xiàn)小單位擺放的位置并不影響小單位的大小,進而認識到即使脫離1 張,仍然是可被獨立計數(shù)的單位分量。此時,學生對于分數(shù)的認識才由“分幾份取幾份”的描述詞,進展到對計數(shù)單位的認識,也才能以此作為分數(shù)數(shù)詞序列計數(shù)的基礎(chǔ)。

    圖4:形成單位分量之“片”于“張”的操作流程圖

    三 數(shù)學臆測教學案例摘要

    以下分別從林碧珍(2018)的數(shù)學臆測教學模式中所提出的五階段分別進行說明。(“分數(shù)作為兩數(shù)相除的結(jié)果”的內(nèi)容安排在四年級)

    (一)造例。

    1.造例設(shè)計。

    (1)利用學生不等分組的組內(nèi)人數(shù)(b)與限時分割彩紙張數(shù)(a),達到全班造出多種分母(b)和分子(a)的分數(shù)。

    2.造例活動。

    為達到上述造例設(shè)計要求,班級學生的座位應以不等組的方式安排,再加上考慮限定時間內(nèi),讓每組得以操作體驗“一回拿一張,一張分給幾個人”的數(shù)學結(jié)構(gòu),所以每組須安排小幫手,負責提供彩紙,且同組的每張彩紙顏色都不同。組內(nèi)任務(wù)進行步驟說明如下:(如圖5)

    步驟一:小幫手將一張圓形彩紙交給組內(nèi)其中一人。

    步驟二:先對折再剪開,并將每小片分給組內(nèi)除小幫手外的每一個人。

    步驟三:拿到紙片的同學,需在每小片彩紙上寫出幾分之幾張。

    步驟四:一張圓形彩紙平分完后,小幫手再發(fā)一張新的圓形彩紙給組內(nèi)另一個人。

    圖5:造例活動座位安排與角色分工示意圖

    游戲結(jié)束后,可請學生數(shù)自己分得的彩紙,并讓其他組的學生從分得彩紙的結(jié)果,猜猜看:這組有幾個人在分彩紙?這組剛剛分下去幾張彩紙?作為引發(fā)學生進行后續(xù)一連串深入探究的動機。

    3.造例匯總。

    (1)請學生用算式記錄每一組分得彩紙的過程與結(jié)果,學生可能以乘法算式表示分得的結(jié)果,除法算式表示分的歷程或摘要記錄,如圖6。

    圖6:算式記錄分得彩紙的過程或結(jié)果

    (2)討論完每一組的算式記錄是過程還是結(jié)果后,教師再請學生“用一個算式把分彩紙的過程和結(jié)果記錄下來”,將學生對于造例活動的算式表征,推進到以一個除法算式摘要記錄的程度。

    (3)由教師匯總?cè)嘣炖诤诎迳?,讓學生依此提出后續(xù)的數(shù)學猜想。

    (二)提出猜想。

    教師進行個別觀察,并全班匯總后,發(fā)現(xiàn)的數(shù)學想法可分為以下幾類,舉例如下。

    1.現(xiàn)象描述。(如圖7)

    圖7

    2.結(jié)果都是分數(shù)。(如圖8)

    圖8

    3.算式中的數(shù)字關(guān)系。(如圖9)

    圖9

    4.被除數(shù)與分子相同。(如圖10)

    圖10

    5.除數(shù)與分母相同。(如圖11)

    圖11

    6.被除數(shù)與分子、除數(shù)與分母。(如圖12)

    圖12

    7.數(shù)字大小的比較。(如圖13)

    圖13

    8.單位分量描述。(如圖14)

    圖14

    9.關(guān)系的推論。(如圖15)

    圖15

    (三)效化猜想。

    1.猜想語言描述的精確性。

    (1)學生只描述上、下,經(jīng)討論后認為應該用分母和分子的語言來描述才能更精確地表示。(如圖16)

    圖16

    (2)答案還是“分數(shù)”?

    “答案是偶數(shù)”,有違學生在整數(shù)前提下進行奇偶分類。因此,須修正為“答案中的分母都是偶數(shù)”。 (如圖17)

    圖17

    “答案有兩個數(shù)”,是指有兩個答案?可能是因為答案用分數(shù)表示,所以分數(shù)線上下各有一個數(shù),所以有“兩個數(shù)”。(如圖18)

    圖18

    2.修改或刪除錯誤猜想。

    (1)“有幾個吐司”應該修正為“有幾個人來分吐司”,才能使猜想由錯誤變正確。(如圖19)

    圖19

    (2)“除法的余數(shù)加回去”,雖然知道學生想表達的是不寫整數(shù)商和余數(shù),而是直接寫用分數(shù)商表示,但討論的當下,學生覺得“加回去”這個詞有錯,但又不知如何修正,所以這個猜想就被刪除了。(如圖20)

    圖20

    3.避免使用否定詞或限制性詞語,如在數(shù)大小比較中有關(guān) “有一些算式的結(jié)果,分母比較大、分子比較小”,雖然可找到分母大于分子的例子,但因為這句話用了“有一些”后,無法因錯誤而被推翻。所以,一開始就要反復提醒學生,這類詞不要出現(xiàn)在猜想中。

    4.提出反例從而刪除猜想。

    (1)如果討論的時間夠長,可不可能分超過10 張以上?一組人數(shù)多一點,超過10 人以上,如20÷23=就可以推翻類似以下這樣的猜想:數(shù)大小比較的猜想“每個數(shù)都不比10 大”、現(xiàn)象描述的“算式中沒有0”、“答案中的分母都是偶數(shù)”的猜想。

    (2)每個“算式都沒有0”是數(shù)字中有無0 之外,還包含0 可否當被除數(shù)或除數(shù),因此也可以以0÷3 舉反例,但對于學生而言,沒有東西卻要分給人,也是比較難以接受的,雖然它符合數(shù)學定義。

    5.匯總猜想:在討論進行猜想的分類、檢驗與效化后,猜想大約被匯總為三大類:其中單位分量描述與關(guān)系的推論仍各為獨立的一類,前面7 項都被歸為一大類,并成為猜想一般化的討論題材。

    (四)猜想一般化。

    經(jīng)過學生對猜想進行檢驗、支持或應用擴充例子反駁的歷程后,最后提出一般化的猜想:所有整數(shù)除以整數(shù)(不包含0),當答案用真分數(shù)或假分數(shù)表示時,被除數(shù)會變成分子,除數(shù)會變成分母。

    (五)證明猜想一般化。

    有關(guān)單位分量與關(guān)系推論的猜想,是學生成功證明此一般化猜想的重要題材,再加上一開始造例活動所提供的操作體驗,學生提出以下論證的觀點來說服他人,這個一般化猜想一定是對的,也提升了對被除數(shù)、除數(shù)和商的分子與分母之間意義的理解。進而發(fā)現(xiàn),雖然之前認為被除數(shù)和分子、除數(shù)和分母都是相同的數(shù),但這個一般化猜想中的“變”字,就點出了兩者之間意義的新解。

    如被除數(shù)的“分幾張”,到了商的分子卻代表“分得幾個單位分量”,而除數(shù)的“分給幾人”,到了商的分母卻代表“被計數(shù)的單位分量”。(如圖21)

    圖21

    荷蘭學者斯特瑞夫蘭德(Streefland,1991)認為,極度低估學生學習分數(shù)時的復雜性與機械化取向的分數(shù)教育是分數(shù)教學與學習問題的兩個源頭。杰羅姆·布魯納(Jerome Seymour Bruner,1966)也曾說過:“任何學科均能以某種智慧上真實的形式,有效地教給任何發(fā)展階段中的任何一個兒童。”只要對應學生數(shù)學概念發(fā)展,用對分數(shù)意義的詮釋,加上學習者體驗、表征,進而邁入數(shù)學論證的學習模式,分數(shù)將不再是阻礙孩子數(shù)學學習的夢魘。

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