LB上Volterra型與復(fù)合算子積的有界性與緊性關(guān)系

(閩南理工學(xué)院信息管理學(xué)院，福建 石獅 362700)

1 預(yù)備知識

定義3現(xiàn)在定義LB是對數(shù)Bloch空間。如果

則f∈LB。

‖f‖LB是一個半范數(shù)(‖f‖L=|f(0)|+‖f‖LB),所以LB是一個Banach空間。

定義4設(shè)φ是D上的解析自映射,即φ∈S(D),那么將H(D)上的復(fù)合算子定義為Cφ(f)=f(φ(z)),f∈H(D),z∈D。顯然Cφ是線性算子。

定義5令g∈H(D),對每個H(D)中的函數(shù)f,將Volterra型算子Jg,Ig分別定義為

隨著經(jīng)濟的發(fā)展和科技的進步，短視頻行業(yè)已經(jīng)逐漸形成規(guī)?；\營，因此，政府的監(jiān)管力度也隨之加大。從2016年起，政府對網(wǎng)絡(luò)短視頻的監(jiān)管力度加大，廣電總局、文化部等多個部門與政府聯(lián)手進行監(jiān)管，為移動短視頻的發(fā)展提供了規(guī)范發(fā)展的契機。

定義6定義Volterra型算子和復(fù)合算子的積如下:

在文[2]中研究了從H和Bloch空間到Zygmund空間上的Volterra型算子和復(fù)合算子的積。本文將在LB和LB0上討論這些算子的有界性之間的關(guān)系，以及在LB和LB0上它們的有界性和緊性這兩者之間的關(guān)系。

2 主要結(jié)論

引理1(Motel定理) 若解析函數(shù)序列{fn(z)}(n=1,2,3…)在區(qū)域D內(nèi)閉一致有界,則必有{fn(z)}的一個子序列{fnk(z)}(k=1,2,3…)在D內(nèi)閉一致收斂。

定理1假定f∈LB,則‖ft‖LB≤4‖f‖LB,0

證明 此定理的證明由引理2很容易得出。

定理2令g∈H(D),φ是D上的解析自映射。如果CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB0上的一個有界算子,則CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ)是LB上的有界算子。

證明 假定CφJg在LB0上是有界的。顯然,對任意f∈LB,有ft∈LB0,對所有0

‖CφJg(ft)‖L≤‖CφJg‖‖ft‖L≤4‖CφJg‖‖f‖L<+

令t→1-,因此

‖CφJg(f)‖L≤4‖CφJg‖‖f‖L<+

這就證得：CφJg在LB上有界。類似地,可證得JgCφ,CφIg,IgCφ是LB上的一個有界算子。

定理3假定CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ):LB→LB是LB上的有界算子,則CφJg(或JgCφ,CφIg,IgCφ): LB→LB是緊的當且僅當對任意滿足在D的緊子集上有fn一致收斂于0的序列{fn}(?LB), 則有

‖CφJg(fn)‖L→0

(或‖JgCφ(fn)‖L，‖CφIg(fn)‖L，‖IgCφ(fn)‖L→0),當n→時。

證明“?”這個結(jié)論顯然成立。

“?”假設(shè)CφJg不是緊的,則存在序列{fn}(?LB),使CφJg(fn)中任意的序列都不收斂。但由于CφJg是LB上的有界算子,且任意滿足在D的緊子集上有fn一致收斂于0的序列{fn}(?LB)。由Motel定理知:存在{fnk}使{CφJg(fnk)}收斂,這與假設(shè)矛盾,故原結(jié)論成立。由此可證:CφJg是緊的。同理可證JgCφ,CφIg,IgCφ是緊的。

定理4令U?LB0,則U是緊的當且僅當U是閉的,有界的且滿足

證明此證明類似于文獻[2]中引理1的證明。