具有代數(shù)運(yùn)算的集合構(gòu)成群的條件

常娟　劉云云

摘 ? 要：近世代數(shù)的主要研究對(duì)象是具有代數(shù)運(yùn)算的集合，這樣的集合稱為代數(shù)系，群是一個(gè)具有代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系。在當(dāng)今數(shù)學(xué)界，幾乎各門(mén)數(shù)學(xué)課程中都能看到近世代數(shù)的影子，所有的數(shù)學(xué)分支都會(huì)用到近世代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，經(jīng)過(guò)大量的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，不同的邏輯結(jié)構(gòu)經(jīng)過(guò)一系列的類比，能夠產(chǎn)生一個(gè)或幾個(gè)極其簡(jiǎn)練的由若干公理構(gòu)成的核心，從而產(chǎn)生了群的定義。本文總結(jié)和探討了具有代數(shù)運(yùn)算的集合構(gòu)成群的條件。

關(guān)鍵詞：群 ?代數(shù)運(yùn)算 ?群同態(tài) ?群同構(gòu)

中圖分類號(hào)：0153 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2019）06（b）-0209-02

1 ?引言

群是一個(gè)具有代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)系， 群的理論是近世代數(shù)的一個(gè)重要分支，它在物理、化學(xué)、信息學(xué)等許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。本文總結(jié)和探討了具有代數(shù)運(yùn)算的集合構(gòu)成群的條件。

定義：設(shè)G是一個(gè)具有代數(shù)運(yùn)算的非空集合，如果G關(guān)于所給的運(yùn)算滿足：

（1）G的運(yùn)算滿足結(jié)合律;

（2）G中有一個(gè)元素e （稱為G的左單位元），使得對(duì)任意的，有ea=a;

（3） 對(duì)G中每一個(gè)元素a，存在（稱為G的左逆元），使得，這里e是G的左單位元。

則稱G按此運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，簡(jiǎn)稱為群G。

[注] 易證左單位元一定是右單位元;左逆元一定是右逆元。

2 ? 具有代數(shù)運(yùn)算的集合構(gòu)成群的條件

2.1 定理

設(shè)G是一個(gè)具有乘法運(yùn)算的非空有限集合。證明：如果G滿足結(jié)合律，有左單位元

且右消去律成立，則G是一個(gè)群。

證 ?只需證G的每個(gè)元素都有左逆元即可。設(shè)

則對(duì)任意的，在集合中考察元素aia與aja。如果，則由右消去律得，于是i=j。這說(shuō)明元素a1a，a2a，…，ana是集合G中n個(gè)不同的元素。又因?yàn)閨G|=n，所以

于是，對(duì)G中任取的元素a及G的左單位元e，因，所以必有，使得，即e有左逆元ai。

從而由定義1.1知，G為群。

[注] 易證，設(shè)G是一個(gè)具有乘法運(yùn)算的非空有限集合。如果G滿足結(jié)合律，有右單位元且左消去律成立，則G是一個(gè)群。

2.2 定理

設(shè)G是一個(gè)群，G'是含有代數(shù)運(yùn)算的集合。若存在G到G'的同態(tài)滿射，則G'也是群。

證：不妨設(shè)G'的代數(shù)運(yùn)算是乘法運(yùn)算，是G到G'的同態(tài)滿射，即

因?yàn)槭菨M映射，所以G'中的每個(gè)元素都是G中元素的像。

（1）對(duì)任意的，都存在，使得

又因?yàn)?，所?/p>

，即G'中的元素滿足結(jié)合律。

（2）對(duì)于任意的，存在與之對(duì)應(yīng)，且

所以是G'的左單位元。

（3）對(duì)于任意的，存在與之對(duì)應(yīng)，且

所以有左逆元。

從而由定義1.1知，G'為群。

[注] 易證，設(shè)G是一個(gè)群，G'是含有代數(shù)運(yùn)算的集合。若存在G到G'的同構(gòu)映射，則G'也是群。

2.3 定理

設(shè)G是含有代數(shù)運(yùn)算的集合，G'是一個(gè)群。若存在G到G'的同構(gòu)映射，則G也是群。

證：不妨設(shè)G的代數(shù)運(yùn)算是乘法運(yùn)算，是G到G'的同構(gòu)映射，即

（1） 對(duì)任意的

又因?yàn)?，所以，即G中的元素滿足結(jié)合律。

（2） 因?yàn)镚'是一個(gè)群，所以G'中有單位元，設(shè)為，則存在G中的元素e在映射下的像為。

因?yàn)閷?duì)于任意的，，即ea=a，所以e是G中的左單位元。

（3）對(duì)于任意的，存在與之對(duì)應(yīng)。因?yàn)镚'是群，所以必存在，使得。

不妨設(shè)元素a-1在映射在映射下的像為，則

即a-1a=e，所以a-1是元素a在G中的左逆元。

從而由定義1.1知，G為群。

2.4 定理

設(shè)G是一個(gè)具有乘法運(yùn)算且滿足結(jié)合律的非空集合，則G構(gòu)成群的充要條件是對(duì)G中每個(gè)元素a，在G中都有唯一的元素a*，使得對(duì)G中任意元素b，有

證（必要性）：設(shè)G是一個(gè)群，取a*=a-1，則顯然有，又因?yàn)樵谌篏中元素a的逆元a-1是唯一的，所以必要性得證。

（充分性）：任取，由已知條件知存在唯一的元素使得對(duì)G中的每個(gè)元素b都有，則可得a*僅僅只是與a有關(guān)，而與其余元素?zé)o關(guān)（類似x*僅與x有關(guān)）。

（1）任取，存在唯一的元素使得對(duì)G中的每個(gè)元素b都有，所以，即a*a是G的左單位元，不妨設(shè)a*a=e。

（2）由（1）得，任取，存在唯一的元素使得a*a=e，則說(shuō)明唯一的元素a*是元素的左逆元。

從而由定義1.1知，G為群。

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