三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法

何光進(jìn)，高 峰

三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法

何光進(jìn)，高 峰

（駐廣州地區(qū)第三軍事代表室，廣州 510000）

傳統(tǒng)的基于長矢量模型的MUSIC算法沒有充分利用矢量水聽器各分量之間的正交特性，存在多目標(biāo)分辨能力不足的缺點。針對這一情況，文中引入了四元數(shù)的概念，利用四元數(shù)能更好地描述矢量水聽器各分量的正交結(jié)構(gòu)這一優(yōu)點，提出了三種基于四元數(shù)模型的二維聲矢量陣方位估計算法：Q-VV算法、Q-PV算法和Q-PVV算法。與基于長矢量模型的MUSIC算法相比，新算法降低了協(xié)方差矩陣的維數(shù)，占用更少的內(nèi)存空間。同時，由于利用了四元數(shù)強正交性約束的特點，新算法有好的單目標(biāo)估計精度和多目標(biāo)分辨能力。其中：Q-PV算法和Q-PVV算法利用了聲壓與振速的相干性，抗各向同性干擾的能力優(yōu)于Q-VV算法。仿真實驗證明了算法的有效性。

聲矢量陣 MUSIC算法 四元數(shù) 方位估計 聯(lián)合方位估計

0 引言

聲源波達(dá)方向(DOA)估計是水下聲納系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容，隨著矢量水聽器的出現(xiàn)，聲矢量信號處理成為研究熱點。由于矢量水聽器可以同時、共點地拾取水下空間某一質(zhì)點的聲壓與振速信息，與聲壓水聽器相比，在相同陣元條件，矢量水聽器陣有較高的陣增益和空間分辨力。因此，許多學(xué)者將矢量水聽器的優(yōu)點和超分辨率方位估計算法相結(jié)合，研究了基于矢量水聽器陣的超分辨率DOA估計算法[1-6]。但是，這些算法都采用“長矢量”形式的數(shù)學(xué)模型，即將聲壓與振速分量看成相互獨立的輸出，將描述不同陣元輸出的復(fù)矢量進(jìn)行串聯(lián)，通過增加觀測數(shù)據(jù)矩陣的維數(shù)來提高對目標(biāo)信號DOA估計精度[7]。由于這種模型沒有利用到矢量水聽器各振速分量之間的局部正交信息，因此目標(biāo)DOA估計效果較差。針對這一事實，本文將四元數(shù)模型引入到聲矢量陣列信號處理領(lǐng)域，利用四元數(shù)能更好地描述矢量水聽器陣元的正交結(jié)構(gòu)這一優(yōu)點，提出了三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法：Q-VV方法、Q-PV算法和Q-PVV算法。仿真實驗證明了以上算法均優(yōu)于傳統(tǒng)的基于長矢量模型的MUSIC算法，而且，由于四元數(shù)模型的信息表達(dá)方式更加緊湊，新算法可節(jié)約大量的內(nèi)存空間。另外，在遠(yuǎn)程聲場中，相干源信號的聲壓和振速是相干的，而各向同性噪聲的聲壓與振速是不相關(guān)的[8]，Q-PV和Q-PVV算法同時利用了聲矢量陣輸出的聲壓振速信息，因此有更強的抗各向同性干擾的能力，單目標(biāo)DOA估計能力和多目標(biāo)分辨能力略優(yōu)于Q-VV算法。

1 四元數(shù)概念

由四元數(shù)組成的向量稱為四元數(shù)向量，N維四元數(shù)向量記為H；由四元數(shù)組成的矩陣稱為四元數(shù)矩陣，記為H。對四元數(shù)的相關(guān)運算有不同的定義，本文采用如下的形式[9,10]：

2 聲矢量陣模型

圖1 二維聲矢量陣模型

則二維聲矢量陣的振速輸出為：

3 基于四元數(shù)的方位估計算法

3.1 Q-VV法

對于聲矢量陣某個陣元m，該方法（稱為Q-VV法）將一次快拍輸出的振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

對協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解（SVD）：

由子空間分解的性質(zhì)知：噪聲子空間與全局陣列流形正交，根據(jù)MUSIC算法的思想，建立如下的方位估計公式：

3.2 Q-PVV法

具體為：將單矢量水聽器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

此時的方位估計公式應(yīng)為：

3.3 Q-PV法

具體為：將單矢量水聽器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

此時的方位估計公式應(yīng)為：

4 算法分析

下面分析本文的四元數(shù)模型與傳統(tǒng)的長矢量模型在正交性約束方面的差異[13]。

比較兩種表達(dá)形式的正交條件知，基于四元數(shù)的正交性約束更強，能進(jìn)一步地降低估計結(jié)果的離散性。

5 仿真實驗

5.1 仿真1 單目標(biāo)DOA估計

圖2 單目標(biāo)DOA估計結(jié)果

圖3 算法的單目標(biāo)估計圴方誤差曲線

5.2 仿真2多目標(biāo)DOA估計

假設(shè)有中心頻率為1000 Hz的兩相干聲源分別以20°和40°方向入射至二維聲矢量陣，上述四種算法對雙目標(biāo)的DOA估計結(jié)果如圖4（a）所示。仿真中，陣元數(shù)M=5，信噪比SNR=30 dB，快拍數(shù)N=100。從圖中可以看出基于長矢量模型的MUSIC算法已不能區(qū)分兩目標(biāo)，而基于四元數(shù)模型的MUSIC算法則能夠十分清晰地估計出兩目標(biāo)的方位。圖4（b）給出了三個聲源入射至二維聲矢量陣的仿真結(jié)果，三個聲源的入向射角為[10°, 20°, 50°]，頻率為[1000 Hz, 980 Hz, 1000 Hz]，其余條件不變。

圖4 基于四元數(shù)模型的MUSIC算法相干目標(biāo)估計結(jié)果

從圖中可以看出，長矢量方法僅能識別出第二個聲源，而基于四元數(shù)的MUSIC方法均可以準(zhǔn)確地估計出三個聲源的DOA，優(yōu)越性明顯。通過比較圖2和圖3知，Q-PV和Q-PVV算法比Q-VV算法有更好的單目標(biāo)估計精度和多目標(biāo)分辨能力，這與它們利用了矢量水聽器輸出的聲壓信息有關(guān)。

6 結(jié)論

本文將四元數(shù)理論引入到矢量水聽器信號處理領(lǐng)域，提出了三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法。將二維矢量水聽器輸出數(shù)據(jù)組成一四元數(shù)，用四元數(shù)理論構(gòu)造適用MUSIC算法方位估計公式，并對單、多目標(biāo)的估計性能和分辨能力進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果與傳統(tǒng)的基于長矢量模型的MUSIC算法進(jìn)行了比較，得出了以下結(jié)論：

1）基于四元數(shù)的MUSIC算法的內(nèi)存占用量是傳統(tǒng)長矢量算法的2/9，數(shù)據(jù)表達(dá)方式更加緊湊，利于算法的快速實現(xiàn)；

2）與長矢量算法相比，基于四元數(shù)的MUSIC算法有更強的相干目標(biāo)分辨能力，在近距離目標(biāo)定位與跟蹤方面有較好的應(yīng)用前景。

3）基于四元數(shù)模型的Q-PV和Q-PVV算法由于同時利用了矢量陣輸出的聲壓與振速信息，對目標(biāo)的DOA估計精度和分辨能力均優(yōu)于僅利用振速信息的Q-VV算法，有一定的工程應(yīng)用前景。

需要說明的是，由于對四元數(shù)矩陣進(jìn)行SVD分解時會產(chǎn)生共軛成對的特征值，對特征值的選擇不當(dāng)會造成DOA估計結(jié)果的“左、右模糊”問題，這一情況可利用（單）矢量水聽器的互譜測向結(jié)果來消除。

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Three MUSIC Algorithms Based on Quaternion Model of Vector Hydrophone Array

He Guangjin, Gao Feng

（The Third Military Representative Office in Guangzhou, Guangzhou 510000, China）

TB566.21

A

1003-4862（2019）10-0028-05

2019-06-04

何光進(jìn)（1983-），男，工程師。研究方向：目標(biāo)檢測與識別。E-mail: gjhe2008@163.com

高峰（1978-），男，工程師，研究方向：信號處理。